5.2 第2课时 分段函数-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦分段函数核心知识点，从实际问题（公共汽车票价规则）切入，系统梳理定义、本质及定义域值域的并集性质，通过图象与求值、定义域值域分析、实际应用三大题型构建学习支架，衔接函数基本概念与应用拓展。 资料以真实情境（如节约用水收费、行程问题）培养数学眼光，通过一题多解（绝对值函数图象画法）和通性通法总结发展数学思维，实际应用问题助力用数学语言表达现实世界。课中例题解析清晰，课后练习题覆盖不同层次，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　分段函数 　　 　　某市公共汽车的票价按下列规则实施：（1）5千米以内（包含5千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站. 【问题】　（1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）是函数关系吗？ （2）若是函数关系，则函数的表达式是什么？ 　 知识点　分段函数 1.定义：在定义域内不同部分上，有不同的　解析表达式　，像这样的函数，通常叫作分段函数. 2.本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的对应关系. 提醒：关于分段函数概念的再理解：①分段函数是一个函数，而不是几个函数；②分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. 1.函数f（x）＝｜x－1｜的图象是（　　） 解析：B　∵f（1）＝0，f（0）＝1，∴函数f（x）的图象过点（1，0）和（0，1），排除A、C；又∵f（－1）＝2，即图象过点（－1，2），不过点（－1，0），排除D.故选B. 2.〔多选〕下列给出的函数是分段函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：AD　B中的函数f（x）＝中，当x＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数f（x）＝中，当x＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数.故选A、D. 3.已知f（x）＝则f（7）＝　8　. 解析：f（x）＝f（7）＝f（11）＝11－3＝8. 4.函数y＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为{－2}∪（0，＋∞）. 　　 题型一　分段函数的图象与求值 〔一题多解〕（链接教科书第113页例2）已知函数f（x）＝｜x2－1｜. （1）试画出函数f（x）的图象； （2）求f（－2），f（1），f（f（1））的值； （3）若f（a）＝8，求实数a的值. 解：（1）法一　f（x）＝图象如图所示. 法二　先画出函数f（x）＝x2－1的图象，然后将x轴下方的图象作关于x轴对称，即得函数f（x）＝｜x2－1｜的图象. （2）f（－2）＝（－2）2－1＝3，f（1）＝－12＋1＝0，f（f（1））＝f（0）＝－02＋1＝1. （3）当a＜－1或a＞1时，f（a）＝a2－1＝8， 解得a＝3或a＝－3，符合题意； 当－1≤a≤1时，f（a）＝－a2＋1＝8，无解. 综上可得，当f（a）＝8时，a的值为3或－3. 通性通法 1.分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 2.分段函数求函数值的方法 （1）确定要求值的自变量属于哪一段区间； （2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值. 3.已知函数值求参数取值（范围）的步骤 （1）先根据分段函数定义域内不同段上的解析式，列出方程（不等式）； （2）解方程（不等式）求参数的值（范围），并检验是否符合参数的取值范围； （3）符合题意的所有值（范围的并集）即为所求. 1.（2026·淮安期中）已知f（x）＝则f（f（－2））＝（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 解析：A　因为f（x）＝所以f（－2）＝－（－2）2－2×（－2）＋1＝1，故f（f（－2））＝f（1）＝1.故选A. 2.已知f（x）＝若f（a）≤－3，则实数a的取值范围为（　　） A.[－3，－1]∪[1，3] B.（－3，－1]∪[1，3） C.[－2，－1]∪[1，2] D.[－3，3] 解析：A　当a≤0时，a2＋4a≤－3，a∈[－3，－1]；当a＞0时，a2－4a≤－3，a∈[1，3].因此，a∈[－3，－1]∪[1，3].故选A. 题型二　分段函数的定义域与值域 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域： （1）y＝ （2）y＝ 解：各函数对应图象如图所示： 由图象知，（1）的定义域是（0，＋∞），值域是[1，＋∞）； （2）的定义域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6]. 通性通法 分段函数的定义域与值域的求法 （1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，要先求出每段函数的定义域，然后再求所有定义域的并集； （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集，求分段函数的值域要分段进行，就是把分段函数各个分段上的函数看作一个独立的函数，分别求出它们的值域，各个分段上的函数值域的并集就是这个分段函数的值域. 已知函数f（x）＝1＋（－2＜x≤2）. （1）用分段函数的形式表示函数f（x）； （2）画出函数f（x）的图象； （3）写出函数f（x）的值域. 解：（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1， 当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋＝1－x. 所以f（x）＝ （2）函数f（x）的图象如图所示. （3）由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）. 题型三　分段函数的实际应用 （链接教科书第114页例3）某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米5元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米10元收费. （1）试写出应缴水费额（单位：元）关于用水量（单位：立方米）的函数解析式； （2）若某职工某月缴水费80元，则该职工这个月实际用水量为多少立方米？ 解：（1）设该单位职工每月用水量为x立方米时，应缴水费额为y元，则由题意得，当0≤x≤10时，y＝5x； 当x＞10时，按每立方米10元收费的费用为10（x－10）， 即y＝10×5＋10（x－10）. 所以，应缴水费额关于用水量的函数解析式为y＝ 即y＝ （2）若某职工某月缴水费80元，由y＝80，可知x＞10. 令10x－50＝80，解得x＝13. 故该职工这个月实际用水量为13立方米. 通性通法 分段函数的实际应用 （1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画； （2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，将汽车离A地的距离s（km）表示为时间t（h）（从A地出发时开始）的函数，再把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数. 解：从A地到B地所需时间为＝2.5（h），从B地到A地所需时间为＝3（h）， 所以当0＜t≤2.5时，s＝60t； 当2.5＜t≤3.5时，s＝150； 当3.5＜t≤6.5时，s＝150－50（t－3.5）＝－50t＋325， 所以s＝ v＝ 1.设函数f（x）＝则f（－4）＝（　　） A.－4 B.－2 C.0 D.2 解析：B　f（－4）＝f（－2）＝f（0）＝f（2）＝22－3×2＝－2.故选B. 2.函数f（x）＝的图象是（　　） 解析：C　当x＞0时，f（x）＝1；当x＜0时，f（x）＝－1.故选C. 3.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝－2，则实数a＝　3　. 解析：因为f（0）＝03＋2＝2，所以由f（f（0））＝－2，得f（2）＝－2，所以4－2a＝－2，解得a＝3. 4.（2026·沭阳期中）已知函数f（x）＝｜x＋2｜＋x－3. （1）用分段函数的形式表示f（x）； （2）画出f（x）的图象，并写出函数的定义域和值域. 解：（1）当x＜－2时，f（x）＝－x－2＋x－3＝－5；当x≥－2时，f（x）＝x＋2＋x－3＝2x－1， 故f（x）＝ （2）函数f（x）的图象如图所示. 由图可知，函数f（x）的定义域为R，函数f（x）的值域为[－5，＋∞）. 　　 1.函数f（x）＝则f（f（1））＝（　　） A.3 B.－2 C.0 D.1 解析：C　∵f（1）＝1－3＝－2，∴f（f（1））＝f（－2）＝4－4＝0.故选C. 2.已知函数f（x）＝如果f（m）＝4，那么实数m的值为（　　） A.1 B.－2 C.－8 D.－ 解析：B　由f（m）＝4可知，m＜0，且－2m＝4，故m＝－2.故选B. 3.已知函数f（x）＝则函数f（x）的图象是（　　） 解析：A　当x＝－1时，f（x）＝0，即图象过点（－1，0），D错；当x＝0时，f（x）＝1，即图象过点（0，1），C错；当x＝1时，f（x）＝2，即图象过点（1，2），B错.故选A. 4.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析：A　∵f（a）＋f（1）＝0，∴f（a）＝－f（1）＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3. 5.〔多选〕函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝－｜x｜＋1 D.f（x）＝｜x＋1｜ 解析：AC　通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知A、C正确.故选A、C. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域是R B.f（x）的值域是（－∞，5） C.若f（x）＝3，则x的值为 D.f（x）图象与y＝2有两个交点 解析：BC　A中，函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪（－1，2），即（－∞，2），故A错误；B中，x≤－1时，f（x）＝x＋2∈（－∞，1]，－1＜x＜2时，x2∈[0，4），故f（x）＝x2＋1∈[1，5），故值域为（－∞，5），B正确；C中，由分段的取值可知f（x）＝3时x∈（－1，2），即f（x）＝x2＋1＝3，解得x＝或x＝－（舍去），故C正确；D中，由分段的取值可知，f（x）＝2时x∈（－1，2），即f（x）＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1（舍去），故f（x）图象与y＝2有1个交点，故D错误.故选B、C. 7.（2026·连云港月考）已知实数a≠0，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为　－　. 解析：当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，所以3（1－a）＋a＝－（1＋a）－3a，即3－2a＝－1－4a，解得a＝－2（舍去）.当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，所以－（1－a）－3a＝3（1＋a）＋a，即－1－2a＝3＋4a，解得a＝－.综上，a的值为－. 8.设函数f（x）＝若f（m）＞m，则实数m的取值范围是（－∞，－1）. 解析：由题意，得或解得m＜－1. 9.若定义运算a☉b＝则函数f（x）＝x☉（2－x）的值域为（－∞，1]. 解析：由题意得f（x）＝画出函数f（x）的图象得其值域是（－∞，1]. 10.给定函数f（x）＝6－x，g（x）＝x，用m（x）表示函数f（x），g（x）中的较小者，即m（x）＝min{f（x），g（x）}. （1）作出函数m（x）的图象； （2）求函数m（x）的定义域和值域. 解：（1）令f（x）≥g（x），即6－x≥x，解得x≤3； 令f（x）＜g（x），即6－x＜x，解得x＞3， 则M（x）＝作出m（x）的图象如图所示（图中实线部分）. （2）由图可知，函数m（x）的定义域为R，函数m（x）的值域为（－∞，3]. 11.已知f（x）＝则不等式xf（x）＋x≤2的解集是（　　） A.{x｜x≤1} B.{x｜x≤2} C.{x｜0≤x≤1} D.{x｜x＜0} 解析：A　当x≥0时，f（x）＝1，xf（x）＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；当x＜0时，f（x）＝0，xf（x）＋x≤2⇔x≤2，所以x＜0，综上，x≤1.故选A. 12.〔多选〕数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的x∈R，函数D（x）＝称为狄利克雷函数；记[x]为不超过x的最大整数，则称f（x）＝[x]为高斯函数.下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，正确的是（　　） A.D（f（x））＝1 B.D（x＋1）＝D（x） C.f（x）＋f（－x）＝0 D.f（D（x））的值域为{0，1} 解析：ABD　由高斯函数的定义知，∀x∈R，f（x）＝[x]都是整数，即都是有理数，所以D（f（x））＝1，即A正确；若x为有理数，则x＋1也是有理数，D（x＋1）＝D（x）＝1；若x为无理数，则x＋1也是无理数，D（x＋1）＝D（x）＝0，即B正确；取x＝0.5，则f（0.5）＝0，f（－0.5）＝－1，所以f（0.5）＋f（－0.5）＝－1，即C错误；因为D（x）的值域是{0，1}，且f（0）＝0，f（1）＝1，所以f（D（x））的值域为{0，1}，即D正确.故选A、B、D. 13.设函数f（x）＝若f（f（））＝4，则b＝　　. 解析：因为f（）＝3×－b＝－b，所以f（f（））＝f（－b）.当－b＜1，即b＞时，f（－b）＝3×（－b）－b＝4，解得b＝（舍去）.当－b≥1，即b≤时，f（－b）＝2（－b）＝4⇒－b＝2，解得b＝.综上，b＝. 14.如图，底角∠ABE＝45°的直角梯形ABCD，底边BC长为4 cm，腰长AB为2cm，当一条垂直于底边BC的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BE＝x，试写出阴影部分的面积y与x的函数关系式，并画出函数的大致图象. 解：由题意得，当直线l从点B移动到点A时，0≤x≤2，y＝x2； 当直线l从点A移动到点D时，2＜x≤4， y＝×2×2＋（x－2）×2， 即y＝2x－2. 所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为y＝ 函数图象如图所示. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $