5.3 第2课时 函数的最值-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“函数的最值”核心知识点，系统阐述最大值与最小值的定义、几何意义，以及利用图象、单调性、含参数二次函数求最值的方法，承接函数单调性学习，为后续函数应用搭建从概念到方法的完整学习支架。 该资料以沙漠气候气温变化实例引入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过表格对比、通性通法总结帮助学生用数学思维构建知识体系。题型多样且结合实例，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

第2课时　函数的最值 　　 　　科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线. 【问题】　（1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？ （2）设该天某时刻的气温为f（x），则f（x）在哪个范围内变化？ （3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？ 　 知识点　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设y＝f（x）的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 f（x）　≤　f（x0） f（x）　≥　f（x0） 结论 那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，记为ymax＝f（x0） 那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，记为ymin＝f（x0） 几何 意义 f（x）图象上最高点的　纵坐标　 f（x）图象上最低点的　纵坐标　 提醒：（1）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如y＝x，x∈R；（2）一个函数至多有一个最大（小）值；（3）研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；（4）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M（f（x）≥M）成立，那么M不一定是函数f（x）的最大（小）值，只有定义域内存在一点x0，使f（x0）＝M时，M才是函数的最大（小）值，否则不是.比如f（x）＝－x2≤3成立，但3不是f（x）的最大值，0才是它的最大值. 1.函数y＝f（x）（－2≤x≤2）的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为（　　） A.f（2），f（－2） B.f（），f（－1） C.f（），f（－） D.f（），f（0） 解析：C　根据函数最值的定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f（－）；当x＝时，有最大值f（）.故选C. 2.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值 B.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素 C.函数的最大值一定比最小值大 D.如果函数有最值，则至多有一个最大（小）值 解析：BCD　A中，值域确定，但不一定有最值，故A错误；B中，由最值的定义知B正确；C中，由最值的定义知C正确；D中，函数至多有一个最大（小）值，故D正确.故选B、C、D. 3.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是　－1　，　2　. 解析：由函数图象知，当x＝－2时，f（x）有最小值－1，当x＝1时，f（x）有最大值2. 4.求函数y＝在[2，3]上的最大值. 解：∵y＝在[2，3]上单调递减，∴ymax＝＝1. 　　 题型一　利用函数的图象求最值 （链接教科书第119页例3）函数y＝f（x），x∈[－2，5]的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　） A.－2，f（2） B.2，f（2） C.－2，f（5） D.2，f（5） 解析：C　由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5）. 通性通法 用图象法求最值的3个步骤 　已知函数f（x）＝求f（x）的最大值、最小值. 解：作出函数f（x）的图象，如图. 由图象可知，当x＝±1时，f（x）取最大值为f（1）＝f（－1）＝1. 当x＝0时，f（x）取最小值为f（0）＝0， 故f（x）的最大值为1，最小值为0. 题型二　含参数的二次函数的最值 （链接教科书第120页例4（1））已知函数f（x）＝x2－ax. （1）当a＝2时，求f（x）的最小值； （2）当a＝2时，求f（x）在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值g（t）； （3）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）. 解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，且当x＝1时，f（1）＝－1. 所以函数在x＝1时取得最小值－1，即f（x）min＝f（1）＝－1. （2）当a＝2时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴为x＝1. ①当t≥1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，所以f（x）min＝f（t）＝t2－2t； ②当t＋1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，所以f（x）min＝f（t＋1）＝t2－1； ③当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上单调递减，在[1，t＋1]上单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝－1. 综上，g（t）＝ （3）因为函数f（x）＝x2－ax的图象开口向上，其对称轴为x＝， 所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当≤，即a≤1时，f（x）max＝f（1）＝1－a； 当＞，即a＞1时，f（x）max＝f（0）＝0. 综上，h（a）＝ 通性通法 1.含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题： （1）将二次函数化为y＝a（x＋h）2＋k的形式； （2）根据a的符号确定抛物线的开口方向； （3）由对称轴x＝－h得出顶点的位置； （4）根据所给定区间结合二次函数大致图象确定最大或最小值. 2.含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型 （1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值； （2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值； （3）区间变动，对称轴变动，求最值. 通常是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 　已知函数f（x）＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，－1） B.（－1，2] C.[－1，2] D.[2，5） 解析：C　由于f（x）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4， 所以当x＝2时，f（x）取得最大值f（2）＝4，当x＝5时，f（5）＝－5.由f（x）＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，所以当－1≤x≤5时，函数的值域为[－5，4]，且f（－1）＝f（5）＝－5，f（2）＝4，因为二次函数f（x）＝－x2＋4x的图象开口向下，所以要使函数在[m，5]上的值域为[－5，4]，只需－1≤m≤2.故选C. 题型三　利用函数的单调性求最值 （链接教科书第120页例4（2））求下列函数的最小值： （1）y＝，x∈[1，2]； （2）y＝2x＋. 解：（1）因为函数y＝在x∈[1，2]上单调递减，所以其最小值在x＝2时取得，即ymin＝. （2）函数y＝2x＋的定义域为[1，＋∞）， 因为函数y＝2x与y＝在[1，＋∞）上均单调递增， 故y＝2x＋在[1，＋∞）上是增函数， 所以当x＝1时取得最小值2＋＝2，即ymin＝2. 通性通法 函数最值与单调性的关系 （1）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递增，在区间（b，c）上单调递减，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最大值f（b）； （2）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递减，在区间（b，c）上单调递增，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最小值f（b）； （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最大（小）值. 　函数f（x）＝在区间[2，6]上的最大值为（　　） A.3 B. C.2 D. 解析：A　因为f（x）＝＝＝1＋，所以f（x）＝在区间[2，6]上单调递减，所以f（x）在[2，6]上的最大值为f（2）＝3.故选A. 1.（2026·扬州月考）已知函数f（x）＝的定义域是A，则函数g（x）＝x2＋x（x∈A）的最大值是（　　） A.0 B.1 C.4 D.6 解析：D　由－x2＋2x≥0，解得0≤x≤2，所以A＝[0，2]，函数g（x）＝x2＋x的对称轴为直线x＝－，所以g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）max＝g（2）＝6.故选D. 2.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2kx－8在区间（5，10）上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值可能是（　　） A.3　　　　B.5 C.8　　　　D.10 解析：ABD　由题意得，函数f（x）＝x2－2kx－8在区间（5，10）上是单调函数.二次函数f（x）＝x2－2kx－8图象的对称轴方程为x＝k，因此k≤5或k≥10.故选A、B、D. 3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为　±2　. 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，有（2a＋1）－（a＋1）＝2，解得a＝2；当a＜0时，有（a＋1）－（2a＋1）＝2，解得a＝－2，综上知a＝±2. 4.已知函数f（x）＝求函数f（x）的最大值、最小值. 解：作出f（x）的图象如图. 由图象可知，当x＝2时，f（x）取最大值为2； 当x＝时，f（x）取最小值为－. 所以f（x）的最大值为2，最小值为－. 　　 1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（　　） A.y＝＋2 B.y＝3x－2 C.y＝x2 D.y＝1－x 解析：A　因B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.故选A. 2.已知函数y＝（k≠0）在[3，8]上的最大值为1，则k的值为（　　） A.1 B.－6 C.－1 D.6 解析：A　当k＞0时，函数y＝在[3，8]上单调递减，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴＝1，∴k＝1；当k＜0时，函数y＝在[3，8]上单调递增，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴＝1，∴k＝6（舍去）.故选A. 3.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（　　） A.1 B.0 C.－1 D.2 解析：A　∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f（0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1.故选A. 4.当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.（－∞，0] C.（－∞，0） D.（0，＋∞） 解析：C　令f（x）＝－x2＋2x（0≤x≤2），则f（x）＝－（x2－2x＋1）＋1＝－（x－1）2＋1（0≤x≤2），a＜－x2＋2x恒成立等价于a＜f（x）min，f（x）的图象如图所示，f（x）的最小值为f（0）＝f（2）＝0，故a＜0.故选C. 5.〔多选〕记min{a，b}＝若函数f（x）＝min{2－x2，x}（x∈R），则f（x）（　　） A.有最大值为2 B.有最大值为1 C.有最小值为－1 D.无最小值 解析：BD　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值，故选B、D. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，则函数g（x）＝在区间（0，1]上一定（　　） A.有最大值 B.有最小值 C.单调递增 D.单调递减 解析：BD　二次函数f（x）＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，所以a≥1.g（x）＝x＋－2a，该函数在（0，）上单调递减，而a≥1，所以当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递减，且有最小值，为g（1）＝1－a.故选B、D. 7.已知函数f（x）＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝　　. 解析：因为f（x）＝在[1，2]上单调递减，所以A＝f（1）＝1，B＝f（2）＝，则A－B＝. 8.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌电动汽车，利润（单位：万元）分别为y1＝－x2＋21x和y2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为　120　万元. 解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，且x∈N*，15－x∈N*，公司获利为y＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴当x＝9或10时，y最大值为120，即能获得的最大利润为120万元. 9.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为　2或－　. 解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－. 10.求下列函数的最值： （1）f（x）＝，x∈[1，4]； （2）f（x）＝2x2－. 解：（1）∵f（x）＝＝＝2－，x∈[1，4]， ∴f（x）在[1，4]上单调递增， ∴函数的最小值为f（1）＝，最大值为f（4）＝. （2）令＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）. ∵y＝2t2－t－2的图象的对称轴为直线t＝， ∴当t≥1时，y＝2t2－t－2单调递增， ∴ymin＝2×12－1－2＝－1， ∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值. 11.若a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f（x）＝max{｜3x｜，－x2＋4}的最小值为（　　） A.0 B.1 C.3 D.12 解析：C　若｜3x｜≤－x2＋4，则x2－4≤3x≤－x2＋4，解得－1≤x≤1，此时max{｜3x｜，－x2＋4}＝－x2＋4；若｜3x｜＞－x2＋4，则3x＞－x2＋4或3x＜x2－4，解得x＞1或x＜－1，此时max{｜3x｜，－x2＋4}＝｜3x｜，故f（x）＝max{｜3x｜，－x2＋4}＝则f（x）＝max{｜3x｜，－x2＋4}的图象如图.∴当x＝－1或x＝1时，有最小值3.故选C. 12.设f（x）＝若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　） A.[－1，2] B.[－1，0] C.[1，2] D.[0，2] 解析：D　当x＞0时，因为f（x）＝x＋＋a≥2＋a，f（0）＝a2，所以2＋a≥a2，解得－1≤a≤2.当x≤0时，f（x）＝（x－a）2，二次函数图象的对称轴为直线x＝a，要使得f（0）是f（x）的最小值，则有a≥0.综上，a的取值范围是[0，2]. 13.函数y＝－的最大值为　1　. 解析：由可得x≥0，y＝－＝＝.因为y＝＋在[0，＋∞）上是增函数，所以y＝在[0，＋∞）上是减函数，所以当x＝0时，y＝取最大值1，故函数y＝－的最大值为1. 14.已知函数f（x）＝x2＋4ax＋a2－1， （1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈（－∞，－5]上的最小值. （2）当－2≤x≤1时，函数f（x）的最大值为12，求实数a的值. 解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2＋4x，其图象开口向上，对称轴x＝－2∉（－∞，－5]， 可知f（x）min＝f（－5）＝5，所以函数f（x）在x∈（－∞，－5]上的最小值为5. （2）由题意可得f（x）＝x2＋4ax＋a2－1＝（x＋2a）2－3a2－1， 其图象开口向上，对称轴方程为x＝－2a，且－2≤x≤1， 当－2a≤－，即a≥时，函数在x＝1处取得最大值， 即f（1）＝1＋4a＋a2－1＝12， 解得a＝－6（舍去）或a＝2； 当－2a＞－，即a＜时，函数在x＝－2处取得最大值， 即f（－2）＝4－8a＋a2－1＝12，解得a＝－1或a＝9（舍去）. 综上所述：a＝－1或a＝2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $