6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的概念、图象与性质核心知识点，从细菌分裂实例引入，抽象出指数函数定义（y=a^x，a>0且a≠1），通过描点法作图探索定义域、值域、单调性及特殊点，进而应用于比较大小、解不等式，构建“实例→概念→性质→应用”的学习支架。 该资料以实例驱动数学抽象，“想一想”环节解析底数限制依据，培养理性思维。结合图象探究性质发展直观想象，“通性通法”总结解题策略提升数学运算能力。课中辅助教师引导学生主动探究，课后练习题帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

6.2　指数函数 课标 要求 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念（数学抽象）. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点（直观想象、数学运算）. 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 　　 　　某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次（1个分裂成2个）. 【问题】　（1）经过3小时，这种细菌由1个可分裂为几个？ （2）经过x小时，这种细菌由1个可分裂为几个？ 　 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数y＝　ax　（a＞0，a≠1）叫作指数函数，它的定义域是　R　. 提醒：指数函数的结构特征 【想一想】 　为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？ 提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义； ②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义； ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1. 知识点二　指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：　R　 值域：　（0，＋∞）　 图象过定点：　（0，1）　，图象在x轴的　上方　 在（－∞，＋∞）上是　增　函数； 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在（－∞，＋∞）上是　减　函数； 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 提醒：（1）当0＜a＜1时，底数越小，图象在y轴的左侧越靠近y轴；（2）当a＞1时，底数越大，图象在y轴的右侧越靠近y轴. 【想一想】 1.指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）具有奇偶性吗？ 提示：指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）不具有奇偶性，因此它既不是奇函数也不是偶函数. 2.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限. 3.指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与底数a有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”“降”.当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的. 1.函数y＝2－x的图象是（　　） 解析：B　y＝2－x＝（）x，此函数是指数函数，且为减函数.故选B. 2.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.指数函数y＝ax中，a可以为负数 B.y＝2x＋1是指数函数 C.已知函数f（x）＝3x，若m＞n，则f（m）＞f（n） D.指数函数y＝ax与y＝（）x的图象关于y轴对称 解析：CD　在A中，底数a为大于0且不等于1的常数，故A错误；在B中，y＝2x＋1不是指数函数，故B错误；在C中，函数f（x）＝3x为增函数，若m＞n，则f（m）＞f（n），故C正确；易知D正确.故选C、D. 3.如果函数f（x）＝2a·3x是指数函数，则a＝　　. 解析：根据题意，得2a＝1，解得a＝. 4.若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝2，求f（x）的解析式. 解：设f（x）＝ax（a＞0，a≠1），∵f（2）＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f（x）＝（）x. 　　 题型一　指数函数的概念 （1）下列函数中是指数函数的是（　　） A.y＝（－8）x B.y＝πx C.y＝3·2x D.y＝ax （2）若函数f（x）＝（a－3）·ax是指数函数，则f（）＝（　　） A.2 B.－2 C.－2 D.2 答案：（1）B　（2）D 解析：（1）在A中，底数－8＜0，所以不是指数函数，故A错误；在B中，y＝πx是指数函数，故B正确；在C中，y＝3·2x中指数式2x的系数是3，所以不是指数函数，故C错误；在D中，只有规定a＞0且a≠1时，y＝ax才是指数函数，故D错误.故选B. （2）因为函数f（x）是指数函数，所以所以a＝8，所以f（x）＝8x，f（）＝＝2. 通性通法 1.判断一个函数是指数函数的方法 （1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构特征； （2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数. 2.求指数函数解析式的方法 一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式. 1.若函数y＝（k＋2）ax＋2－b（a＞0，且a≠1）是指数函数，则k＝　　，b＝　　. 解析：根据指数函数的定义，得解得 2.若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），则f（－1）＝　　. 解析：设f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），将点（2，9）代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3（舍去）.所以f（x）＝3x.所以f（－1）＝3－1＝. 题型二　指数函数的图象及应用 （1）如图所示是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（　B　 ） A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c （2）若函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），则m＋n＝（　C　） A.3 B.1 C.－1 D.－2 解析：（1）在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1，所以b＜a＜1＜d＜c. （2）由函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1. 通性通法 1.解决指数函数图象问题的注意点 （1）熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状； （2）在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 2.解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，a≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点（－c，k＋b）. 1.已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx；②y＝nx的图象为（　　） 解析：C　由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 2.已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　由0＜a＜1得y＝ax＋b是减函数，函数恒过点（0，1＋b），因为b＜－1，所以点（0，1＋b）在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限. 题型三　指数函数的性质及应用 角度1　指数式的大小比较 （链接教科书第144页例1）比较下列各组数中两个数的大小： （1）2.42.5，2.43.2； （2）（，（； （3）1.80.3，0.51.2. 解：（1）因为函数y＝2.4x在R上是增函数，又2.5＜3.2， 所以2.42.5＜2.43.2. （2）因为函数y＝（）x在R上是减函数，又－＞－，所以（＜（. （3）由指数函数的性质知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1， 所以1.80.3＞0.51.2. 通性通法 比较指数式大小的2种类型及处理方法 角度2　求解指数不等式 （链接教科书第145页例2）（1）已知7x≥（，求实数x的取值范围； （2）已知0.＜52x＋2，求实数x的取值范围. 解：（1）因为（＝， 所以由7x≥（可得7x≥， 因为y＝7x为增函数，故x≥. 所以实数x的取值范围为区间［，＋∞）. （2）由0.＜52x＋2得，（5－1＜52x＋2，即＜52x＋2， 因为函数y＝5x在R上是增函数，所以x2－1＜2x＋2， 即x2－2x－3＜0， 解得－1＜x＜3， 所以实数x的取值范围为区间（－1，3）. 通性通法 解指数不等式的方法 （1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式； （2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af（x）＞ag（x）⇒f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1）. 1.（2026·无锡期中）若a＝1.60.3，b＝1.62.1，c＝0.72.1，则（　　） A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c 解析：D　因为函数y＝1.6x在R上单调递增，且2.1＞0.3＞0，所以1.62.1＞1.60.3＞1.60＝1，即b＞a＞1；又因为函数y＝0.7x在R上单调递减，且2.1＞0，所以0.72.1＜0.70＝1，即c＜1.故b＞a＞c.故选D. 2.若a－5x＞（a＞0且a≠1），求x的取值范围. 解：（1）当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞可得－5x＜x＋7，解得x＞－； （2）当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞可得－5x＞x＋7，解得x＜－. 综上，当0＜a＜1时，x的取值范围为（－，＋∞）； 当a＞1时，x的取值范围为（－∞，－）. 1.下列函数中是指数函数的是（　　） A.y＝（）x－1　　　 　B.y＝ax（a＞0，且a≠1） C.y＝1x D.y＝（）2x－1 解析：B　由指数函数的定义可判定，只有B选项中的函数是指数函数.故选B. 2.已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　） A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定 解析：B　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n. 3.〔多选〕（2026·苏州月考）若函数f（x）＝（a－3）·ax（a＞0，且a≠1）是指数函数，则下列说法正确的是（　　） A.a＝3 B.a＝4 C.f（）＝2 D.f（0）＝－3 解析：BC　因为函数f（x）是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝4，所以f（x）＝4x，所以f（0）＝1，f（）＝＝2.故选B、C. 4.已知函数f（x）＝＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为　（1，3）　. 解析：因为y＝ax的图象过定点（0，1），所以令x－1＝0，即x＝1时，f（1）＝1＋2＝3，所以函数图象恒过定点（1，3）. 　　 1.（2026·苏州期中）若函数f＝为指数函数，则实数k的取值范围是（　　） A.∪ B.（0，）∪（，＋∞） C.∪（0，） D.（－∞，－）∪（0，） 解析：A　依题意得2k＋1＞0且2k＋1≠1，解得k∈（－，0）∪.故选A. 2.已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　） A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定 解析：B　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n.故选B. 3.已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分图象如图所示，则（　　） A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1 C.a＞b＞1 D.b＞a＞1 解析：D　由题图可知函数y＝ax，y＝bx均单调递增，则a＞1，b＞1.当x＝－1时，a－1＝＞b－1＝，得a＜b，所以b＞a＞1.故选D. 4.函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图象大致是（　　） 解析：A　当a＞1时，函数f（x）＝ax为增函数，当x＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A. 5.（2026·扬州新华中学期中）已知a＝20.3，b＝40.1，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A.c＞a＞b B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.a＞b＞c 解析：D　由b＝40.1＝＝20.2，又y＝2x在R上单调递增，又0.3＞0.2＞0，所以20.3＞20.2＞20＝1，即a＞b＞1；又y＝在R上单调递减，0.3＞0，c＝＜＝1，所以a＞b＞1＞c.故选D. 6.〔多选〕设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（　　） A.f（x＋y）＝f（x）f（y） B.f（x－y）＝ C.f（）＝f（x）－f（y） D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q） 解析：ABD　f（x＋y）＝＝axay＝f（x）·f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝＝ax＝＝，故B中的等式正确；f（）＝＝（ax，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确. 7.已知函数f（x）为指数函数，且f＝，则f（－2）＝　　. 解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f＝得，＝，所以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝. 8.若函数y＝（）x在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝　6　. 解析：由指数函数y＝（）x的图象可知函数在x＝－1处取最小值2，在x＝－2处取最大值4.所以m＋n＝6. 9.已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[－1，1]上恒有f（x）＜2，则实数a的取值范围是　（，1）∪（1，2）　. 解析：当a＞1时，f（x）在[－1，1]上单调递增.因为函数f（x）在[－1，1]上恒有f（x）＜2，所以f（1）＜2，所以a＜2，所以1＜a＜2.当0＜a＜1时，f（x）在[－1，1]上单调递减.因为函数f（x）在[－1，1]上恒有f（x）＜2，所以f（－1）＜2，所以＜2，即a＞，所以＜a＜1.综上所述，实数a的取值范围是（，1）∪（1，2）. 10.已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数. （1）求f（x）的表达式； （2）判断F（x）＝的奇偶性，并加以证明. 解：（1）由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1， 可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x. （2）F（x）＝是奇函数. 证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－＝2x－＝2x－2－x， 又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x）， 所以F（x）是奇函数. 11.（2026·无锡期中）已知f是R上的奇函数，当x≥0时，f＝2x＋4x－1，则不等式f＋5＜0的解集是（　　） A. B. C. D. 解析：A　由于y＝2x，y＝4x－1均为上的单调递增函数，故f在上单调递增，由于f是R上的奇函数，故f在R上单调递增，又f＝5，故f＝－5，由f＋5＜0得f（x＋1）＜－5，等价于f＜f，所以x＋1＜－1，解得x＜－2.故选A. 12.〔多选〕已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为（　　） A.a＝b＝0 B.0＜b＜a C.a＜b＜0 D.0＜a＜b 解析：ABC　由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示.由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以选项A正确；作出直线y＝k，当k＞1时，若3a＝6b＝k，则0＜b＜a，所以选项B正确；当0＜k＜1时，若3a＝6b＝k，则a＜b＜0，所以选项C正确. 13.不等式（≤2x的解集为　{x｜x≥1或x≤－2}　. 解析：因为（＝（＝，所以原不等式等价于≤2x.因为y＝2x是R上的增函数，所以－x2＋2≤x，所以x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，所以原不等式的解集是{x｜x≥1或x≤－2}. 14.设f（x）＝3x，g（x）＝（）x. （1）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象； （2）计算f（1）与g（－1），f（π）与g（－π），f（m）与g（－m）的值，从中你能得到什么结论？ 解：（1）函数f（x），g（x）的图象如图所示. （2）f（1）＝31＝3，g（－1）＝（）－1＝3， f（π）＝3π，g（－π）＝（）－π＝3π， f（m）＝3m，g（－m）＝（）－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $