5.1 第2课时 函数的定义域与值域-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数的定义域与值域核心知识点，从炮弹发射实例引入变量范围问题，进而讲解抽象函数概念，系统梳理抽象函数定义域的两类求法及值域的五种求法，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以真实情境培养数学眼光，通过题型分类及通性通法总结发展数学思维，母题探究与变式训练助力数学语言规范表达。课中便于教师分层教学，课后学生可针对性练习，有效查漏补缺。

第2课时　函数的定义域与值域 　　 　　一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的关系是：h＝130t－5t2. 【问题】　这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？ 　 知识点一　抽象函数 抽象函数即为没有给出具体解析式的函数，可用一般形式表示，如y＝f（x），y＝f（g（x））等. 提醒：形如y＝f（g（x））的函数，是由两类初等函数y＝f（t），t＝g（x）复合而成的，该函数又称复合函数，其中t＝g（x）称为内层函数，y＝f（t）称为外层函数. 知识点二　抽象函数的定义域 1.函数f（x）的定义域是指x的取值所组成的集合. 2.函数f（g（x））的定义域是指x的取值范围，而不是g（x）的范围. 3.已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）的范围（值域）为A，求出x的取值范围. 4.已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（g（x））中的x的取值范围为B，求出g（x）的范围（值域），此范围就是f（x）的定义域. 1.若函数f（x）＝3x－1，则f（1）的值为（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 解析：B　由f（x）＝3x－1，得f（1）＝2.故选B. 2.若函数f（x）的定义域为（－3，2），则函数y＝f（x＋1）的定义域为（－4，1）. 解析：因为f（x）的定义域为（－3，2），所以令－3＜x＋1＜2，得－4＜x＜1，所以y＝f（x＋1）的定义域为（－4，1）. 3.已知函数f（x）＝x2－1的定义域为{－1，0，1}，则函数的值域为{－1，0}. 解析：因为f（－1）＝f（1）＝0，f（0）＝－1，所以函数f（x）的值域为{－1，0}. 4.已知函数f（x）＝，又知f（t）＝6，则t＝　－　. 解析：由f（t）＝6，得＝6，即t＝－. 　　 题型一　求函数值 （链接教科书第107页练习5题）已知f（x）＝x2－2x＋2. （1）求f（2），f（a），f（a＋1）的值； （2）若g（x）＝x＋1，求f（g（3））的值. 解：（1）f（2）＝22－2×2＋2＝2，f（a）＝a2－2a＋2， f（a＋1）＝（a＋1）2－2（a＋1）＋2＝a2＋1. （2）因为g（3）＝3＋1＝4，所以f（g（3））＝f（4）＝42－2×4＋2＝10. 【母题探究】 1.（变设问）若本例（1）条件不变，若f（a＋1）＝a＋3，求a的值. 解：由f（a＋1）＝a＋3，得f（a＋1）＝a2＋1＝a＋3，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2. 2.（变设问）若本例（2）条件不变，求f（g（x）），g（f（x））. 解：f（g（x））＝f（x＋1）＝（x＋1）2－2（x＋1）＋2＝x2＋1. g（f（x））＝（x2－2x＋2）＋1＝x2－2x＋3. 通性通法 求函数值的方法 （1）函数值f（a）就是a在对应关系f下的对应值； （2）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值； （3）求f（g（a））的值应遵循由里向外的原则. 1.已知函数f（x）＝，则f（）＝（　　） A.3a B.a C. D. 解析：A　f（）＝＝3a.故选A. 2.已知f（2x＋1）＝1－x，则f（0）＝（　　） A.0 B. C.1 D. 解析：D　令2x＋1＝0，得x＝－，所以f（0）＝1－（－）＝. 题型二　求函数的值域 （链接教科书第106页例3）求下列函数的值域： （1）f（x）＝x2－2x＋2，x∈{－1，0，1，2}； （2）f（x）＝x2－2x＋2；（3）y＝； （4）y＝x＋. 解：（1）函数的定义域为{－1，0，1，2}， 因为f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＋2＝5，f（0）＝2，f（1）＝1，f（2）＝2， 所以函数f（x）的值域为{1，2，5}. （2）f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1. 因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1，所以函数f（x）的值域为[1，＋∞）. （3）y＝＝＝3＋，显然3＋≠3，所以y≠3. 所以函数的值域为（－∞，3）∪（3，＋∞）. （4）令t＝，t≥0，得x＝（t2－1），故y＝（t＋1）2－1，t∈[0，＋∞）， 画出函数y＝（t＋1）2－1的大致图象如图所示，由函数图象可知当t＝0时，y有最小值－， 即y≥－，故函数的值域为［－，＋∞）. 通性通法 求函数值域常用的5种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域； （4）换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域； （5）分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域. 求下列函数的值域： （1）y＝＋1； （2）y＝. 解：（1）因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞）. （2）因为y＝＝－1＋， 又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1， 所以0＜≤2，则y∈（－1，1]. 所以所求函数的值域为（－1，1]. 题型三　求抽象函数的定义域 角度1　已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域 已知函数f（x）的定义域为（－1，2），则函数f（2x＋1）的定义域为　（－1，）　. 解析：由－1＜2x＋1＜2，得－1＜x＜，∴f（2x＋1）的定义域为（－1，）. 通性通法 已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域 　　若f（x）的定义域为[a，b]，则f（g（x））中g（x）∈[a，b]，从中解得x的解集即f（g（x））的定义域. 角度2　已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域 已知f（x2－1）的定义域为[0，3]，则f（x）的定义域为　[－1，8]　. 解析：根据f（x2－1）的定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，则x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8].故f（x）的定义域为[－1，8]. 通性通法 已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域 　　若f（g（x））的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g（x）的范围，设u＝g（x），则f（g（x））＝f（u），又f（u）与f（x）是同一个函数，所以g（x）的范围即f（x）的定义域. 角度3　已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域 若函数f（x＋1）的定义域为［－，2］，则函数f（x－1）的定义域为　［，4］　. 解析：由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f（x）的定义域为［，3］，由≤x－1≤3，解得≤x≤4，故f（x－1）的定义域是［，4］. 通性通法 已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域 　　已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取值范围，求出g（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h（x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围，即f（h（x））的定义域. 1.已知函数f（x＋2）的定义域为（－1，3），则f（x）的定义域为（　　） A.（－1，1） B.（1，5） C.（－3，1） D.（0，2） 解析：B　因为x∈（－1，3），则x＋2∈（1，5），所以f（x）的定义域为（1，5）.故选B. 2.已知函数f（x＋2）的定义域为（－2，0），则函数f（2x－2）的定义域为（　　） A.（0，2） B.（－，） C.（1，2） D.（－，0） 解析：C　由题意知－2＜x＜0，∴0＜x＋2＜2，即f（x）的定义域为（0，2），∴0＜2x－2＜2，解得1＜x＜2，故f（2x－2）的定义域是（1，2）.故选C. 1.已知函数f（x）＝－1，且f（a）＝3，则a＝（　　） A.2 B.4 C.8 D.16 解析：D　因为f（x）＝－1，所以f（a）＝－1.又因为f（a）＝3，所以－1＝3，a＝16.故选D. 2.（2026·昆山期中）已知f（x）＝＋，则函数g（x）＝的定义域是（　　） A.[－2，1）∪（1，2] B.[0，1）∪（1，4] C.[0，1）∪（1，2] D.[－1，1）∪（1，3] 解析：A　由得－1≤x≤3，∴f（x）的定义域为[－1，3].又∵g（x）＝，∴∴－2≤x≤2且x≠1.∴g（x）＝的定义域是[－2，1）∪（1，2].故选A. 3.函数f（x）＝（x∈R）的值域是　（0，1]　. 解析：因为x2≥0，所以x2＋1≥1，0＜≤1，故函数f（x）的值域为（0，1]. 4.已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R）. （1）求f（2），g（2）的值； （2）求f[g（3）]的值. 解：（1）∵f（x）＝， ∴f（2）＝＝. 又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6. （2）∵g（3）＝32＋2＝11， ∴f[g（3）]＝f（11）＝＝. 　　 1.设函数f（x）＝，则当f（x）＝2时，x＝（　　） A.－4　　　　B.4 C.－10　　　　D.10 解析：C　∵f（x）＝，f（x）的定义域为{x｜x∈R，x≠－2}，当f（x）＝2时，即＝2，解得x＝－10.又∵－10∈{x｜x∈R，x≠－2}，故选C. 2.设函数f（x）＝3x2－1，则f（a）－f（－a）＝（　　） A.0 B.3a2－1 C.6a2－2 D.6a2 解析：A　f（a）－f（－a）＝3a2－1－[3（－a）2－1]＝0.故选A. 3.已知函数y＝f（x）部分x与y的对应关系如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 3 2 1 0 0 －1 －2 －3 则f（f（4））＝（　　） A.－1　　　B.－2　　　C.－3　　　D.3 解析：D　f（f（4））＝f（－3）＝3，故选D. 4.已知函数f（x）＝，f（f（a））＝，则a＝（　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析：B　由f（f（a））＝＝＝＝，解得a＝1.故选B. 　　 5.已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f（x－1）＋的定义域为（　　） A.[0，2）∪（2，＋∞） B.（－1，2）∪（2，＋∞） C.（4，＋∞） D.[1，2）∪（2，＋∞） 解析：D　函数f（x）＝的定义域为[0，＋∞），g（x）有意义，则解得x≥1且x≠2，所以函数g（x）的定义域为[1，2）∪（2，＋∞）.故选D. 6.〔多选〕下列函数中，值域为[0，4]的是（　　） A.f（x）＝x－1，x∈[1，5] B.f（x）＝－x2＋4 C.f（x）＝ D.f（x）＝x＋－2（x＞0） 解析：AC　x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f（x）＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C. 7.若f（x）＝，x∈{1，2}，则函数的值域为　　. 解析：∵函数的定义域为{1，2}，∴f（1）＝＝，f（2）＝＝＝，∴函数的值域为. 8.若函数f（x）的定义域为[－2，1]，则y＝f（x）＋f（－x）的定义域为　[－1，1]　，y＝f（2x＋1）的定义域为　［－，0］　. 解析：由题意，得即－1≤x≤1.故y＝f（x）＋f（－x）的定义域为[－1，1].由－2≤2x＋1≤1，得－≤x≤0，即函数y＝f（2x＋1）的定义域为［－，0］. 9.试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以为　y＝（x＋1）2（答案不唯一）　. 解析：函数y＝x2与y＝（x＋1）2的定义域和值域都相同. 10.已知函数f（x）＝＋. （1）求函数的定义域； （2）求f（－3），f的值； （3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值. 解：（1）使根式有意义的实数x的集合是{x｜x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x｜x≠－2}.所以这个函数的定义域是{x｜x≥－3}∩{x｜x≠－2}＝{x｜x≥－3，且x≠－2}， 即[－3，－2）∪（－2，＋∞）. （2）将－3与代入解析式，有f（－3）＝＋＝－1； f＝＋＝＋＝＋. （3）因为a＞0，所以f（a），f（a－1）有意义. f（a）＝＋； f（a－1）＝＋＝＋. 11.若函数f（x）＝（a2－2a－3）x2＋（a＋1）x＋2的定义域和值域都是R，则a的值为（　　） A.3或－1 B.3 C.－1 D.不确定 解析：B　（1）当a2－2a－3≠0时，f（x）是二次函数，当其定义域是R时，值域不是R，不符合题意.（2）当a2－2a－3＝0时，解得a＝－1或a＝3，①若a＝－1，则f（x）＝2，是常数函数，值域为{2}，不符合题意；②若a＝3，则f（x）＝4x＋2，其图象是一条直线，值域为R，符合题意.故选B. 12.〔多选〕若函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，则实数a的可能取值是（　　） A.－1 B.1 C.3 D.5 解析：AB　函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，等价于＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由x＜0，得a≤－x在区间[－2，－1]上恒成立，∴a≤1，故选A、B. 13.当x∈R时，函数y＝恒有意义，则k的取值范围是　［，＋∞）　. 解析：由题意，当x∈R时，kx2－6x＋8≥0恒成立，故解得k≥，则k的取值范围是［，＋∞）. 14.（1）已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域； （2）已知函数f（2x＋1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域； （3）已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域. 解：（1）∵f（x）的定义域为（0，1），∴要使f（x2）有意义，需使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1.∴f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}. （2）f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其自变量x的取值范围是0＜x＜1.若令t＝2x＋1，则1＜t＜3，即关于t的函数f（t）的定义域为{t｜1＜t＜3}，从而函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}. （3）f（x＋1）的定义域为[－2，3]，即其自变量x的取值范围是－2≤x≤3.若令t＝x＋1，则－1≤t≤4，即关于t的函数f（t）的定义域为{t｜－1≤t≤4}.要使函数f（2x2－2）有意义，只需－1≤2x2－2≤4，解得－≤x≤－或≤x≤. ∴f（2x2－2）的定义域为{x－≤x≤－或≤x≤}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $