第18讲指数函数（3种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第18讲 指数函数（3种题型+3个易错点+过关检测） 知识点一、指数函数的概念 　　一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 知识点二、指数函数的图象与性质 指数函数 y=ax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，+∞) 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 增函数； 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数； 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 注意：指数函数y=ax与y= (a>0，a≠1)的图象关于y轴对称. 2. 指数函数y=ax(a>0，a≠1)的底数a对图象相对位置的影响： ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； ②在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 知识点三、指数函数图象的变换 1. 平移变换(a>0，a≠1) (1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象；把y=ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象. (2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象. 1 学科网（北京）股份有限公司 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 知识点四、比较指数幂的大小 1. 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同，指数相同： ①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断； ②利用幂函数的单调性进行判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量(常用0或1)来比较. 　　注意：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小. 知识点五、解指数方程或指数不等式 1. 指数方程的解法 (1)对于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等 进行求解. (2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别注意 “元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对一元二次方程根的取舍. 2. 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax，y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的图象求解. 知识点六、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型. (1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域. 2. 求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. 知识点七、与指数函数有关的函数的单调性 1. 形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 (1)当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间； (2)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2. 形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 题型1：指数函数的概念 【例题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式2】（多选）（23-24高一上·陕西·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 题型2：指数函数的图象 【例题2】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数且的图象必过定点 ． 【变式3】（22-23高一上·陕西榆林·期末）已知函数（且），函数. (1)设函数，求图象经过的定点P的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 题型3：指数函数的性质 【例题3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在上的最小值是 ． 【变式3】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 易错点1：忽略指数函数的值域而致错 【例题1】（22-23高一上·辽宁丹东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【变式3】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 易错点2：忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 【例题2】（21-22高一·全国·课后作业）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【变式3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 易错点3：忽略复合函数中函数的性质而致错 【例题3】（22-23高一上·全国·单元测试）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·广西北海·期末）已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 一、单选题 1．（23-24高一上·广东梅州·期中）如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数（其中，为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·天津滨海新·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（11-12高一上·浙江衢州·期末）若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   三、填空题 12．（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 13．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 14．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数在上具有单调性，且，则 . 四、解答题 15．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 16．（23-24高一上·江西新余·期中）已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 17．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 18．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 19．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知的定义在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点. (1)求实数的值，并求的解析式； (2)判断的单调性，并用单调性的定义加以证明. (3)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 指数函数（3种题型+3个易错点+过关检测） 知识点一、指数函数的概念 　　一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 知识点二、指数函数的图象与性质 指数函数 y=ax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，+∞) 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 增函数； 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数； 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 注意：指数函数y=ax与y= (a>0，a≠1)的图象关于y轴对称. 2. 指数函数y=ax(a>0，a≠1)的底数a对图象相对位置的影响： ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； ②在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 知识点三、指数函数图象的变换 1. 平移变换(a>0，a≠1) (1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象；把y=ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象. (2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象. 1 学科网（北京）股份有限公司 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 知识点四、比较指数幂的大小 1. 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同，指数相同： ①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断； ②利用幂函数的单调性进行判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量(常用0或1)来比较. 　　注意：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小. 知识点五、解指数方程或指数不等式 1. 指数方程的解法 (1)对于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等 进行求解. (2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别注意 “元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对一元二次方程根的取舍. 2. 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax，y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的图象求解. 知识点六、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型. (1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域. 2. 求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. 知识点七、与指数函数有关的函数的单调性 1. 形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 (1)当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间； (2)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2. 形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 题型1：指数函数的概念 【例题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 【变式2】（多选）（23-24高一上·陕西·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【答案】ACD 【分析】利用幂函数与指数函数的概念一一判定选项即可. 【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确； 因为， 所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确． 故选：ACD 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 题型2：指数函数的图象 【例题2】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，排除D，再判断出函数不是偶函数，选出正确答案. 【详解】的定义域为，排除D； 又，故，所以不是偶函数，排除BC；A正确. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数且的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 【变式3】（22-23高一上·陕西榆林·期末）已知函数（且），函数. (1)设函数，求图象经过的定点P的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再表示，含有指数型函数，令指数为零，求解定点； （2）把表示为分段函数，求其单调性，再结合的图像限定的范围求得结果. 【详解】（1）因为，所以，又函数，则. 令，则，所以定点P的坐标为. （2）由，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为恒成立，所以在上单调递增， 且根据图像可得，即， 解得， 所以a的取值范围为. 题型3：指数函数的性质 【例题3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 【变式1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在上的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性即可求得函数在给定区间上的最小值. 【详解】因函数是R上的增函数，且， 则时，函数取得最小值为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出后代入方程即可求解； （2）先求出，令，利用二次函数性质即可求解值域. 【详解】（1），由题意有， 化简得，解得（舍去）或，故； （2）由（1）可知，所以， 令（当且仅当时取等号）， 所以所求函数为， 由函数在上单调递增，所以， 即函数的值域为. 易错点1：忽略指数函数的值域而致错 【例题1】（22-23高一上·辽宁丹东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 即函数的值域为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法结合单调性求二次函数的值域； （2）利用换元法结合二次函数的性质与指数函数性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，函数的定义域为, 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为，， 所以. 所以的值域为. （2），令， 则， 在上单调递减，所以， 所以， 所以的值域为. 易错点2：忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 【例题2】（21-22高一·全国·课后作业）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分与两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值. 【详解】当时，函数在上为减函数， 则，解得：， 当时，函数在上为增函数， 则，解得：． 综上，或． 故选：D 【变式1】（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】/ 【分析】首先由一次函数的单调性得，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值. 【详解】若函数在内是严格增函数， 则，， 若， 因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，不满足， 若， 因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，满足， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0. (2)或. 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解； （2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得（且）. 当时，在上单调递增，，解得. 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 易错点3：忽略复合函数中函数的性质而致错 【例题3】（22-23高一上·全国·单元测试）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的范围后，结合指数函数单调性可求得结果. 【详解】令，则， 在上单调递减，，又， 的值域为. 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性和指数函数的单调性综合分析即可求解. 【详解】二次函数开口向下， 当时，最大值为， 函数是单调递减函数， 所以的值域为. 故选：B. 【变式2】（21-22高一上·广西北海·期末）已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可. 【详解】，R， 令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝， 由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点， 则对t＞0恒成立， 即对t＞0恒成立， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东梅州·期中）如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把给定的点代入指数函数解析式求解即得. 【详解】由函数 的图象经过点 ，得，解得， 所以数 的值为2. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确. 故选：D 4．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知得出，进一步结合指数函数性质即可逐一判断各个选项. 【详解】∵，∴，， 若设指数函数，（且），则易知：， 所以当时，；当时，； 故只有才可能是该指数函数经过的点． 故选：C． 5．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数（其中，为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可得，计算出并结合指数函数性质即可得解. 【详解】由图可得， 则有，且该函数为单调递减函数， 故B、C、D错误，A正确. 故选：A. 7．（22-23高一上·天津滨海新·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域. 【详解】令， 则， 所以 又在上单调递增， 所以 即 故选：B. 8．（11-12高一上·浙江衢州·期末）若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可； 【详解】， 由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果. 【详解】根据题意，由指数函数性质可知 当时，函数单调递减，且， 若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D； 当时，函数，图象可能是C； 当时，函数单调递增，且， 此时交轴正半轴，函数图象可以为B； 故选：BCD 三、填空题 12．（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 13．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知. 【详解】由题意可知，解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：. 14．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数在上具有单调性，且，则 . 【答案】 【分析】令，则，中，令，求出，从而得到，从而求出答案. 【详解】令，则， 中，令得，故， 显然单调递增，且，故， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【答案】. 【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上有意义， 所以，不等式在区间上恒成立， ∵，∴，∴. 记， ∵与是上的减函数， ∴函数在上的单调递增. ∴时，恒成立. ∴，即的取值范围是. 16．（23-24高一上·江西新余·期中）已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可； （2）根据指数函数的单调性求解集. 【详解】（1）指数函数经过点，则且，得， 故，则. （2）因为，即， 又函数在R上是增函数，有，解得， 所以x取值范围为. 17．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 18．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 19．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知的定义在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点. (1)求实数的值，并求的解析式； (2)判断的单调性，并用单调性的定义加以证明. (3)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求出的表达式，结合奇函数性质计算即可得解； （2）设，从而计算的正负即可得证； （3）由奇函数性质结合函数单调性可得对恒成立，构造二次函，结合二次函数性质可得，解出即可得. 【详解】（1）设，由的图象过点， 可得，∴（负值舍去），即， 故函数， 由为奇函数，可得， ∴，即,满足，即为奇函数， 故； （2）在上单调递减，证明如下： ， 设，则， 则， 结合，可得， ∴，即， 故在上单调递减； （3）由且为奇函数，所以， 又在上单调递减，所以对恒成立， 所以对恒成立， 令， 所以有，即，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$