重难点专题07 函数的单调性（专项训练）数学苏教版高一必修第一册

重难点专题07函数的单调性 重难点一判断函数的单调性 定义法：任取定义域内两数，判断符号（正则减、负则增）。 图像法：观察函数图像，上升为增、下降为减。 性质法： 基本函数：一次函数（k>0增）、二次函数（看对称轴）、反比例函数（分象限）等直接用性质。 复合函数：“同增异减”。 1.下列函数中，在上是增函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知定义在上的函数满足对，且，都有，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.下列函数既是奇函数又是增函数的是(    ) A. B. C. D. 4已知函数经过，两点． 求函数的解析式； 判断函数在上的单调性并用定义进行证明； 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，． 求函数在上的解析式； 用单调性定义证明函数在区间上是增函数． 6.已知函数，且． 求实数的值； 判断函数在上的单调性，并证明你的结论； 求函数在上的值域． 7已知函数，． 单调性的定义证明在区间上是增函数； 解关于的不等式：． 8已知函数，． 判断函数的单调性并证明； 求函数的最大值和最小值． 9已知函数． 若，求证：函数在上单调递增； 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 10.已知函数． 判断在区间上的单调性，并用定义证明； 判断的奇偶性，并求在区间上的值域． 11.已知． 用单调性的定义证明：在区间上单调递增； 解不等式：． 12已知函数，． 单调性的定义证明在区间上是增函数； 解关于的不等式：． 重难点二判断或求函数的单调区间 先求定义域，再结合单调性判断方法（定义、图像、性质）分析。 分段函数：分别求各段区间，注意分段点衔接（需满足整体单调性）。 复合函数：先分解内外函数，按 “同增异减” 求交集 / 并集。 含绝对值函数：去绝对值化为分段函数，再分析各段单调性。 1.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 2.函数的单调减区间是(    ) A. B. C. D. 3.已知关于的不等式的解集为，则函数的单调递增区间为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则(    ) A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 函数的值域是， D. 方程有两个实数根 5.几位同学在研究函数时给出了下列结论正确是(    ) A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 当时，有最大值 6.下列命题正确的是(    ) A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数的单调增区间为 7.已知，则的单调递增区间为          ． 8.函数的单调增区间是          ． 10.已知函数，则的单调递减区间为          ． 11.函数的单调递减区间是           12.函数的单调递增区间为          ． 13已知函数，其中． 若，求函数的单调区间； 若对任意的，都有不等式成立，求实数的取值范围． 重难点三利用函数的单调性解不等式 先判断函数单调性，将函数不等式转化为自变量不等式 注意定义域限制，结合单调性条件列不等式组求解。 抽象函数：构造辅助函数，利用单调性转化不等式。 1.已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足若，，当时，总有，则满足的实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围     ． A. B. C. D. 3.已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.设函数，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，，，且，，当时，，则不等式的解集为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 9.定义在的函数满足下列两个条件：任意的，都有；任意的，，当，都有，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 10.已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是           ． 11.已知函数满足：对定义域内任意，都有成立． 若的定义域为，且有成立，求的取值范围； 若的定义域为，求关于的不等式的解集． 12.设函数是定义在上的奇函数，且． 求函数的解析式； 判断在上的单调性，并用单调性定义证明； 解不等式． 13已知函数是定义在上的奇函数，且． 求，的值； 判断函数在上的单调性并加以证明； 解不等式． 14.已知函数，． 单调性的定义证明在区间上是增函数； 解关于的不等式：． 重难点四利用函数的单调性解决参数问题 分段函数单调：各段单调一致，且分段点处满足单调性（左段最大值≤右段最小值 / 左段最小值≥右段最大值）。 二次函数单调：对称轴与区间位置关系（开口向上，对称轴≤区间左端点则区间增；反之则减）。 恒成立问题：转化为函数最值问题，利用单调性求最值，列参数不等式。 1.若函数是上的减函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.如果在区间上为减函数，则的取值范围(    ) A. B. C. D. 6.已知在上满足，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.下列说法正确的是(    ) A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围 10.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是          ． 11.已知函数，若，则的最小值是          ． 12.若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为           13.已知函数． 若，求不等式的解集； 若在上单调递增，求的取值范围； 求在上的最小值． 14.已知函数， 求实数的取值范围，使在定义域上是单调递减函数； 用表示函数的最小值，求的解析式． 15.已知一次函数是上的增函数，且，． 求的解析式； 若在上单调递增，求实数的取值范围； 当时，有最大值，求实数的值． 16.函数． 已知函数，求实数的取值范围； 解关于的不等式． 17已知二次函数的最小值为，且． 求的解析式； 若在区间上不单调，求实数的取值范围； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 重难点五 分段函数的单调性 各分段内分别单调（同增或同减）。 分段点处满足衔接条件：若整体增，左段最大值≤右段最小值；若整体减，左段最小值≥右段最大值。 1.若函数是上的减函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数满足对任意，，当时都有成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知函数满足对任意实数，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有 (    ) A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，，都有 9.已知函数是上的增函数，则的取值范围是          ． 10.设，若是的最小值，则的取值范围是          ． 11.已知是上的单调增函数，则实数的取值范围是          ． 12.已知函数 求，的值； 若，求实数的值； 直接写出的单调区间． 重难点六抽象函数的单调性 赋值法：令特殊值推导函数性质（奇偶性、特殊值）。 定义法：任取，利用抽象关系式转化，判断符号。 构造法：构造辅助函数，转化为已知单调性的函数。 1.若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 2.已知定义域为的增函数，满足，均有，且，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，满足，且，则下列结论一定正确的是    ． A. B. C. D. 4.设的定义域为，对任意，，都有，且当时，，又则(    ) A. B. 在上为增函数 C. D. 解集为或 5.已知函数的定义域为，，当时，，则(    ) A. B. C. 是增函数 D. 当时， 6.已知定义在上的函数满足： ； 当时，； 对任意的，，都有． 求证：，且对任意时，； 求证：在上是单调递增函数； 求满足的所有的值． 7.定义在上的函数满足下面三个条件： 对任意正数，，都有 当时， ． 求和的值 试用单调性的定义证明：函数在上是减函数 若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 8.定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有，． 求的值，并证明：当时， 证明：函数在上是增函数 求在上的值域． 9.若函数在定义域上满足，且时，定义域为的为偶函数． 求证：函数在定义域上单调递增； 若在区间上，；在上的图象关于点对称． 求函数和函数在区间上的解析式； 若关于的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于的函数关系． 10.已知函数对任意的实数，都有，且当时，． 求的值； 判断并证明的单调性； 若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 11.已知函数的定义域为，且对任意的，有，当 时，，． 求，的值； 判断的单调性并证明； 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 12.已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． 求，并用定义法判断在区间上的单调性 是否存在实数，使得关于的不等式，恒成立若存在，求的取值范围若不存在，请说明理由 重难点七利用函数的单调性求最值 单调函数：区间端点处取最值（增函数左小右大，减函数左大右小）。 分段函数：各段求最值，再比较整体最值。 复合函数 / 含参函数：先确定单调性区间，再结合定义域求最值。 1.给定函数，，用表示函数，中的较大者，即，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.给定函数，，用表示函数，中的较大者，即，则的最小值为 A. B. C. D. 4.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.若函数的定义域为，值域为，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 6.已知正数，满足，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值是 C. 若，则的取值范围是或 D. 若，则的取值范围是 7.下列说法中正确的是(    ) A. B. C. 若正实数，满足，则的最小值为 D. 若正实数，满足，则的最大值为 8.函数在区间上的最小值为          ． 9.函数的最小值为          ． 10.已知二次函数 当时，当时，求的最大值和最小值； 若为任意实数，当时，求的最小值． 11已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． 已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； 对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值． 12.设函数． 若关于的不等式的解集为，求实数和的值； 若， 若，，求的最小值，并指出取最小值时和的值； 求函数在区间上的最小值． 13已知函数． 若函数在上单调递增，求实数的取值范围 求函数在区间上的最小值． 49 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题07函数的单调性 重难点一判断函数的单调性 定义法：任取定义域内两数，判断符号（正则减、负则增）。 图像法：观察函数图像，上升为增、下降为减。 性质法： 基本函数：一次函数（k>0增）、二次函数（看对称轴）、反比例函数（分象限）等直接用性质。 复合函数：“同增异减”。 1.下列函数中，在上是增函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数，反比例型函数，幂函数和三次函数的单调性，属于基础题． 可看出选项A，的函数在上都是减函数，选项B的函数在上不单调，从而只能选C． 【解答】 解：项中，在上是减函数，故错误； 项中，的图象开口向下，对称轴方程为， 故该函数在上单调递增，在上单调递减， 在上不单调，故错误； 项中，函数，在和上分别单调递增，故正确； 项中，函数在上单调递减，故错误． 故选：． 2.已知定义在上的函数满足对，且，都有，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，对且，有， 因，故，即在上单调递增． 又对任意成立， 设存在唯一的使得， 则对任意，必有． 令，得，即； 令，得，因，故， 而，所以解得， 将代入式，得，解得， 因此． 故选A． 3.下列函数既是奇函数又是增函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键，属于基础题． 分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可． 【解答】 解：的定义域为，是奇函数，且是增函数，满足条件； B.是奇函数，在定义域上不是增函数，不满足条件； C.，则函数是奇函数，在上是增函数，在上是减函数，则函数在上是增函数，满足条件； D.， 则是奇函数，又，则不是增函数，不满足条件． 故答案选：． 4已知函数经过，两点． 求函数的解析式； 判断函数在上的单调性并用定义进行证明； 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：，， ，解得， ． 在上单调递减，证明如下： 任取，，且， 则 ， ，，且， ，， ，，即， 函数在上单调递减． 由对任意恒成立， 得， 由知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为．  【解析】本题考查函数性质的应用，属于中档题． 根据条件构造方程组求解即可； 任取，，且，利用作差法得出，即可得证； 由对任意恒成立，得，利用单调性求最值即可． 5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，． 求函数在上的解析式； 用单调性定义证明函数在区间上是增函数． 【答案】解：是定义在上的奇函数，故， 当时，， 所以当时，，， 所以， 因此， 任取， 则 ， ， ，则 所以，即， 所以函数在区间上是增函数．   【解析】本题考查及函数的性质，属基础题． 根据奇函数的性质，可知，再利用时的解析式，求出时的解析式即可 直接利用定义法证明即可． 6.已知函数，且． 求实数的值； 判断函数在上的单调性，并证明你的结论； 求函数在上的值域． 【答案】解：，且， ，． 函数在上单调递增． 证明：任取，且， 则 ， ， ， 即， 函数在上单调递增． 由得在上单调递增， 在上单调递增， 又， 在上的值域为．   【解析】本题考查含参函数的单调性与值域问题，属中等题． 由条件代入运算得解； 根据函数单调性定义可判断证明； 利用函数的单调性可求解． 7已知函数，． 单调性的定义证明在区间上是增函数； 解关于的不等式：． 【答案】解：任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增． 由知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 8已知函数，． 判断函数的单调性并证明； 求函数的最大值和最小值． 【答案】解：根据题意，函数在区间上为减函数， 证明：， 设任意，且，则， 又由，则，，， 则， 则函数在上为减函数， 由的结论，函数在上为减函数， 则在上最大值为，最小值为．  【解析】根据题意，设，由作差法分析可得结论， 根据题意，由的结论，函数在上为减函数，据此分析可得结论． 本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题． 9已知函数． 若，求证：函数在上单调递增； 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】证明：依题意，，设， 则， 因为，故， 故， 故函数在上单调递增； 解：依题意，， 所以， 因为，故，则， 若，则，则， 故，解得， 故实数的取值范围为．  【解析】本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数单调性的定义和参变量分离法的应用，同时考查了转化能力和运算求解能力，属于中档题． 利用单调性的定义证明即可； 由于，所以将问题转化为恒成立，然后求出的最大值即可． 10.已知函数． 判断在区间上的单调性，并用定义证明； 判断的奇偶性，并求在区间上的值域． 【答案】解：在区间上单调递增，证明如下： ，，且， 有． 因为，，且，所以，． 于是，即 故在区间上单调递增． 的定义域为． 因为， 所以为奇函数． 由得在区间上单调递增， 结合奇偶性可得在区间上单调递增． 又因为， 所以在区间上的值域为．  【解析】本题主要考查了单调性定义在单调性判断中的应用，还考查了利用单调性求解函数的值域，属于中档题． 设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 利用函数的单调性及奇偶性即可求解． 11.已知． 用单调性的定义证明：在区间上单调递增； 解不等式：． 【答案】证明：任取，，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增． 解：， 结合得在上递增， 所以， 解得：， 故不等式的解集是．   【解析】本题考查利用定义证明函数的单调性和不等式求解，属于较易题． 利用单调性的定义证明即可； 由，结合得在上递增，所以，解不等式即可． 12已知函数，． 单调性的定义证明在区间上是增函数； 解关于的不等式：． 【答案】证明：任取，，且， 则，且，， 则， 则，即， 所以在上单调递增． 由知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 重难点二判断或求函数的单调区间 先求定义域，再结合单调性判断方法（定义、图像、性质）分析。 分段函数：分别求各段区间，注意分段点衔接（需满足整体单调性）。 复合函数：先分解内外函数，按 “同增异减” 求交集 / 并集。 含绝对值函数：去绝对值化为分段函数，再分析各段单调性。 1.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性，以及幂函数和二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 设，则，由被开方式非负，求得的定义域，结合二次函数和幂函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，可得所求单调区间． 【解答】 解：设，则， 由，解得， 由于在递增，在递减， 又在递增， 可得的单调递增区间为． 故选：． 2.函数的单调减区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数单调区间的求解，属于基础题． 利用零点分区间讨论的方法去掉绝对值，然后画图象，由图象得到函数的单调递减区间． 【解答】 解：  因为， 画出图象如下图： 由图可得单调递减区间为． 故选A． 3.已知关于的不等式的解集为，则函数的单调递增区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，判断或求解函数的单调区间，属于中档题． 根据不等式的解集，可以判断，并且借助根与系数的关系，列出方程组，得出，，代入得，求出单调递增区间． 【解答】 解：因为关于的不等式的解集为， 所以方程的两根是和，由根与系数的关系得， 解得，，且， 所以，对称轴为，开口向下， 所以单调递增区间为． 故选：． 4.已知函数，则(    ) A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 函数的值域是， D. 方程有两个实数根 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题． 根据函数的奇偶性判断，根据函数的单调性判断，结合图象判断，即可． 【解答】 解：对于：，不是奇函数，故A错误； 对于：时，在递增，故B正确； 对于，，画出函数和的图象，如图示： ， 显然函数的值域是，，故C正确， 和的图象有个交点，故D错误； 故选：． 5.几位同学在研究函数时给出了下列结论正确是(    ) A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 当时，有最大值 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查函数的定义域和值域，函数图象的平移变换，函数的单调性与单调区间，函数的最值，函数的奇偶性，属中档题． 对于，由定义域为且可得为偶函数即可判定；对于，当且时，函数可由函数向右平移个单位得到，由此即可得单调性，由此即可判定；对于，由在的单调性结合偶函数的性质即可得值域，由此即可判定；对于，由函数在的单调性即可判定． 【解答】 解：对于，由得函数定义域为， 所以． 由， 可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于，当且时，函数， 该函数可由函数向右平移个单位得到， 所以函数在和上均单调递减，故B正确； 对于，由可得，当且时， 函数在和上均单调递减， 所以该函数在的值域为； 又因为函数为偶函数，且， 所以在其定义域上的值域为，故C错误； 对于，当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以有最大值为，故D正确． 故答案为． 6.下列命题正确的是(    ) A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数的单调增区间为 【答案】AB  【解析】【分析】 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数定义域、值域的求解，函数单调性的判断，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 利用复合函数的定义域判断选项A， 利用换元法以及二次函数的性质判断选项B， 由基本不等式成立的条件，即可判断选项C， 利用函数单调区间的表示形式，即可判断选项D． 【解答】 解：对于，函数的定义域为， 所以，解得， 所以的定义域为， 故选项A正确； 对于，函数，  令，则， 所以， 则函数的值域为， 故选项B正确； 对于，函数，但是等号取不到， 故选项C错误； 对于，函数的定义域为， 所以函数的单调递增区间为，， 故选项D错误． 故选：． 7.已知，则的单调递增区间为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题． 由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【解答】 解：， ，解得，或， 故函数的定义域为或， 本题即求函数在定义域内的增区间． 再利用二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为， 故答案为：． 8.函数的单调增区间是          ． 【答案】和  【解析】【分析】 本题考查求解函数的单调区间，属于一般题． 先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数图象的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可． 【解答】 解：当时，，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为，所以在上单调递增；当时，，此时二次函数的图象开口向下，对称轴为，因为，所以在单调递增； 故答案为：和． 9.函数的单调增区间为          ． 【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了分段函数的单调区间的求法，属于基础题． 将解析式化为分段函数的形式，作出函数图象可得单调增区间． 【解答】 解：， 作出函数的图象， 由图可知的单调增区间为，， 故答案为：，． 10.已知函数，则的单调递减区间为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于一般题． 由函数的解析式，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解． 【解答】 解：由函数有意义满足：， 解得或， 令， 由二次函数的性质，可得函数在上单调递减，在单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间单调递减， 即函数的单调递减区间为 故答案为： 11.函数的单调递减区间是           【答案】  【解析】【分析】 本题考查求函数的单调区间，属于中档题． 对分类讨论去绝对值，作出函数图象得出单调性即可． 【解答】 解： 作出函数图象如图： 由图象可得函数的单调递减区间为． 故答案为． 12.函数的单调递增区间为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查求解函数的单调区间，属于基础题． 利用分离常数法，得，结合的范围可得答案． 【解答】 解：， 由，得， 时，单调递减，单调递增； 时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 13已知函数，其中． 若，求函数的单调区间； 若对任意的，都有不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】解：   由图可知，在上单调递减，在上单调递增． ，所以，  所以在上恒成立．  当时，恒成立，  ，所以因为，所以，即；  当时，恒成立，，所以，因为，所以，，所以；  当时，恒成立，，所以，因为，所以，所以，所以  综上，可知．   【解析】本题考查了判断或求解函数的单调区间、一元二次不等式存在性或恒成立问题，属于较难题． Ⅰ先去掉绝对值得到分段函数，作出函数图象，即可求得函数的单调区间； Ⅱ将问题转化成在上恒成立，分为、、三类进行讨论，去掉绝对值后分离参数，只需求出对应二次函数的最值即可得到实数的取值范围． 重难点三利用函数的单调性解不等式 先判断函数单调性，将函数不等式转化为自变量不等式 注意定义域限制，结合单调性条件列不等式组求解。 抽象函数：构造辅助函数，利用单调性转化不等式。 1.已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足若，，当时，总有，则满足的实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题． 根据条件判断函数的奇偶性，然后构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【解答】 解：由得，即是奇函数， 若，，当时，总有成立，即， 设，则，即此时为增函数， 是奇函数，是偶函数， 则不等式等价为， 即， 即，得，得， 得，得，即实数的取值范围是． 故选：． 2.已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围     ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的定义域和单调性，属于中档题． 根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可． 【解答】 解：因为函数是定义在上的增函数，则满足， 所以，，解得． 故选：． 3.已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数的性质的运用，属于中档题． 利用函数在定义域上是减函数，将转化求解． 【解答】 解：由已知可得 解得，即的取值范围是 故选：． 4.定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了构造函数求解不等式，从已知条件入手，利用函数单调性求解． 设，首先判断函数在内单调递减，然后将不等式等价于，等价于，再利用单调性求解即可． 【解答】 解：不妨设任意的，， 因为，则， 所以， 所以在内单调递减． 不等式等价于， 又，所以等价于， 因为在内单调递减， 所以， 即不等式的解集为． 5.已知函数的定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 由条件得在上单调递增，即可得，从而可得，求解即可． 【解答】 解：由条件得， 在上单调递增， 由得， ， 或． 故选：． 6.设函数，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性、函数的奇偶性及不等式的解法属于中等题． 根据解析式可以判断在上为增函数，在上为偶函数，从而由便可得到，两边平方即可解出该不等式，从而得出的取值范围． 【解答】 解：当时，， 增大时增大，增大，即增大， 在上单调递增． 的定义域为，且， 为偶函数． 由得：． ，， 解得，的取值范围为． 故选A． 7.设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式． 由已知结合函数的单调性即可进行求解． 【解答】 解：因为函数是定义在上的减函数，且， 所以， 解得，． 故选：． 8.已知函数的定义域为，，，且，，当时，，则不等式的解集为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的对称性、单调性、图象的综合运用，属于中档题． 根据函数的对称性、单调性、图象等知识求得不等式的解集． 【解答】 解：函数的定义域为，的图象关于直线对称， 又，，当时，， 故在区间上单调递增，由，得在区间上单调递减， 设，其对称轴方程为，开口向上， 不等式，可转化为， 又， ， 由此画出的大致图象、的图象如下图所示， 由图可知的解集为． 故选：． 9.定义在的函数满足下列两个条件：任意的，都有；任意的，，当，都有，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查抽象函数及其运用，考查函数的奇偶性和单调性及其应用，注意函数的定义域，属于中档题． 由得到，是上的奇函数，由得到在上是单调递减函数，从而有在上是单调递减函数，再由单调性解不等式，注意定义域． 【解答】 解：任意的，都有， ，是上的奇函数， 任意的，，当，都有， 在上是单调递减函数， 在上也是单调递减函数， 即在上是单调递减函数， 不等式即 ， 故解集为 故选：． 10.已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 分析函数的单调性，可得出，然后分、、解原不等式，综合即可得出原不等式的解集． 【解答】 解：为偶函数，其定义域为，且在上是增函数， 则在上为减函数， 又，则，函数作图如下： 由于不等式， 当时，有，故， 解得：； 当时，则，且，解得：； 又也满足． 综上所述，原不等式的解集为． 故答案为：． 11.已知函数满足：对定义域内任意，都有成立． 若的定义域为，且有成立，求的取值范围； 若的定义域为，求关于的不等式的解集． 【答案】解：由题意得在定义域内单调递减， 的定义域为，且有成立， 则，解之得，故， 所以的取值范围是； 不等式的解集， 等价于的解集， 即的解集， 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，即求不等式的解集， 当即时，不等式的解集为； 当即时，不等式的解集为； 当即时，不等式的解集为．   【解析】由题意得在定义域内单调递减， 可得，解不等式组即可得答案； 由题即求不等式的解集，分类讨论，即可得答案； 本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 12.设函数是定义在上的奇函数，且． 求函数的解析式； 判断在上的单调性，并用单调性定义证明； 解不等式． 【答案】解：函数是定义在上的奇函数， ， ， 而解得， ，； 函数在上为增函数； 证明如下：任取，且， 则 因为，所以，又因为，，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数； 由题意，不等式， 可化为， 即解不等式， 所以， 所以 解得， 所以该不等式的解集为  【解析】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，函数的奇偶性，属于中档试题． 由奇函数性质可知，然后结合代入可求； 结合函数单调性的定义任意取，且，然后利用作差法比较与的大小，即可判断； 结合函数单调性即可直接求解． 13已知函数是定义在上的奇函数，且． 求，的值； 判断函数在上的单调性并加以证明； 解不等式． 【答案】解：由题意可知 解得，经检验成立． 在上单调递减． 证明：由可知， 设，则 ， ，，，，， ，即，在上单调递减． 由题易知， 又，， 由可知在上单调递减， ，解得， 不等式的解集为．  【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义与运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 由已知结合奇函数的性质及，代入即可求解；  利用函数的单调性的定义即可判断、证明； 结合函数的单调性即可求解． 14.已知函数，． 单调性的定义证明在区间上是增函数； 解关于的不等式：． 【答案】解：任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增． 由知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 重难点四利用函数的单调性解决参数问题 分段函数单调：各段单调一致，且分段点处满足单调性（左段最大值≤右段最小值 / 左段最小值≥右段最大值）。 二次函数单调：对称轴与区间位置关系（开口向上，对称轴≤区间左端点则区间增；反之则减）。 恒成立问题：转化为函数最值问题，利用单调性求最值，列参数不等式。 1.若函数是上的减函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性，注意单调性的本质，属于中档题． 由题意可得，求解即可． 【解答】 解：函数是上的减函数， ，解得． 故的取值范围是． 故选：． 2.已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围． 解：的图像的对称轴为， 因为函数在区间上时单调函数， 所以或， 得或， 即的取值范围是， 故选： 3.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性问题，属于中档题． 由题可得函数在及时，单调递减，且，进而即得． 【解答】 解：由题意可知：在上单调递减，即； 在上也单调递减，即； 又是上的减函数，则， 解得，则实数的取值范围是． 故选C． 4.函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，属于基础题． 求出二次函数的对称轴，根据函数单调性列出不等式，从而解出的取值范围即可． 【解答】 解：函数图象的对称轴为， 函数在区间上单调递增， ，解得． 所以的取值范围是． 故选：． 5.如果在区间上为减函数，则的取值范围(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于基础题． 当时，，满足条件，当时，由题意可得，求得的范围，综合可得的取值范围． 【解答】 解：当时，，满足在区间上为减函数． 当时，由于的图象对称轴为， 且函数在区间上为减函数， ，解得． 综上可得，， 故选B． 6.已知在上满足，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意，因为在上满足， 则在上单调递减， 而 则有，解得， 即实数的取值范围为． 故选：． 7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题． 由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关系，即可得到答案． 【解答】 解：函数的图象是开口向上，以直线为对称轴， 又函数在区间上是减函数， ， 解得． 故选B． 8.已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用函数的单调性解决参数问题，考查一元二次函数的图象与性质，属于中档题． 由，得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可． 【解答】 解：因为对任意，， 所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数． 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数 为二次函数，其图象的对称轴为直线， 当时，函数 图象开口向上，是上的减函数，符合题意； 当时，函数 图象开口向下， 要使得函数是上的减函数，只需，解得． 综上所述，实数的取值范围足 故选：． 9.下列说法正确的是(    ) A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查了函数性质的综合应用，属于中档题． 由抽象函数的定义域即可判断，由一元二次不等式恒成立即可判断，由换元法求函数值域即可判断，由二次函数的单调性即可判断． 【解答】 解：对于选项，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A选项正确； 对于选项，当时，不等式，符合要求； 当时，关于的不等式恒成立， 则满足，解得， 综上，实数的取值范围是，故B选项错误； 对于选项，令，则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递减， 当时，，则函数的值域为，故C选项错误； 对于选项，由函数在区间上单调递减， 可得，解得， 则实数的取值范围，故D选项正确． 故选：． 10.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题． 通过讨论的取值，得到函数是一次函数还是二次函数，再结合函数的性质从而求出的范围． 【解答】 解：当时，， 函数在定义域上单调递减， 故在区间上单调递减， 故满足题意； 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 因为在区间上单调递减， 所以，且，解得， 综上所述，， 故答案为 11.已知函数，若，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性和利用基本不等式求最值，属于一般题． 判断出  在  为增函数，且 ，求出，利用基本不等式即可求解． 【解答】 解：因为 的定义域为  ， 易知和在  上单调递增， 所以  在  上单调递增，且 ， 因为  ， 所以  ，即，且， 所以，当且仅当   ，即时，等号成立， 则的最小值是． 故答案为． 12.若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为           13.已知函数． 若，求不等式的解集； 若在上单调递增，求的取值范围； 求在上的最小值． 【答案】解：当时，函数， 不等式，即， 解得或，即不等式的解集为； 由函数，可得的图象开口向上， 且对称轴为，要使得在上单调递增， 则满足，所以的取值范围为； 由函数，可得的图象开口向上， 且对称轴为，当时，函数在上单调递增， 所以最小值为； 当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以最小值为， 综上可得，在上的最小值为．  【解析】本题考查二次函数的性质，考查不等式的解法，属于基础题． 把代入函数解析式，利用因式分解可得二次不等式的解集； 求出二次函数的对称轴方程，结合函数的单调性可得关于的不等式，求解得答案； 利用二次函数性质求最值． 14.已知函数， 求实数的取值范围，使在定义域上是单调递减函数； 用表示函数的最小值，求的解析式． 【答案】解：（1）函数f（x）的对称轴为x=a； ∵f（x）在[-5，5]上是单调递减函数； ∴a≥5； ∴实数a的取值范围为[5，+∞）； （2）①当a≤-5时，f（x）在[-5，5]上单调递增； ∴f（x）min=f（-5）=27+10a； ②当-5＜a＜5时，； ③当a≥5时，f（x）在[-5，5]上单调递减； ∴f（x）min=f（5）=27-10a； ∴．  【解析】本题考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及给定区间上二次函数最值的求法，属于中档题． （1）可求出f（x）的对称轴为x=a，而要使y=f（x）在[-5，5]上单调递减，则需满足a≥5，这便得到了a的取值范围； （2）可讨论对称轴x=a和区间[-5，5]的关系：分a≤-5，-5＜a＜5，和a≥5三种情况，然后根据f（x）在[-5，5]上的单调性求f（x）的最小值，从而便可得出g（a）的解析式． 15.已知一次函数是上的增函数，且，． 求的解析式； 若在上单调递增，求实数的取值范围； 当时，有最大值，求实数的值． 【答案】解：一次函数是上的增函数， 设． 则， 解得或不合题意，舍去． ． 由得， ， 对称轴为， 根据题意，在上单调递增， 可得，解得． 的取值范围为． 由得，对称轴为， 当，即时， ，解得，符合题意； 当，即时， ，解得，符合题意． 综上可得或．  【解析】本题考查函数的解析式的求法，考查二次函数的单调性和最值的求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查运算求解能力． 设，，可得的解析式； 求得的解析式和对称轴，再由单调性可得，解不等式即可得到所求范围； 根据抛物线的开口向上，可得最大值在端点处取得，分情况讨论，解方程可得的值，注意检验即可得到． 16.函数． 已知函数，求实数的取值范围； 解关于的不等式． 【答案】解：若，则在上单调递减，符合题意． 若，由在上单调可得即， ， 且， 或， 综上，或； ，即为，， 当时，，不等式的解集为； 当时，令得，，； 若时，，不等式的解集为  若时， 当时，，不等式的解集为 当即时，不等式的解集为或 当即时时，不等式的解集为． 综上所述，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或 当时，原不等式的解集为或．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17已知二次函数的最小值为，且． 求的解析式； 若在区间上不单调，求实数的取值范围； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：根据题意二次函数  满足  ，得函数  的对称轴为  ， 又函数  的最小值为  ，可设  ， 又因为  ，可得  ，解得  ， 所以函数  的解析式为  ． 由函数  ，其对称轴为  ， 要使得函数  在区间  上不单调， 则满足  ，解得  ， 故实数  的取值范围为  ． 由函数  ， 若在  上，  恒成立， 则  在  上恒成立， 即  在  上恒成立， 设  ，则  开口向上，对称轴为  ， 又  在  上恒成立，即  ， 当  ，即  时，  在  上单调递增， 则  ，解得  ，则  ； 当  ，即  时，  ，解得  ，则  ； 当  ，即  时，  在  上单调递减，  ，解得  舍去； 综上，实数  的取值范围为  ．   【解析】本题考查二次函数的解析式、最值，利用函数的单调性求参，不等式恒成立问题，属于综合题根据题意设出二次函数的顶点式，再由  得  ，从而得解； 由题意得  ，解之即可得解； 将问题转化为  在区间  上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解． 重难点五 分段函数的单调性 各分段内分别单调（同增或同减）。 分段点处满足衔接条件：若整体增，左段最大值≤右段最小值；若整体减，左段最小值≥右段最大值。 1.若函数是上的减函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性，注意单调性的本质，属于中档题． 由题意可得，求解即可． 【解答】 解：函数是上的减函数， ，解得． 故的取值范围是． 故选：． 2.已知函数满足对任意，，当时都有成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，属于中档题． 根据题意，由函数单调性的定义可得在上为增函数，结合函数的解析式可得，解之即可得答案． 【解答】 解：根据题意，若满足对任意，，当时都有成立， 则在上为增函数， 而函数，则有， 解得，即的取值范围为． 故选：． 3.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性问题，属于中档题． 由题可得函数在及时，单调递减，且，进而即得． 【解答】 解：由题意可知：在上单调递减，即； 在上也单调递减，即； 又是上的减函数，则， 解得，则实数的取值范围是． 故选C． 4.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，属于中档题． 确定函数在上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案． 【解答】 解：因为对任意，，都有成立， 所以是上的减函数， 则， 解得． 故选：． 5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数的单调性，属于中档题． 根据在上单调递增，可以列出相应的不等式方程组，从而得解． 【解答】 解：因为在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：． 6.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，考查计算能力，属于中档题． 利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可． 【解答】 解：函数 在上单调递减， 可得： ，解得： ， 故选C． 7.已知函数满足对任意实数，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于中档题． 求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可． 【解答】 解：根据题意，函数满足对任意实数，都有， 则在上单调递减， 则有，解得， 即的取值范围是． 故选：． 8.某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有 (    ) A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，，都有 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，函数的单调性，分段函数的性质，属于中档题． 利用可判断分、求单调性值域可判断分、讨论可得的值域可判断作差利用基本不等式可判断． 【解答】 解：对于，A正确 对于当时，，因为单调递减， 所以单调递减，且，， 当时，，因为单调递减， 所以单调递减，且， 则在上单调递减，故B正确 对于当时，， 当时，，综上的值域为，故C不正确 对于当，时，，当且仅当时等号成立， 故，，都有，故D正确． 9.已知函数是上的增函数，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属于中档题． 要使函数是上的增函数，须有在上单调递增，在上单调递增，且，由此可得不等式组，解出即可． 【解答】 解：要使函数是上的增函数，须有在上单调递增，在上单调递增， 且， 所以有，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 10.设，若是的最小值，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性、最值问题，属中档题． 利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解． 【解答】 解：因为 当时，； 当时，是开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 又是的最小值，， 所以，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 11.已知是上的单调增函数，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：是上的单调增函数，所以． 所以的取值范围是故答案为：． 12.已知函数 求，的值； 若，求实数的值； 直接写出的单调区间． 【答案】解：根据分段函数解析式可得  ， 易知  ；所以       即  ． 当  时，  ， 解得  ，或  舍 　 当  时，  ，解得  舍． 综上可得  ． 即实数的值为  画出函数图象如下所示： 所以，单调递增区间  ，单调递减区间  ， ．   【解析】本题主要考查分段函数的函数值，已知分段函数的函数值求参及分段函数的单调性，属于中档题． 根据分段函数解析式直接代入计算即可；分类讨论实数的取值范围，解方程即可得出符合题意的的值；画出函数图象即可直接写出单调区间． 重难点六抽象函数的单调性 赋值法：令特殊值推导函数性质（奇偶性、特殊值）。 定义法：任取，利用抽象关系式转化，判断符号。 构造法：构造辅助函数，转化为已知单调性的函数。 1.若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数单调性的性质和应用，注意构造新函数，属于中档题． 根据题意，设，把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【解答】 解：根据题意，函数是定义域为，且对，，且，有， 即， 设， 易得为单调递增函数， 对于不等式， 变形可得：，即， 则有， 解得：，即不等式的解集为． 故选：． 2.已知定义域为的增函数，满足，均有，且，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用函数的单调性解不等式，抽象函数的单调性，属于中档题． 由通过关系式求出，再用化简，得到新的不等关系，借助函数单调性得到关于自变量的不等式，求出范围． 【解答】 解：根据题意，满足，均有， 令，有， 而， 则， 因为在上单调递增， 所以 解得或， 即不等式的解集为． 故选：． 3.已知函数的定义域为，满足，且，则下列结论一定正确的是    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：令，则， 所以，故A，不一定正确； 令，则， 故选： 4.设的定义域为，对任意，，都有，且当时，，又则(    ) A. B. 在上为增函数 C. D. 解集为或 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题． 对于，用赋值法即可求值；对于，根据增函数的定义证明即可；对于，对条件进行适当变形即可得结论；对于，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式． 【解答】 解：的定义域为， 对任意，，都有，且当时，，又， 对于，令，则，故A正确； 对于，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于，，即，故C正确； 对于，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确． 故选：． 5.已知函数的定义域为，，当时，，则(    ) A. B. C. 是增函数 D. 当时， 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 对：根据题意直接赋值运算求解；对：结合题意得到，即可判断；对：根据题意结合单调性的定义分析证明；对：根据题意结合函数单调性分析运算． 【解答】 解：对：令，可得，解得，A正确； 对：当时，，则， ，B错误； 对：令，可得， 即， 设，则，可得， 则，即， 故函数在上单调递增，C正确； 对：函数在内单调递增， 故当时，，D正确． 故选：． 6.已知定义在上的函数满足： ； 当时，； 对任意的，，都有． 求证：，且对任意时，； 求证：在上是单调递增函数； 求满足的所有的值． 【答案】解：证明：，且对任意的、，都有． ， 即，， 又当时，有，且，， ， 即，； 证明：任取，，且， 则，， ，即， 所以，在上是单调递增函数． ， ， ， 由知，在上是单调递增函数， ，解得， 满足的所有的取值为．  【解析】本题考查抽象函数的运用，考查赋值法的运用和函数的单调性的判断和运用，以及恒成立问题的解法，属于较难题． 令，，可得，及，可得对任意时，； 由得，令，即有，，，可得单调性； 运用函数的单调性和，即：，解得的范围． 7.定义在上的函数满足下面三个条件： 对任意正数，，都有 当时， ． 求和的值 试用单调性的定义证明：函数在上是减函数 若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：令有，得． 令有，又，得， 又令，得． 又令，得； 证明：任取且， 则， 因且，则，得， 则，故函数在上是减函数． 由知，则由可得． 由以及的定义域为可得． 由知函数在上是减函数，则由可得． 因，，则． 要使任意，恒成立， 只需，其中． 令，任取且， 则， 因且，则，，， 则，故在上单调递增，则， 得． 综上的取值范围是．   【解析】本题考查抽象函数的单调性判断及应用单调性解不等式及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 令可得；先令可得，令可得，可得． 利用已知结合单调性定义可证明． 利用将转化为，后利用函数单调性解决问题． 8.定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有，． 求的值，并证明：当时， 证明：函数在上是增函数 求在上的值域． 【答案】解：令，，则，又，故． 证明：令，，则，，当时，，所以，． 证明：由知，，，，且，令，， 则，则， 因为，所以，，所以，在上是增函数． 令，得， 由可得， 因为在上是增函数，所以在上的值域为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 9.若函数在定义域上满足，且时，定义域为的为偶函数． 求证：函数在定义域上单调递增； 若在区间上，；在上的图象关于点对称． 求函数和函数在区间上的解析式； 若关于的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于的函数关系． 【答案】解：任取，使，则 ， 因为，所以，则，故， 所以函数在定义域上单调递增； 令中，则，． 令，，即且函数定义域为， 所以函数为奇函数． 由，则， 联立两式，可得， 所以，且，而， 令，则，故； 令，则，故； 综上， 对在的部分，存在，其中， 则，所以对均成立； ，化简得， 则在上单调递减， 若，即，此时在上递减， 故， 若，即，此时，， 即在定义域上单调递减，所以 ； 综上所述，．   【解析】本题考查定义法证明函数的单调性，考查函数的单调性与奇偶性，属于较难题． 令，应用作差法判断的符号，即可证单调性； 由题设函数为奇函数，且，即可求上，再应用奇偶性、对称性求区间上的解析式； 根据题设可得在上单调递减，写出的分段形式，结合二次函数性质，讨论、求的最大值关于的函数关系． 10.已知函数对任意的实数，都有，且当时，． 求的值； 判断并证明的单调性； 若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】解：令得，所以； 函数在上单调递增，理由如下：任取，且， 则，故， 所以，  即，所以函数在上单调递增； 令得，即， 所以不等式可化为，即， 由可知函数在上单调递增，所以， 整理得， 因为，所以， 所以满足题意的的取值范围是．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.已知函数的定义域为，且对任意的，有，当 时，，． 求，的值； 判断的单调性并证明； 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解令，得，所以． 由，得， ． 在上是增函数，证明如下： 任取，，且，则，且， 所以 ， 即，所以在上是增函数． 由对任意 恒成立， 得恒成立． 因为在上是增函数，所以恒成立， 即恒成立， 令， 因为，所以， 故．  【解析】本题考查函数的恒成立的应用，抽象函数的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 令，求解通过求解即可． 在上是增函数，通过任取，，且，则，且，证明，得到结果； 由对任意 恒成立，得恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可． 12.已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． 求，并用定义法判断在区间上的单调性 是否存在实数，使得关于的不等式，恒成立若存在，求的取值范围若不存在，请说明理由 【答案】解：令，则，即， 令，，且，则， ， 又当时，， ， ， 故在区间上单调递增． 不存在，理由如下： 在区间上单调递增， 若关于的不等式恒成立， ， 即在区间上恒成立． 当时，二次函数的对称 轴， 当时，， 又 故当时，无满足题意的实数． 当时，二次函数的对称轴， 只需解得 故当时，无满足题意的实数． 综上所述，不存在实数，使得关于的不等式 恒成立．  【解析】本题考查函数单调性的定义，考查不等式的恒成立问题，属于中档题． 根据函数单调性的定义进行判断即可； 根据题意对的范围进行讨论分析即可． 重难点七利用函数的单调性求最值 单调函数：区间端点处取最值（增函数左小右大，减函数左大右小）。 分段函数：各段求最值，再比较整体最值。 复合函数 / 含参函数：先确定单调性区间，再结合定义域求最值。 1.给定函数，，用表示函数，中的较大者，即，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的最值及分段函数，考查数形结合思想，正确作出函数的图象是关键，是中档题． 由题意作出函数的图象，数形结合结合函数单调性，即可求得的最小值． 【解答】 解：令，，解得，． 所以 在上单调递减，在上单调递增， 所以，故选C． 2.给定函数，，用表示函数，中的较大者，即，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了求函数的最值问题，考查分段函数，属于中档题． 先求出的解析式，再求出的最小值即可． 【解答】 解：令，解得或 ， 故 ，作出函数图像： 通过图像易知的最小值是  ． 故选：． 3.已知实数，，满足恒成立，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性、转化思想，属于中档题． 化简可得，再根据函数单调递增判断即可． 【解答】 解：因为， 所以， 令，则有， 函数恒成立，所以单调递增， 所以，即． 故选：． 4.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属于中档题． 将不等式恒成立问题转化为在上恒成立，即，利用单调性求得在上的最小值，即可得出结论． 【解答】 解：对于，不等式恒成立， 等价于在上恒成立， 即， 令，， 因为函数为减函数，函数为减函数， 所以，为减函数， 所以， 所以． 故选：． 5.若函数的定义域为，值域为，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的定义域与值域，利用二次函数的对称性求参数范围，属于中档题． 函数，，对称轴方程为，当时，可证符合题意，当时，最小值为，结合对称性即可求解． 【解答】 解：函数，， 对称轴方程为， 当时，函数在上单调递减，时取最大值，时取最小值解得， 当时，最小值为，而，由对称性可知，，即， 综上，知：实数的值可能为，，， 故选ABC． 6.已知正数，满足，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值是 C. 若，则的取值范围是或 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式在求最值或取值范围，利用函数的单调性求最值，“对勾”函数的图象与性质，属于中档题． 由题意利用基本不等式、“对勾”函数的图象与性质，得出结论． 【解答】 解：正数，满足， 若，则，即， 由基本不等式可得， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为，故A错误； 若，，即， 则， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于，当时，，即， 因为，所以，即， 又， 所以或，故C正确； 对于，当时，，即， 所以， 令， 由可得，当时，为增函数，此时， 当时，为减函数，此时， 综上的取值范围是，故D正确． 故选：． 7.下列说法中正确的是(    ) A. B. C. 若正实数，满足，则的最小值为 D. 若正实数，满足，则的最大值为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，利用函数的单调性求最值，考查对勾函数的图象与性质，属于中档题． 根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】 解：选项，当时，，且仅当，时等号成立，选项正确； 选项B，， 令，，则在上单调递增， 故， 当，即时取等号，则，所以选项正确． 选项，因为，，，则， 所以， 当且仅当时等号成立，解得或，不符合题意，所以选项错误． 选项，，，，则， 所以， 当且仅当，，时等号成立，选项正确． 故选：． 8.函数在区间上的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查形如的函数的最值，属于基础题． 将函数化简成，由函数在区间上单调递增，可得函数在区间上的最小值为，代入求值即可． 【解答】 解：函数， 函数在区间上单调递增， 函数在区间上的最小值为． 故答案为：． 9.函数的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查求函数的最值，涉及换元法，二次函数最值，属于中档题． 设，可将原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质可得结论． 【解答】 解：设，于是得到， 于是函数可化为， 原题求函数的最小值，等价于求在上的最小值， 因为函数为二次函数定义域为，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，为． 故答案为． 10.已知二次函数 当时，当时，求的最大值和最小值； 若为任意实数，当时，求的最小值． 【答案】解：当时，，， 当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的最大值为，最小值为． 为任意实数，，， 当时，的值随值的增大而增大，当时，取得最小值； 当时，的值随值的增大而减小，当时，取得最小值； 当时，，取得最小值．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． 已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； 对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值． 【答案】解：， 可设，因为，所以，则， 可得在递减，递增，可得的值域为， 所以的增区间为，减区间为，值域为； 若对任意，总存在，使得成立， 等价为的值域是的值域的子集， 由可得的值域为， 函数在递减，可得的值域为， 所以，且， 解得，且， 则．  【解析】本题主要考查对勾函数的单调性和运用，利用函数的单调性求最值，已知函数的值域求参或定义域，属于中档题． 令，，将化为，由对勾函数的单调性可得的单调区间和值域； 由题意可得的值域是的值域的子集，结合的值域和一次函数的单调性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范围． 12.设函数． 若关于的不等式的解集为，求实数和的值； 若， 若，，求的最小值，并指出取最小值时和的值； 求函数在区间上的最小值． 【答案】解：由已知可得，的两根是，， 所以，解得； ，所以． 因为，， 所以 ， 当且仅当时取等号，因为，，， 解得时取等号，此时的最小值是； 由于，得，则， 函数的对称轴方程为， 当时，在区间上单调递增，则的最小值为； 当时，在区间上单调递减，则的最小值为．   【解析】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，均值不等式求解最值以及函数的单调性的性质的应用，属中档题． 由已知可得，的两根是，，由根与系数的关系可得答案； 由条件可得，用基本不等式可求出的最小值；函数的图象对称轴为，分析在区间上单调性，即可求出最小值． 13已知函数． 若函数在上单调递增，求实数的取值范围 求函数在区间上的最小值． 【答案】解：当时，，单调递增 当时，， 函数在上单调递增， 若函数为上的增函数，只需解得； 当时，函数，对称轴为， 所以，当，即时，函数在上单调递增， 所以 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上，当时，的最小值为 当时，的最小值为．  【解析】本题考查了分段函数的单调性以及利用函数的单调性求最值，是中档题． 需要两段函数均为增函数，且，取交集求出参数的取值范围； 分和两种情况研究函数的最小值即可． 49 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $