6.1 幂函数-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学幂函数核心知识点，从购物支付、正方形面积等现实问题引入，抽象出幂函数概念，通过y=x、x²、x³等五种常见幂函数的图象与性质分析，归纳一般幂函数的定义域、单调性等规律，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料以情境化问题培养数学抽象能力，结合图象分析发展直观想象，通过比较幂值大小、解不等式等题型强化逻辑推理。课中助力教师引导学生探究性质，课后提供分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

6.1　幂函数 课标 要求 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律（直观想象、逻辑推理）. 2.了解幂函数（数学抽象）. 　　 　　研究下列3个问题： 　　①如果王老师购买每千克1元的蔬菜t千克，那么她需要支付p＝t元，这里p是t的函数； 　　②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； 　　③如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数. 【问题】　上述3个问题中的函数有什么共同的结构特征？ 知识点一　幂函数的概念 形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是　自变量　，α是　常数　. 提醒：对幂函数的再理解：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量x，指数α为常数；③项数只有一项. 知识点二　幂函数的图象与性质 1.五种常见幂函数的图象 2.五种常见幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈（0，＋∞）　增　；x∈（－∞，0）　减　 增 增 x∈（0，＋∞）　减　； x∈（－∞，0）　减　 3.一般幂函数的性质 （1）当α＞0时，y＝xα具有以下两条性质： ①函数的图象都过点　（0，0）　和　（1，1）　； ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而　上升　，函数在区间　[0，＋∞）　上单调递增. （2）当α＜0时，y＝xα具有以下两条性质： ①函数的图象都过点　（1，1）　； ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而　下降　，函数在区间　（0，＋∞）　上单调递减. 【想一想】 1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗？ 提示：不一定.例如y＝2x－5，y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数. 2.幂函数的图象为什么不过第四象限？ 提示：因为当x＞0时，xα＞0，因此幂函数的图象不过第四象限. 1.下列说法正确的是（　　） A.幂函数图象均过点（1，1） B.幂函数的图象均在两个象限内出现 C.幂函数在第四象限内可以有图象 D.任意两个幂函数的图象最多有两个交点 解析：A　根据幂函数的图象特征可知A正确，B、C、D错误.故选A. 2.〔多选〕下列函数中是幂函数的是（　　） A.y＝ B.y＝－x3 C.y＝x2 D.y＝x＋2 解析：AC　对于A、C，即y＝x－1，y＝x2均为幂函数；而选项B，y＝－x3不是幂函数，幂式前系数不为1；选项D，y＝x＋2不符合幂函数的形式，不是幂函数.故选A、C. 3.（2026·宜兴期中）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）＝　　　　. 答案：9 解析：设幂函数f（x）＝xα，其图象过点（2，4），则f（2）＝4，∴2α＝4，∴α＝2，∴f（3）＝32＝9. 4.求函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值. 解：因为函数y＝x－3＝在[－4，－2]上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝（－2）－3＝＝－. 　　 题型一　幂函数的概念 （1）在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，幂函数的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 （2）若f（x）＝（m2－4m－4）xm是幂函数，则m＝　　. 答案：（1）B　（2）5或－1 解析：（1）根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. （2）因为f（x）是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 通性通法 判断一个函数是否为幂函数的方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1. 　已知幂函数y＝（m－2）·xn（m，n∈R）的图象经过点（8，2），则m＋n＝　　. 解析：由幂函数概念知m－2＝1，m＝3，故y＝xn，又函数图象经过点（8，2），所以8n＝2，即23n＝2，n＝，故m＋n＝3＋＝. 题型二　幂函数的图象与性质 （链接教科书第139页例1）写出下列函数的定义域，分别指出它们的奇偶性，并在同一坐标系内画出它们的图象： （1）y＝x2，y＝x3； （2）y＝，y＝； （3）y＝x－1，y＝x－2. 解：（1）函数y＝x2的定义域是R， 因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x）2＝x2，所以函数y＝x2是偶函数. 函数y＝x3的定义域是R， 因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x）3＝－x3，所以函数y＝x3是奇函数.图象如图①所示. （2）函数y＝＝，其定义域是[0，＋∞）， 因为当x∈（0，＋∞）时，－x∉（0，＋∞），函数y＝既不是奇函数，也不是偶函数. 函数y＝的定义域是R， 因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x＝－，所以函数y＝是奇函数.图象如图②所示. （3）由函数y＝x－1＝可知x≠0，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）， 因为对任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且（－x）－1＝－x－1，所以函数y＝x－1是奇函数. 由函数y＝x－2＝可知x≠0，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）， 因为对任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且（－x）－2＝x－2，所以函数y＝x－2是偶函数.图象如图③所示. 通性通法 幂函数图象的画法 （1）先确定幂函数在第一象限内的图象：依据幂的指数α与0，1的大小关系，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.相关结论为：①在（0，1）上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；②在（1，＋∞）上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）； （2）再确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数y＝xα在其他象限内的图象. 〔一题多解〕如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为（　　） A.2，，－，－2 B.－2，－，，2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 解析：A　法一　曲线C1，C2过点（0，0），（1，1），且在第一象限内为增函数，所以n＞0，n为2，，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝.C3，C4过点（1，1），且在第一象限内为减函数，所以n＜0，n为－，－2，显然C3对应y＝，C4对应y＝x－2. 法二　取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2. 题型三　幂函数的性质及应用 角度1　比较幂值的大小 （链接教科书第140页例2）试比较下列各组数的大小： （1）1.1－0.3，0.89－0.3； （2）（）0.5，（）0.5，（）0.5； （3）（，1，（. 解：（1）因为函数y＝x－0.3在（0，＋∞）上单调递减，又1.1＞0.89， 所以1.1－0.3＜0.89－0.3. （2）因为函数y＝x0.5在（0，＋∞）上单调递增，又＞＞， 所以（）0.5＞（）0.5＞（）0.5. （3）因为函数y1＝在（0，＋∞）上单调递增，又＞1，所以（＞＝1.又因为函数y2＝在（0，＋∞）上单调递增，又＜1，所以（＜＝1， 所以（＞1＞（. 通性通法 比较幂值大小的方法 （1）若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小； （2）若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”. 角度2　幂函数性质的综合应用 已知幂函数f（x）＝（m2＋3m－9）xm－1在（0，＋∞）上是减函数，m∈R. （1）求f（x）的解析式； （2）若（2－a＞（2a－1，求实数a的取值范围. 解：（1）由函数f（x）＝（m2＋3m－9）xm－1为幂函数得m2＋3m－9＝1， 解得m＝2或m＝－5， 又函数在（0，＋∞）上是减函数，则m－1＜0，即m＜1， 所以m＝－5，f（x）＝x－6. （2）由（1）得m＝－5，所以不等式为（2－a＞（2a－1， 设函数g（x）＝，则函数g（x）的定义域为（0，＋∞），且函数g（x）在（0，＋∞）上为减函数， 所以解得1＜a＜2，所以实数a的取值范围是（1，2）. 通性通法 　　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值. 1.（2026·扬州期中）已知幂函数f＝（m2－m＋2）xm－1的图象与x轴相交，则实数m＝　2　. 解析：由题可知，m2－m＋2＝1，所以2m2－5m＋2＝0，即＝0.解得m＝或m＝2.当m＝时，f＝＝，其定义域为，值域为，与x轴不相交，故舍去；当m＝2时，f＝x，在x轴相交于坐标原点.综上，m＝2. 2.比较下列各组数中两个数的大小： （1）（－3.14）3，（－π）3；（2）（－）－1，（－）－1；（3）1.，1.，1.42. 解：（1）因为函数y＝x3在（－∞，0）上单调递增，又3.14＜π，所以－3.14＞－π， 所以（－3.14）3＞（－π）3. （2）因为函数y＝x－1在（－∞，0）上单调递减，又－＜－＜0，所以（－）－1＞（－）－1. （3）因为y＝在[0，＋∞）上单调递增，且1.2＜1.4，所以1.＜1.. 易知1.＜1.42，所以1.＜1.＜1.42. 1.下列函数中，不是幂函数的是（　　） A.y＝πx　　　　　　　　　B.y＝x3 C.y＝ D.y＝ 解析：A　幂函数的解析式为y＝xα（α为常数），则y＝x3，y＝，y＝均符合幂函数的定义，而y＝πx不符合幂函数的定义.故选A. 2.下列函数中，是奇函数且在（0，＋∞）上单调递减的为（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 解析：C　所给选项中的函数都是幂函数，其中y＝和y＝是偶函数，y＝和y＝是奇函数，故A、B错误；又y＝在区间（0，＋∞）上单调递减，故C正确；y＝在区间（0，＋∞）上单调递增，故D错误.故选C. 3.（2026·海安高级中学期中）若函数f是幂函数，且f＝9f，则f＝　64　. 解析：设f＝xα，由f＝9f，得3α＝9，解得α＝2，所以f＝x2，f＝82＝64. 4.比较下列各组数的大小： （1），； （2），. 解：（1）由幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，得＜. （2）由幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，得（＜（. 　　 1.已知α∈{1，2，3，，－1}，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为（　　） A.－1，3 B.－1，1 C.1，3 D.－1，1，3 解析：C　当y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1或α＝3. 2.（2026·昆山期中）幂函数f＝（m2－m－1）·在上单调递增，则实数m＝（　　） A.－2 B.－1 C.2 D.2或－1 解析：B　由题意，m2－m－1＝1，解得m＝2或－1，又f在上单调递增，则m2－2m－2＞0，∴m＝－1满足题意，m＝2不符合题意，舍去.故选B. 3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　） A.－1 B.1 C.2 D.3 解析：A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.故选A. 4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　） A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0 解析：A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.故选A. 5.（2025·南通期中）已知幂函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：C　由图可知，幂函数f（x）的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数.对于A，函数f（x）＝的定义域为[0，＋∞），不是偶函数，故A错误；对于B，函数f（x）＝＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），而图中有f（0）＝0，故B错误；对于C，函数f（x）＝＝为偶函数，且在第一象限中，其图象的增长速度比y＝x平缓，故C正确；对于D，函数f（x）＝＝为偶函数，且在第一象限中，其图象的增长速度比y＝x要快，不合题意，故D错误.故选C. 6.〔多选〕（2026·无锡月考）已知幂函数y＝f的图象过点，下列说法中正确的是（　　） A.f是非奇非偶函数 B.f的定义域是 C.f的值域是 D.f在定义域上单调递增 解析：ACD　设幂函数为y＝f＝xα，因为图象过点，所以2α＝，解得α＝，所以f＝，f＝是非奇非偶函数，故A正确；f＝的定义域是，故B错误；f＝的值域是，故C正确；f＝在定义域上单调递增，故D正确.故选A、C、D. 7.（2026·苏州期中）已知幂函数f＝xm的图象关于y轴对称，则实数m的值是　2　. 答案： 解析：由f为幂函数，则m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，当m＝2时，f＝x2，其图象关于y轴对称，符合题意；当m＝3时，f＝x3，其图象关于对称，不符合题意，舍去.综上，实数m＝2. 8.已知幂函数f（x）的图象过点（8，），则f（x－2x2）的定义域为　（0，）. 解析：∵f（x）是幂函数，∴设f（x）＝xm，将（8，）代入解析式，得8m＝，解得m＝－，故f（x）＝＝，则f（x－2x2）＝，故x－2x2＞0，解得x∈（0，）. 9.已知幂函数f（x）＝x－2，若f（1－2a）＜f（a＋1），则a的取值范围是　（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）　. 解析：因为f（x）＝x－2（x≠0），f（x）为偶函数，易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（1－2a）＜f（a＋1），所以f（｜1－2a｜）＜f（｜a＋1｜），所以｜1－2a｜＞｜a＋1｜＞0，解得a＞2或a＜0且a≠－1，所以a的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）. 10.比较下列各组数的大小： （1）和3.； （2）和； （3）4.和3.. 解：（1）函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.2，所以＞3.. （2）＝，＝，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，而＞，所以＞. （3）4.＞＝1，0＜3.＜＝1， 所以4.＞3.. 11.（2026·常熟期中）幂函数f＝（2m2－3m－1）·x2m的定义域为∪，则关于x的不等式f＞1的解集为（　　） A. B. C.∪ D.∪ 解析：A　由题意，得2m2－3m－1＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－，当m＝2时，f＝x4，定义域为R，不符合题意；当m＝－时，f＝x－1，定义域为∪，符合题意.所以f＞1，即＞1，所以－1＝＞0，即x＜0，解得0＜x＜1，所以不等式f＞1的解集为.故选A. 12.〔多选〕（2026·无锡质检）已知幂函数f（x）图象经过点，则下列命题正确的有（　　） A.函数f为增函数 B.函数f为偶函数 C.若x≥9，则f≥3 D.若x2＞x1＞0，则＜f（） 解析：ACD　设幂函数f（x）＝xα（α为实数），∵其图象经过点，∴4α＝2，解得α＝，∴f（x）＝，其定义域为[0，＋∞），且f（x）＝在[0，＋∞）上为增函数，故A正确；∵f（x）的定义域为[0，＋∞），∴f（x）不具有奇偶性，故B错误；当x≥9时，f（x）≥f（9）＝3，故C正确；∵函数f（x）＝是上凸函数，∴对定义域内任意的x1＜x2，都有＜f（）成立，故D正确.故选A、C、D. 13.已知幂函数f（x）＝（其中m∈Z）为偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值为　1　. 解析：因为函数幂函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3，又m∈Z，所以m＝0或1或2.当m＝0或2时，f（x）＝x－3＝，定义域为{x｜x≠0}，且f（－x）＝＝－＝－f（x），此时函数f（x）为奇函数，不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－4＝，定义域为{x｜x≠0}，且f（－x）＝＝＝f（x），此时函数f（x）为偶函数，符合题意.综上所述，m＝1. 14.已知幂函数f（x）＝（m∈N*）. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若函数f（x）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 解：（1）∵m2＋m＝m（m＋1）（m∈N*），而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋m为偶数， ∴函数f（x）＝（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数. （2）∵函数f（x）经过点（2，）， ∴＝，即m2＋m＝2， 解得m＝1或m＝－2， 又∵m∈N*，∴m＝1，f（x）＝. 又∵f（2－a）＞f（a－1）， ∴解得1≤a＜. 故函数f（x）经过点（2，）时，m＝1，满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为［1，）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $