6.3 第2课时 对数函数图象与性质的综合应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学对数函数图象与性质的综合应用，在对数函数基本概念和性质的基础上，系统梳理图象变换（平移、翻折）、反函数关系、性质应用（值域、单调性）及实际模型，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过母题探究（变条件、变设问）培养创新意识，通性通法总结助力逻辑推理，结合销售奖励等实际案例渗透模型观念。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　对数函数图象与性质的综合应用 　　 题型一　与对数函数有关的图象变换 （1）（链接教科书第155页例3）画出函数y＝log2（x＋1）与y＝log2（x－1）的图象，并指出这两个函数的图象与函数y＝log2x的图象的关系； （2）试画出函数h（x）＝｜logax｜的图象，并根据图象写出函数h（x）的单调区间. 解：（1）由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝log2（x＋1）的图象， 由函数y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝log2（x－1）的图象， 图象如图所示. （2）因为a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x）的图象如图所示. 由图象可以知道，函数h（x）＝｜log5x｜的减区间是（0，1），增区间是（1，＋∞）. 【母题探究】 　（变条件、变设问）若函数y＝a｜x｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则函数y＝loga｜x｜的大致图象是（　　） 解析：A　因为｜x｜≥0，且y＝a｜x｜的值域为[1，＋∞），所以a＞1.当x＞0时，y＝loga｜x｜＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又函数y＝loga｜x｜为偶函数，图象关于y轴对称，所以y＝loga｜x｜的大致图象应为选项A. 通性通法 对数函数图象的变换方法 （1）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律； （2）作y＝｜f（x）｜的图象时，保留y＝f（x）的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可； （3）作y＝f（｜x｜）的图象时，保留y＝f（x）（x≥0）图象不变，当x＜0时，y＝f（｜x｜）的图象与y＝f（x）（x＞0）的图象关于y轴对称. 1.为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点（　　） A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：C　因为y＝lg＝lg（x＋3）－1，所以将y＝lg x的图象上所有点向左平移3个单位长度，就得到y＝lg（x＋3）的图象，再将y＝lg（x＋3）的图象上的所有点向下平移1个单位长度，就得到y＝lg（x＋3）－1的图象. 2.画出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调区间. 解：函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象如图所示.由图象知，其值域为[0，＋∞），减区间是（－1，0]，增区间是[0，＋∞）. 题型二　反函数 若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝（）－x，则f（2）＋g（4）＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：D　因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝（）－x＝2x，所以g（x）＝log2x，所以f（2）＋g（4）＝22＋log24＝6. 通性通法 反函数的性质 （1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数； （2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f（f（2））＝（　　） A.16　　　　B.0 C.1　　　　D.2 解析：B　函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f（x）＝log2x.所以f（f（2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.故选B. 题型三　对数型函数的性质及应用 角度1　对数型函数的值域（最值） 求下列函数的值域： （1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]； （2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）. 解：（1）∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33＝1. ∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1]. （2）∵f（x）＝log2·log2＝（log2x－2）·（log2x－1）＝－， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2， ∴当log2x＝，即x＝＝2时，f（x）取最小值－；当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值2， ∴函数f（x）的值域是. 通性通法 求对数型函数值域（最值）的方法 　　对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下： （1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数； （2）求f（x）的定义域； （3）求u的取值范围； （4）利用y＝logau的单调性求解. 角度2　对数型函数的单调性 （链接教科书第157页练习3题）求函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调区间. 解：设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1， 由于t＝（x－1）2－4在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减， 又y＝lot在定义域内是减函数， 因而函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调递增区间为（－∞，－1），单调递减区间为（3，＋∞）. 通性通法 1.解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是大于1还是大于0小于1，当底数未明确给出时，则应对底数进行分类讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域. 2.对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f（logax）（a＞0，且a≠1）型. 1.（2026·南通月考）已知函数f（x）＝lg（x2－4x－5）在（a，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（2，＋∞） B.[2，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞） 解析：D　由x2－4x－5＞0得x＞5或x＜－1，所以f的定义域为∪（5，＋∞），因为y＝x2－4x－5在（5，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝lg（x2－4x－5）在（5，＋∞）上单调递增，所以a≥5.故选D. 2.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a＝（　　） A. B. C.2 D.4 解析：B　由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的最大值或最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝. 题型四　对数函数模型的实际应用 （链接教科书第164页复习题8题）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A＋1）进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）. （1）写出奖金y关于销售利润x的解析式； （2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：（1）由题意知y＝ （2）由题意知1.5＋2log5（x－9）＝5.5， 即log5（x－9）＝2， 所以x－9＝52，解得x＝34. 所以老江的销售利润是34万元. 通性通法 对数函数应用题的解题思路 （1）依题意，找出或建立对数增长型数学模型； （2）依实际情况确定解析式中的参数； （3）依题设及对数函数知识解决数学问题； （4）得出结论. 某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系式为y＝alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为（　　） A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析：A　由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故选A. 1.函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象可能是（　　） 解析：A　函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，因为0＜a＜1，所以y＝loga（x－1）在（1，＋∞）上单调递减，故A图象符合.故选A. 2.“每天进步一点点”可以用数学知识来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（　　） A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x 解析：B　由题意得x＝（1＋5‰）y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x. 3.（2026·锡山高中月考）函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是　（4，＋∞）　. 解析：由x2－2x－8＞0，即＞0，得x＜－2或x＞4，故f（x）的定义域为∪，令t＝x2－2x－8，则f（x）＝g＝ln t，因为t＝x2－2x－8在上单调递增，在上单调递减，且g＝ln t在上单调递增，所以f（x）＝ln在上单调递增，在上单调递减，故函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是. 4.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，），则a＝　　. 解析：由题意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因为f（x）的图象过点（，），所以loga＝，所以＝，所以a2＝2，所以a＝（负值舍去）. 　　 1.已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是（　　） A.（－∞，－6] B.[－6，－3] C.[－3，0） D.（0，＋∞） 解析：B　∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3].故选B. 2.如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（　　） A.m＜0，n＞1 B.m＞0，n＞1 C.m＞0，0＜n＜1 D.m＜0，0＜n＜1 解析：D　根据图象可知，函数y＝m＋lognx（m，n是常数）是减函数，所以0＜n＜1；又当x＝1时，y＜0，即y＝m＋logn1＝m＜0.故选D. 3.函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（　　） A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析：A　当a＞1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函数，所以f（x）是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是减函数，所以f（x）是增函数.故选A. 4.设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则（　　） A.f（x）为奇函数，在（0，1）上单调递增 B.f（x）为奇函数，在（0，1）上单调递减 C.f（x）为偶函数，在（0，1）上单调递增 D.f（x）为偶函数，在（0，1）上单调递减 解析：A　函数f（x）的定义域为（－1，1），f（－x）＝ln（1－x）－ln（1＋x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数.f（x）＝ln＝ln（－1），又y＝－1在（0，1）上单调递增，∴f（x）在（0，1）上单调递增.故选A. 5.〔多选〕函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（x2）＝2f（x） B.f（2x）＝f（x）＋f（2） C.f＝f（x）－f（2） D.f（2x）＝2f（x） 解析：ABC　因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga（2x）＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝loga（x）＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以选项A、B、C正确. 6.〔多选〕已知a＞0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga（－x）的图象可能是（　　） 解析：CD　当a＞1时，y＝a－x是减函数，图象恒过点（0，1），y＝loga（－x）是减函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），C选项符合题意；当0＜a＜1时，y＝a－x是增函数，图象恒过点（0，1），y＝loga（－x）是增函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），D选项符合题意.故选C、D. 7.函数f（x）＝｜lox｜的单调递增区间是　[1，＋∞）　. 解析：f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞）. 8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　　. 解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4. 9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是　　m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为　100　. 解析：当O＝2 700时，v＝log3＝log3＝log327＝（m/s）.一条鱼静止时，v＝0，则log3＝0，所以＝1，所以O＝100. 10.设函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0. （1）求a的值； （2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义证明. 解：（1）函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0， 则f（1）＝lg ＝0.则＝1，解得a＝2. （2）f（x）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减. 证明：设0＜x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝lg －lg ＝lg ＝lg（x2＋1）－lg（x1＋1）， 因为0＜x1＜x2，所以lg（x2＋1）＞lg（x1＋1），所以f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 11.函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（　　） 解析：B　由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函数，由此知C、D错误.又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）上单调递增，所以B正确.故选B. 12.〔多选〕设偶函数f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A.f（a＋1）＞f（b＋2） B.f（a＋1）＜f（b＋2） C.f（1）＝0 D.f（1）＞0 解析：AC　由于函数f（x）＝loga｜x－b｜是偶函数，所以b＝0，又函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则0＜a＜1，所以有1＜a＋1＜2.因为f（a＋1）＝loga｜a＋1｜，f（b＋2）＝loga2，所以f（a＋1）＞f（b＋2）.又f（x）＝loga｜x｜，所以f（1）＝0.故选A、C. 13.〔一题多解〕若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象经过点（，），则a＝　　. 解析：法一　函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax（a＞0，a≠1），则loga＝，∴＝，∴a2＝2，∴a＝. 法二　∵函数y＝ax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（，），∴函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象过点（，），则＝，∴a2＝2，∴a＝. 14.已知函数y＝f（x）的图象与g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（9，2）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（3x－1）＞f（－x＋5），求x的取值范围. 解：（1）因为g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点（9，2）， 所以loga9＝2，解得a＝3，所以g（x）＝log3x. 又因为函数y＝f（x）的图象与g（x）＝log3x的图象关于x轴对称，所以f（x）＝lox. （2）因为f（3x－1）＞f（－x＋5）， 即lo（3x－1）＞lo（－x＋5）， 则解得＜x＜， 所以x的取值范围为{x｜＜x＜}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $