6.2 第2课时 指数函数图象与性质的综合应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦指数函数图象与性质的综合应用，系统梳理图象变换（平移、对称、翻折）、指数型函数性质（定义域、值域、单调性）及实际应用模型。作为指数函数基础学习后的进阶内容，通过例题搭建从单一变换到复合性质分析的学习支架，衔接基础概念与综合应用。 该资料以题型分层设计为特色，例题与通性通法结合，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。如通过具体函数平移对称帮助学生直观理解图象变换规律，用“同增异减”分析复合函数单调性培养推理能力，结合人口增长问题建立指数模型体现应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　指数函数图象与性质的综合应用 　　 题型一　与指数函数有关的图象变换 （链接教科书第145页例3）画出下列函数的图象，并说明下列函数的图象与指数函数y＝2x的图象的关系： （1）y＝2x－1；（2）y＝2x＋1； （3）y＝2｜x｜；（4）y＝－2x； （5）y＝－2－x. 解：图象如图所示： （1）函数y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的. （2）函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的. （3）函数y＝2｜x｜的图象是由y＝2x保留y轴右侧的图象，并作其关于y轴对称的图象得到的. （4）函数y＝－2x的图象是由y＝2x的图象关于x轴对称得到的. （5）函数y＝－2－x的图象是由y＝2x的图象关于原点对称得到的. 通性通法 利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换 （2）对称变换 （3）翻折变换 ①y＝f（x）y＝｜f（x）｜； ②y＝f（x）y＝f（｜x｜）. 已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）. （1）若f（x）的图象如图①所示，求a，b的值； （2）若f（x）的图象如图②所示，求a，b的取值范围； （3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围. 解：（1）f（x）的图象过点（2，0），（0，－2）， 所以 又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. （2）f（x）单调递减，所以0＜a＜1，又f（0）＜0. 即a0＋b＜0，所以b＜－1. 故a的取值范围为（0，1），b的取值范围为（－∞，－1）. （3）画出｜f（x）｜＝｜（）x－3｜的图象如图所示，要使｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞）∪{0}. 题型二　指数型函数的性质及应用 角度1　指数型函数的定义域与值域 求下列函数的定义域和值域： （1）y＝；（2）y＝（； （3）y＝4x＋2x＋1＋1. 解：（1）由1－2x≥0，得2x≤1，则x≤0，所以函数的定义域为（－∞，0]. 由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，则0≤1－2x＜1， 故函数y＝的值域为[0，1）. （2）y＝（的定义域为R， 因为x2－2x－3＝（x－1）2－4≥－4， 所以（≤（）－4＝16. 又因为（＞0，故函数y＝（的值域为（0，16]. （3）函数的定义域为R， 因为y＝4x＋2x＋1＋1＝（2x）2＋2·2x＋1＝（2x＋1）2， 又2x＞0，所以y＞1，故函数的值域为（1，＋∞）. 通性通法 函数y＝af（x）定义域、值域的求法 （1）形如y＝af（x）的定义域就是f（x）的定义域； （2）形如y＝af（x）的值域，应先求出f（x）的值域，再由函数的单调性求出af（x）的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论； （3）形如y＝f（ax）的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f（u）确定出y＝f（ax）的值域. 角度2　指数型函数的单调性 判断f（x）＝（的单调性，并求其值域. 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝（）u. 因为u＝x2－2x＝（x－1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 又因为y＝（）u在（－∞，＋∞）上是减函数， 所以f（x）＝（在（－∞，1]上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减. 又u＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1， 对于y＝（）u，u≥－1，有0＜（）u≤（）－1＝3， 所以原函数的值域为（0，3]. 通性通法 函数y＝af（x）（a＞0，a≠1）的单调性的处理技巧 　　关于指数型函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的单调性由两点决定：一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f（x）的单调性.它由两个函数y＝au，u＝f（x）复合而成，当这两个函数在对应区间上的单调性同增同减时，y＝af（x）为增函数；当它们的单调性一增一减时，y＝af（x）为减函数. 1.若函数f（x）＝的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是　（1，＋∞）　. 解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当0＜a＜1时，x≤1；当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1. 2.求函数y＝4x－2·2x＋5的单调区间. 解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈（0，＋∞）. y＝（2x）2－2·2x＋5＝t2－2t＋5＝（t－1）2＋4，t∈（0，＋∞）.当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0＜t＜1时，0＜2x＜1，x＜0. ∵y＝（t－1）2＋4在[1，＋∞）上单调递增，t＝2x在[0，＋∞）上单调递增， ∴y＝4x－2·2x＋5的单调递增区间为[0，＋∞）. 同理可得单调递减区间为（－∞，0）. 题型三　指数函数模型的实际应用 （链接教科书第147页例4）某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2％，试解答下面的问题： （1）写出该城市的人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； （2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）. （参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127） 解：（1）1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2％＝100×（1＋1.2％）； 2年后该城市人口总数为：y＝100×（1＋1.2％）＋100×（1＋1.2％）×1.2％＝100×（1＋1.2％）2； … x年后该城市人口总数为：y＝100×（1＋1.2％）x. （2）10年后该城市人口总数为：y＝100×（1＋1.2％）10＝100×1.01210≈112.7（万人）. 通性通法 解决指数型函数应用题的流程 （1）审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息； （2）建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式； （3）解模：运用数学知识解决问题； （4）回归：还原为实际问题，归纳得出结论. 有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20％，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10％，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐. 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次. 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）？（参考数据：1.25≈2.49，1.15≈1.6，1.325≈4） 解：设树木最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为：y1＝a（1＋20％）5（1＋10％）5＝a（1.2×1.1）5≈4a. 乙方案在10年后树木产量为：y2＝2a（1＋20％）5＝2a×1.25≈5a. y1－y2＝－a＜0， 因此，乙方案能获得更多的木材. 1.函数f（x）＝＋的定义域为（　　） A.（－5，0） B.[－5，0） C.（－5，0] D.[－5，0] 解析：C　令所以－5＜x≤0.故选C. 2.若f（x）＝（）｜x｜，x∈R，那么f（x）是（　　） A.奇函数且在（0，＋∞）上单调递增 B.偶函数且在（0，＋∞）上单调递增 C.奇函数且在（0，＋∞）上单调递减 D.偶函数且在（0，＋∞）上单调递减 解析：D　依题意，得f（－x）＝（）｜－x｜＝（）｜x｜＝f（x），所以f（x）是偶函数.当x＞0时，f（x）＝（）｜x｜＝（）x，函数f（x）单调递减. 3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了　　天. 解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半. 4.函数y＝单调递减区间是. 解析：令u＝x2－5x－6，则y＝2u.∵u＝x2－5x－6＝－在上单调递减，在上单调递增，又∵y＝2u在R上是增函数，∴y＝的单调递减区间是. 　　 1.函数f（x）＝的定义域为（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.[1，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：C　由x－1≥0可得x≥1，所以函数f（x）＝的定义域为[1，＋∞）.故选C. 2.函数y＝2x＋1的图象是（　　） 解析：A　函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度所得，又当x＝0时，y＝2.故选A. 3.为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造，三年后，该城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（　　） A.50％ B.40％ C.30％ D.20％ 解析：B　设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125（1－p）3＝27，故p＝＝0.4＝40％.故选B. 4.（2026·南通期中）已知函数f＝（在上是增函数，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：B　函数f＝由外层函数y＝和内函数μ＝x2＋ax复合而成，因为外层函数y＝是减函数，所以内层函数μ＝x2＋ax在上是单调递减函数，又μ＝x2＋ax是二次函数，开口向上，函数的对称轴x＝－，所以－≥1，解得a≤－2.故选B. 5.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.y＝21－x是R上的增函数 B.某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为（1＋p）12－1 C.当a＞1时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反 D.若2x＋1＜1，则x＜－1 解析：BD　在A中，y＝21－x＝（）x－1是R上的减函数，故A错误；在B中，设年平均增长率为r，原有的生产总值为a，则a（1＋p）12＝a（1＋r），解得r＝（1＋p）12－1，故B正确；在C中，由抽象函数单调性“同增异减”知y＝与y＝f（x）在a＞1时具有相同的单调性，故C错误；在D中，若2x＋1＜1，则x＋1＜0，所以x＜－1，故D正确.故选B、D. 6.〔多选〕（2026·南通月考）已知函数f＝，则（　　） A.函数f的定义域为R B.函数f的值域为 C.函数f在上单调递增 D.函数f在上单调递减 解析：ABD　令u＝x2＋4x＋3＝－1，则u∈，对于A，f的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；对于B，因为y＝，u∈的值域为，所以函数f的值域为，故B正确；对于C、D，因为u＝x2＋4x＋3在上单调递增，且y＝，u∈在定义域上单调递减，根据复合函数单调性法则，得函数f在上单调递减，故C错误，D正确.故选A、B、D. 7.当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝3x－2的值域为　　. 解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上单调递增，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f（x）≤1. 8.若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是（－∞，0]　. 解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y＝｜2x－1｜的图象.由图可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上单调递减，所以m∈（－∞，0]. 9.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f（x）（mg/mL）随时间x（h）变化的规律近似满足解析式f（x）＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过　4　h后才能开车（精确到1 h）. 解析：当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·（）x≤0.02，当x＝3时，不等式不成立，当x＝4时，不等式成立.故至少要过4 h后才能开车. 10.已知函数f（x）＝（. （1）若a＝－1，求函数f（x）的增区间； （2）若a＝1，求函数f（x）的最大值. 解：（1）当a＝－1时，f（x）＝， 令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7， 由于g（x）在（－2，＋∞）上单调递减，y＝在R上是减函数，所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，即f（x）的增区间是（－2，＋∞）. （2）由a＝1，得f（x）＝（， 令t＝x2－4x＋3， 则t＝（x－2）2－1， 故f（x）＝（在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减， 故其最大值为f（2）＝（）－1＝3. 11.函数y＝的图象大致为（　　） 解析：A　函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减，排除B，故选A. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－（）x，其中a＞0且a≠1，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）是奇函数 B.函数f（x）＝0在其定义域上有解 C.函数f（x）的图象过定点（0，1） D.当a＞1时，函数f（x）在其定义域上是增函数 解析：ABD　f（x）＝ax－（）x＝ax－a－x，定义域为R，f（－x）＝a－x－ax＝－f（x），所以f（x）为奇函数，且f（0）＝0，故A、B正确，C错误；当a＞1时，0＜＜1.因为y＝ax，y＝－（）x在R上均为增函数，所以f（x）在其定义域上是增函数，故D正确.故选A、B、D. 13.函数f（x）＝a2x＋3ax－2（a＞0，且a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是　－　. 解析：令ax＝t（t＞0），则原函数可化为g（t）＝t2＋3t－2，易知函数g（t）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，g（t）max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.所以g（t）min＝（）2＋3×－2＝－.当a＞1时，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－.综上可知，f（x）在[－1，1]上的最小值为－. 14.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p％，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a. （1）求p％的值； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 解：（1）由题意得a（1－p％）10＝， 即（1－p％）10＝，解得p％＝1－. （2）设经过m年森林面积为a， 则a（1－p％）m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年. （3）从今年开始，n年后森林面积为a（1－p％）n， 令a（1－p％）n≥a，即（1－p％）n≥，≥，得≤，解得n≤15， 故今后最多还能砍伐15年. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $