专题21 对数函数（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题21 对数函数 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、对数函数定义域、值域问题 类型二、对数函数图像的应用 类型三、比较对数值大小 类型四、利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 类型五、对数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 类型六、对数（型）函数与不等式 类型七、对数（型）函数恒成立（能成立）问题 类型八、对数函数新定义问题 压轴专练 类型一、对数函数定义域、值域问题 【技巧方法】 型函数的定义域、值域的求法： (1)形如的函数的定义域就是不等式f(x)>0的解集． (2)形如的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合的单调性求出的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 注:与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 例1．（1）函数的定义域为_______________- （2）已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． （3）函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数的值域为，则实数m的值为（  ） A．2 B．3 C．9 D．27 变式1-3．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 变式1-4．已知，则的值域是 ． 类型二、对数函数图像的应用 1.对数函数图象过定点问题： 对数函数(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，据此，可解决形如y＝k·＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，令＝1，即可求解． 2.：对数函数图象的识别及应用： (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 例2．（1）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． （2）函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． （3）若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 变式2-2．函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 变式2-3．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 变式2-4．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 变式2-5．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是_______ 类型三、比较对数值大小 【技巧方法】 比较对数值大小的常用方法： (1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较. (2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较. (3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较. (4)对于多个对数值的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小. (5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论. 例3．已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式3-1．若，，，则（  ） A． B． C． D． 变式3-2．函数，若，则（  ） A． B． C． D． 变式3-3．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 类型四、利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 【技巧方法】 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 例4．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-3．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式4-4．已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 类型五、对数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 利用复合函数的单调性与奇偶性的定义及其性质，通过对数型函数分析研究其单调性与奇偶性，从而解决求值、求参等问题． 例5．已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 变式5-1．（多选）关于函数，以下说法正确的是（  ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 变式5-2．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 变式5-3．已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 类型六、对数（型）函数与不等式 对数不等式的解法： 将不等式两边化为同底构造对应的对数函数再利用对数函数的单调性求解． 【技巧方法】 对数不等式的三种类型及解法： (1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解. (3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 例6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-1．已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，且，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 类型七、对数（型）函数恒成立（能成立）问题 【技巧方法】 一般先判断对数型函数的奇偶性，再判断对数型函数在区间上的单调性，从而将问题转化为在区间上恒成立（或者有解）问题，利用分参法、最值法等进而可求解. 例7．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 变式7-1．已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-2．当时，，则a的取值范围是（  ） A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 变式7-3．已知且，当时，，则的取值范围为 . 变式7-4．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 变式7-5．已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 类型八、对数函数新定义问题 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 例8．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数解析式； ②已知，对于上的任意值，，记，求的最大值.（注：.） 变式8-1．定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 变式8-2．设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 变式8-3．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 变式8-4．对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 1.已知则（ ） A. B. C. D. 2.已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.如图所对应的函数的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 4.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（多选）设函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 D. 对于任意的，都有 7.（多选）已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 8.（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有； ②； ③若，，，则有，就称为“A函数”. 下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（  ） A． B． C． D． 9.已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 10.函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 11.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________ 12.已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是________. 13.函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 14.定义一种新的运算“”：、，都有. （1）对于任意实数、、，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 对数函数 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、对数函数定义域、值域问题 类型二、对数函数图像的应用 类型三、比较对数值大小 类型四、利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 类型五、对数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 类型六、对数（型）函数与不等式 类型七、对数（型）函数恒成立（能成立）问题 类型八、对数函数新定义问题 压轴专练 类型一、对数函数定义域、值域问题 【技巧方法】 型函数的定义域、值域的求法： (1)形如的函数的定义域就是不等式f(x)>0的解集． (2)形如的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合的单调性求出的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 注:与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 例1．（1）函数的定义域为_______________- 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】由函数有意义，则满足，即， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： （2）已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义转化为对任意恒成立即可求解。 【解析】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. （3）函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解析】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 变式1-1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域以及函数有意义可确定函数定义域. 【解析】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是． 故选：C. 变式1-2．已知函数的值域为，则实数m的值为（  ） A．2 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】利用函数的值域为可转化为的最小值来求解. 【解析】因为函数的值域为，所以的最小值为，所以； 故选：C 变式1-3．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【解析】∵的定义域为R， ∴恒成立， 当，即或， 若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件． 若，不等式等价为，恒成立，满足条件． 当时，要使不等式恒成立， 则， 即或， 解得或， 综上可知，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 变式1-4．已知，则的值域是 ． 【答案】 【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解. 【解析】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为: 类型二、对数函数图像的应用 1.对数函数图象过定点问题： 对数函数(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，据此，可解决形如y＝k·＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，令＝1，即可求解． 2.：对数函数图象的识别及应用： (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 例2．（1）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义及性质求出；进而可求解. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 故，此时， 当时，，即的图象过定点. 故选：B （2）函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质以及代入特殊值分析即得。 【解析】的定义域为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误. ，所以B选项错误. 故选：C （3）若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案. 【解析】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 变式2-1．已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【解析】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式2-2．函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数，排除A；当时，，当时， ，排除BC，可得正确选项D. 【解析】的定义域为且，且，所以为偶函数，排除A； 当时，，，， 当时，，，，排除BC. 故选：D. 变式2-3．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图像研究函数性质即可求解 【解析】对于A选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，满足条件. 故选：D. 变式2-4．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【解析】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 变式2-5．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【分析】利用分段函数作出图像分析即可求解。 【解析】作出函数图像如下： 又有三个不同的实数根， 所以函数与直线有三个交点， 由图像可得：. 故答案为： 类型三、比较对数值大小 【技巧方法】 比较对数值大小的常用方法： (1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较. (2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较. (3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较. (4)对于多个对数值的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小. (5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论. 例3．已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】依题意，， 则，而，则， 所以的大小关系是. 故选：C. 变式3-1．若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【解析】，，， 故，，，所以. 故选：D. 变式3-2．函数，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】因为，所以， 又当时，在上单调递增，所以 所以. 故选：D 变式3-3．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】因为函数在定义域上单调递增， 故， 又， 所以. 故选：A 类型四、利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 【技巧方法】 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 例4．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解. 【解析】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 变式4-1．“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 变式4-2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【解析】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：D. 变式4-3．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数在上为减函数的性质列式可求得结果. 【解析】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 变式4-4．已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围. 【解析】因为且，所以当时，函数只能单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 类型五、对数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 利用复合函数的单调性与奇偶性的定义及其性质，通过对数型函数分析研究其单调性与奇偶性，从而解决求值、求参等问题． 例5．已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【分析】（1）由偶函数的定义求解参数的值即可； （2）先判断出函数的单调性，利用函数的单调性的定义证明即可； （3）对恒成立，分离参数，转化为对恒成立.令，求解其最小值即可. 【解析】（1）由于函数为上的偶函数， 所以对恒成立，即，对恒成立， 即对恒成立， 整理得，对恒成立且， 所以. （2）由（1），故，在上单调增， 证明如下：任取，且， 则 . 因为，所以，，则. 所以，即， 因此，函数在上单调递增. （3）由题得对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以， 则且对恒成立. 设，令，因为，所以. 则， 因为在上单调递增， 则，且函数上单调递减. 故. 因此，，又，则实数a的取值范围是. 变式5-1．（多选）关于函数，以下说法正确的是（  ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【解析】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 变式5-2．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【解析】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ， 所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 变式5-3．已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据函数单调性的定义可知在区间上单调递增，假设存在正数，通过判断方程正根的个数即可证明. 【解析】（1）由题意可得， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以，整理得， 又因为，所以. （2）由（1）得， 令，设， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增， 又由对数函数的单调性，可知函数在区间上单调递增， 假设存在正数，使得当时，函数的值域为， 则， 可得方程有两个不相等的正根，整理为， 可得， 又由，可得， 故方程没有两个不相等的正根，不存在满足题意的正数. 类型六、对数（型）函数与不等式 对数不等式的解法： 将不等式两边化为同底构造对应的对数函数再利用对数函数的单调性求解． 【技巧方法】 对数不等式的三种类型及解法： (1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解. (3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 例6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由偶函数的单调性可得在上单调递增，然后将不等式化简，结合对数函数的单调性求解，即可得到结果. 【解析】因为定义在R上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 所以不等式即，即，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：C 变式6-1．已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 变式6-2．已知函数，且，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 变式6-3．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集． 【解析】由题意，不等式，即， 等价于在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 可得不等式的解集为， 故选：B 类型七、对数（型）函数恒成立（能成立）问题 【技巧方法】 一般先判断对数型函数的奇偶性，再判断对数型函数在区间上的单调性，从而将问题转化为在区间上恒成立（或者有解）问题，利用分参法、最值法等进而可求解. 例7．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【解析】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 变式7-1．已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【解析】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以， 故 ，解得：， 故选：D. 变式7-2．当时，，则a的取值范围是（  ） A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【答案】 【分析】借助图像分析即可求解. 【解析】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图 故选:B. 变式7-3．已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【解析】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 变式7-4．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【解析】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 变式7-5．已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）结合对数函数性质化简不等式，再求其解； （2）令​，条件可转化为即​在​上有解，进一步转化为，根据基本不等式求的最小值可得结论； （3）结合对数函数性质可得，结合条件列不等式，解不等式确定满足条件的不存在. 【解析】（1）因为，， 所以不等式可化​， 又​是增函数， 所以​，解得​， 所以原不等式的解集为​； （2）由题意令​，因​，所以​， 所以不等式​在​上有解， 即​在​上有解， 分离参数得​， 所以在​上有解， 所以， 因为​，当且仅当​时取等号， 所以​， 所以实数​的取值范围为​； （3）首先要使函数在​上有意义，需​，所以​， 易知函数​在​上的最大值必在端点处产生， 故只需​，或​， 由①得​或，由②得​，又，故无解，舍去； 由④得​或​，由③得​，又，故无解，舍去； 综上可知，不存在使结论成立． 类型八、对数函数新定义问题 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 例8．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数解析式； ②已知，对于上的任意值，，记，求的最大值.（注：.） 【答案】（1）1 （2）①② 【分析】（1）根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解； （2）①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式； ②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可. 【解析】（1）由已知，可得， 则， 则，解得， 所以实数的值为. （2）①设， 因为偶函数，所以， 由，可得， 整理可得，即，所以， 所以对任意恒成立，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 故函数的解析式为. ②由①知. 在内任取，且， 则， 因为 ，， 所以，，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 故的最小值为. 变式8-1．定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 【答案】 / / 【解析】由三阶行列式根据题意得， 元素的余子式， 解得； 元素2的余子式 则函数 由解得，则定义域为， 令， 则当，函数单调递增，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增； 当，函数单调递减，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减； 故单调减区间为. 故答案为：；（填也正确）. 变式8-2．设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 变式8-3．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）若是函数的好区间， 分2种情况讨论： 若在上单调递增．则，解可得， 此时 在上单调递增，符合条件； 若在上单调递减，则，解可得， 此时，符合题意， 综合可得：或. （2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增， 则有，故和是方程，即的两根， 令，原方程等价于， 则方程有两个不等的正根， 则有，解可得，即的取值范围为． 变式8-4．对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 【答案】（1）不具有解析 （2）证明见解析 （3）4 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【解析】（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 1.已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，分别判断的范围，即可得出结果. 【解析】， 因为，所以， ； 所以， 故选：A 2.已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】当， ∴当时，， ∵的值域为R，∴当时，值域需包含， ∴，解得， 故选：C. 3.如图所对应的函数的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【解析】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 4.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数在上为减函数的性质列式可求得结果. 【解析】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 5.已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据函数图象可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【解析】函数的图象如图，不妨令， 观察图象，得，且，， 由，得， 因此， 设，函数在为增函数，， 则，所以的取值范围是. 故选：A 6.（多选）设函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 D. 对于任意的，都有 【答案】ABD 【分析】根据真数大于0求得定义域，可判断A；利用奇偶性定义判断奇偶性，可判断B；取特殊值计算可判断C；根据对数运算化简即可判断D. 【解析】对于A，由，解得，故函数的定义域为，故A正确； 对于B，由A可知定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B正确； 对于C；当时，，故C错误； 对于D，对于，，故D正确. 故选：ABD. 7.（多选）已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【解析】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 8.（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有； ②； ③若，，，则有，就称为“A函数”. 下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A中，，故不是“A函数”，故A错误； B中，若，，， 则 ，不满足③， 故不是A函数，故B错误； C中，显然满足①②，又， 所以是“A函数”，故C正确； D中，显然满足①②， 因为，， 所以， 又，所以，， 从而，因此，是“A函数”，故D正确. 故选：CD. 9.已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 【答案】 【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可. 【解析】因为函数(，且 )的图像过定点A， 所以. 因为点A在函数的图像上， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 10.函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【解析】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 11.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________ 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【解析】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故答案为： 12.已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】如图，结合图象得出解的情况，设，则原方程变为，根据解的情况，可得出方程三根的取值范围，根据解的范围，即可得出系数的范围. 【解析】由题意，画出直线和函数的图象，如图， 由图象可知，当时，有3个解. 设，则原方程变为， 所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是 方程的两根满足且. 则，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：． 13.函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为； （2）由（1）可知：令，因为，所以， ， 设函数，函数在上单调递增， 所以函数在时单调递增，故， 因此对于恒成立，只需， 因此的取值范围为. 14.定义一种新的运算“”：、，都有. （1）对于任意实数、、，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用题中的定义结合对数的运算性质可得出结论； （2）利用题中定义结合对数的运算性质化简得出，，可知函数的一个零点在区间，则另一个零点在区间，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （3）利用换元法求出函数的值域，可得出函数的值域，利用基本不等式结合对数函数的单调性可求出函数的值域，可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解析】（1）因为、，，， ， 所以， （2）因为， 所以，原不等式可化为，即， 为满足题意，必有，解得或， 令，则其对称轴为直线， 由于，，结合（1）可得， 所以，函数的一个零点在区间，则另一个零点在区间， 从而，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为， ， 设，其中，令，则，则， 所以，，则， 所以函数的值域为， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，故函数的值域为， 根据题意，，，即， 解得且， 所以，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $