5.3 第1课时 函数的单调性-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数的单调性核心知识点，从艾宾浩斯记忆遗忘曲线情境引入，通过符号语言定义增函数、减函数，构建单调区间概念，形成从直观到抽象的学习支架，涵盖定义理解、区间判断、证明及应用。 资料特色在于情境化引入培养数学抽象，母题探究与通性通法结合提升逻辑推理，分层练习兼顾直观想象与数学运算。课中助教师系统授课，课后供学生巩固，有效查漏补缺。

5.3　函数的单调性 课标 要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值（数学抽象）. 2.理解单调性、最大（小）值的作用和实际意义（逻辑推理、数学运算）. 3.能用代数运算和函数图象揭示函数的单调性及函数的最值（直观想象、数学运算）. 第1课时　函数的单调性 　　 　　德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，得到了有趣的数据.数据表明，记忆保持量y是时间间隔x的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：％），则不难看出，y是x的函数，记这个函数为y＝f（x）. 【问题】　这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 　 知识点一　增函数、减函数的定义 条件 设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时 都有　f（x1）＜f（x2）　 都有　f（x1）＞f（x2）　 结论 称y＝f（x）在区间　I　上单调递增，　I　称为y＝f（x）的增区间.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，称f（x）是　增函数　 称y＝f（x）在区间　I　上单调递减，　I　称为y＝f（x）的减区间.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，称f（x）是　减函数　 图示 提醒：对函数单调性的再理解：①并非所有的函数都具有单调性；②函数的单调递增（单调递减）是针对定义域A内的某个区间I而言的，显然I⊆A；③定义中x1，x2有三个特征：（ⅰ）x1，x2属于同一个区间；（ⅱ）任意性：x1与x2不能用I上的特殊值代替；（ⅲ）有序性：通常规定x1＜x2. 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增或单调递减　，那么称函数y＝f（x）在区间I上具有单调性.　增区间　和　减区间　统称为单调区间. 1.下列四个函数在区间（－1，1）上单调递增的是（　　） 解析：B　由四个选项中的函数图象可知，y＝f（x）在（－1，1）上单调递减；y＝g（x）在（－1，1）上单调递增；因为（－1，1）不是函数y＝h（x）定义域中的子集，故y＝h（x）在（－1，1）上不具有单调性；y＝R（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，故y＝R（x）在（－1，1）上不单调. 2.若函数f（x）在R上是减函数，则有（　　） A.f（3）＜f（5） B.f（3）≤f（5） C.f（3）＞f（5） D.f（3）≥f（5） 解析：C　由f（x）是R上的减函数，又3＜5，所以f（3）＞f（5），故选C. 3.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.定义在（a，b）上的函数f（x），如果∃x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数 B.∀x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当＜0时，f（x）在（a，b）上单调递减 C.∀x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＞0时，f（x）在（a，b）上单调递增 D.∃x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是单调递增的 解析：BCD　A中，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”，故A是假命题；B中，∵＜0等价于[f（x1）－f（x2）]·（x1－x2）＜0，而此式又等价于或即或∴f（x）在（a，b）上单调递减，B是真命题，同理可得C也是真命题；D中，若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1）≤f（x2））成立即可，故D是真命题.故选B、C、D. 4.函数y＝｜x＋1｜的单调增区间是　（－1，＋∞）　. 解析：y＝｜x＋1｜＝所以f（x）的单调递增区间是（－1，＋∞）. 　　 题型一　求函数的单调区间 （链接教科书第118页例1）画出下列函数图象，并写出单调区间： （1）f（x）＝－x2＋2x＋3；（2）f（x）＝－（x≠0）. 解：（1）函数图象如图①所示，增区间为（－∞，1]，减区间为[1，＋∞）. （2）函数图象如图②所示，（－∞，0）和（0，＋∞）是函数的两个增区间. 【母题探究】 1.（变条件）若将本例（1）中“f（x）＝－x2＋2x＋3”改为“f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3”，如何求解？ 解：f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3＝ 作出函数的图象如图所示， 由图象可知，函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[0，1]，减区间为[－1，0]，[1，＋∞）. 2.（变条件）若将本例（1）中“f（x）＝－x2＋2x＋3”改为“f（x）＝｜－x2＋2x＋3｜”，如何求解？ 解：函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象如图所示. 由图象知其增区间为[－1，1]，[3，＋∞）；减区间为（－∞，－1），（1，3）. 通性通法 求函数单调区间的2种方法 （1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； （2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间. 提醒：（1）如果函数f（x）在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用“∪”连接；（2）书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间. 求函数f（x）＝｜x2－1｜＋x的增区间. 解：当x≥1或x≤－1时，f（x）＝x2＋x－1＝（x＋）2－； 当－1＜x＜1时，f（x）＝－x2＋x＋1＝－（x－）2＋. 作出函数f（x）的图象（如图实线部分）.由图象知函数f（x）的增区间为，[1，＋∞）. 题型二　函数单调性的判断与证明 （链接教科书第118页例2）证明：函数f（x）＝x＋在区间（0，1）上单调递减. 证明：设x1，x2是区间（0，1）上的任意两个值，且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝（x1＋）－（x2＋） ＝（x1－x2）＋（－）＝（x1－x2）＋ ＝. ∵0＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1， 则x1x2－1＜0， ∴＞0，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）＝x＋在区间（0，1）上单调递减. 【母题探究】 （变设问）若把本例中“在区间（0，1）上单调递减”改为“在区间[1，＋∞）上单调递增”，如何证明？ 证明：设x1，x2为区间[1，＋∞）上的任意两个值，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1＋）－（x2＋）＝. ∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴x1x2－1＞0， ∴＜0，即f（x1）＜f（x2）.∴f（x）＝x＋在区间[1，＋∞）上单调递增. 通性通法 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 判断函数f（x）＝在（1，＋∞）上的单调性，并用定义加以证明. 解：函数f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减. 证明：∀x1，x2∈（1，＋∞），设x1＜x2， 则f（x2）－f（x1）＝－＝， 由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1， 所以－1＞0，－1＞0，x1＋x2＞0. 又x1＜x2，所以x1－x2＜0，于是＜0， 即f（x1）＞f（x2），因此，函数f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减. 题型三　函数单调性的应用 角度1　已知函数的单调性求参数 〔一题多解〕（链接教科书第134页6题）若函数f（x）＝－x2－2ax＋3在区间（－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　（－∞，－3]　. 解析：法一　因为f（x）＝－x2－2ax＋3的图象开口向下，对称轴为x＝－a，要使f（x）在（－∞，3]上单调递增，只需－a≥3，即a≤－3.所以实数a的取值范围为（－∞，－3]. 法二　f（x）＝－x2－2ax＋3＝－（x＋a）2＋a2＋3，函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－a]，由题意得，（－∞，3]⊆（－∞，－a]，所以－a≥3，即a≤－3.所以实数a的取值范围为（－∞，－3]. 【母题探究】 1.（变条件、变设问）若本例中的函数f（x）的增区间为（－∞，3]，求a的值. 解：由题意得－a＝3，即a＝－3. 2.（变条件）若本例中的函数f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围. 解：由题意得－a≤1或－a≥2，即a≤－2或a≥－1. 所以a的取值范围为（－∞，－2]∪[－1，＋∞）. 通性通法 已知函数的单调性求参数范围的一般思路 （1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的范围； （2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的范围. 提醒：注意函数f（x）的单调区间与f（x）在某区间上单调的区别与联系. 角度2　利用函数单调性解不等式 已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），则实数x的取值范围为　（－∞，1）　. 解析：∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），∴2x－3＞5x－6，即x＜1.∴实数x的取值范围为（－∞，1）. 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的条件改为“已知y＝f（x）是定义在[－2，2]上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6）”，求实数x的取值范围. 解：由题意得，解得≤x＜1，所以实数x的取值范围为［，1）. 2.（变条件、变设问）若本例中的函数f（x）是定义在R上的减函数，试比较f（－1）与f（a2＋1）的大小. 解：由f（x）是定义在R上的减函数，又a2＋1＞－1，所以f（－1）＞f（a2＋1）. 通性通法 利用单调性比较大小或解不等式的方法 （1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上； （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 1.设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[－4，4]上的减函数，且f（a＋1）＞f（2a），则a的取值范围是（　　） A.[－4，1） B.（1，4] C.（1，2] D.[－5，2] 解析：C　由题意得－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2.故选C. 2.（2026·淮安期中）如果函数f（x）＝在R上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A.[2，4] B.[2，＋∞） C.[2，8] D.（－∞，－2] 解析：A　当x≤1时，f（x）＝x2－ax＋5＝（x－）2＋5－，由题意，解得故实数a的取值范围是[2，4].故选A. 1.函数y＝的单调递增区间是（　　） A.（－∞，－3] B.［，＋∞） C.（－∞，1） D.[－1，＋∞） 解析：B　由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是［，＋∞）.故选B. 2.函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，－1） C.（0，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：A　当x＞0时，y＝｜x｜－1＝x－1，此时函数单调递增，当x＜0时，y＝｜x｜－1＝－x－1，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为（－∞，0）.故选A. 3.〔多选〕已知函数f（x）＝－2x2＋ax在区间（－1，2）上不具有单调性，则a的值可以是（　　） A.9 B.－1 C.－3 D.0 解析：BCD　因为二次函数f（x）＝－2x2＋ax在区间（－1，2）上不具有单调性，所以－1＜－＜2，－4＜a＜8，故A错误，B、C、D正确.故选B、C、D. 4.已知函数f（x）＝. （1）求f（x）的定义域； （2）证明函数f（x）＝在[1，＋∞）上单调递增. 解：（1）由题意知x＋1≠0，即x≠－1.∴f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）. （2）证明：任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2， f（x）＝＝2－， ∴f（x2）－f（x1）＝－＝. ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又∵x1，x2∈[1，＋∞），∴x2＋1＞0，x1＋1＞0. ∴f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）. ∴函数f（x）＝在[1，＋∞）上单调递增. 　　 1.下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　） A.y＝｜x｜ B.y＝3－x C.y＝ D.y＝－x2＋4 解析：A　当x∈（0，1）时，y＝｜x｜＝x，所以y＝｜x｜在（0，1）上单调递增；y＝3－x，y＝在（0，1）上均单调递减；y＝－x2＋4的图象是以直线x＝0为对称轴的开口向下的抛物线，所以y＝－x2＋4在（0，1）上单调递减.故选A. 2.函数f（x）＝｜x2－1｜的增区间为（　　） A.（－1，0） B.（1，＋∞） C.（－1，0），（1，＋∞） D.（－1，0）∪（1，＋∞） 解析：C　画出f（x）＝｜x2－1｜的图象，如图所示，所以函数f（x）的增区间为（－1，0），（1，＋∞）.故选C. 3.已知定义在[0，＋∞）上的减函数f（x），若f（2a－1）＞f（），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，） B.（，） C.（，＋∞） D.［，） 解析：D　根据题意，f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，f（2a－1）＞f（），则有0≤2a－1＜，解得≤a＜，即a的取值范围为［，），故选D. 4.已知f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，那么f（a2－a＋1）与f（）的大小关系是（　　） A.f（a2－a＋1）＞f（） B.f（a2－a＋1）≤f（） C.f（a2－a＋1）≥f（） D.f（a2－a＋1）＜f（） 解析：B　a2－a＋1＝（a－）2＋≥，∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（a2－a＋1）≤f（）.故选B. 5.下列说法正确的是（　　） A.所有的函数在其定义域上都具有单调性 B.若函数y＝f（x）在区间[1，3]上单调递减，则函数y＝f（x）的单调递减区间是[1，3] C.若函数f（x）为R上的减函数，则f（－3）＞f（3） D.若函数y＝f（x）在定义域上有f（1）＜f（2），则函数y＝f（x）是增函数 解析：C　对于A，函数y＝在其定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上不具有单调性，故A错误；对于B，函数f（x）＝－x2在区间[1，3]上单调递减，但f（x）的单调递减区间是[0，＋∞），故B错误；对于C，函数f（x）为R上的减函数，因为－3＜3，所以f（－3）＞f（3），故C正确；对于D，函数f（x）＝－（x－2）2，f（1）＝－1，f（2）＝0，满足f（1）＜f（2），但f（x）＝－（x－2）2在（－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在其定义域R上不是增函数，故D错误.故选C. 6.〔多选〕（2026·苏州期中）下列函数f（x）满足对∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0恒成立的是（　　） A.f（x）＝－x＋ B.f（x）＝－x2－2x＋3 C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝ 解析：ABD　由题意，（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0恒成立，即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，对于A，f（x）＝－x＋，y＝－x和y＝在（0，＋∞）上都是减函数，所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，故A正确；对于B，f（x）＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，在（0，＋∞）上是减函数，故B正确；对于C，f（x）＝x＋在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故C错误；对于D，f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，故D正确.故选A、B、D. 7.（2026·江阴期中）若函数f（x）＝x2－2ax在区间[0，2]上具有单调性，则实数a的取值范围是　（－∞，0]∪[2，＋∞）　. 解析：由题意f（x）＝x2－2ax，易知其开口向上，对称轴为x＝a，因为f（x）在区间[0，2]上具有单调性，所以a≥2或a≤0，则实数a的取值范围是（－∞，0]∪[2，＋∞）. 8.（2026·南京金陵中学期中）函数f（x）＝的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 解析：由题意得定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（x）＝＝1＋，由反比例函数的单调性可知，函数f（x）＝的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 9.（2026·常熟期中）函数f（x）＝在区间[0，＋∞）上不是单调递减函数，则实数a的取值范围是[2，＋∞）. 解析：∵f（x）＝＝a＋在[0，＋∞）上不是单调递减函数，∴2－a≤0，解得a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞）. 10.已知函数f（x）＝ （1）画出函数f（x）的大致图象； （2）写出函数f（x）的单调递减区间. 解：（1）函数f（x）的大致图象如图所示. （2）由函数f（x）的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4]. 11.已知函数f（x）＝－，则不等式f（x＋1）＞f（2x）的解集为（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.［－，0］ D.［－，1） 解析：C　函数f（x）＝－，由解得－1≤x≤1，则f（x）的定义域为[－1，1].因为y＝是增函数，y＝－也是增函数，所以f（x）＝－是[－1，1]上的增函数，由不等式f（x＋1）＞f（2x）得解得－≤x≤0，故选C. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝2ax2＋4（a－3）x＋5，下列关于函数f（x）单调性的说法正确的是（　　） A.函数f（x）在R上不具有单调性 B.当a＝1时，f（x）在（－∞，0）上单调递减 C.若f（x）的单调递减区间是（－∞，－4]，则a的值为－1 D.若f（x）在区间（－∞，3）上单调递减，则a的取值范围是 解析：BD　当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f（x）＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是（－∞，2]，因此f（x）在（－∞，0）上单调递减，B正确；由f（x）的单调递减区间是（－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在（－∞，3）上单调递减；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是，D正确.故选B、D. 13.（2026·扬州质检）已知函数f（x）＝在（m，m＋1）上单调递增，则实数m的取值范围是　（－∞，－2]∪[1，＋∞）　. 解析：画出分段函数f（x）＝的图象，如图所示， 所以要使函数f（x）在（m，m＋1）上单调递增，则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，所以实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）. 14.已知函数f（x）＝. （1）判断并证明函数f（x）在（－2，＋∞）上的单调性； （2）若函数f（x）的定义域为（－2，2），且满足f（－2m＋3）＞f（m2），求m的取值范围. 解：（1）f（x）＝＝3＋，f（x）在（－2，＋∞）上单调递减，证明如下： 设x1＞x2＞－2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝，因为x1＞x2＞－2， 所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0， 所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递减. （2）由（1）可知，当x∈（－2，2）时，函数f（x）是减函数，所以由f（－2m＋3）＞f（m2）得，解得1＜m＜， 所以m的取值范围为（1，）. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $