5.1 第3课时 函数的图象-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“函数的图象”核心知识点，从初中已学的一次函数、反比例函数、二次函数图象入手，通过问题引导回顾描点法，进而给出函数图象的严格定义，构建从具体到抽象的学习支架，衔接初中基础与高中深化。 资料特色在于注重数学眼光、思维与语言的培养，结合心电图等生活实例激发观察兴趣，通过定义辨析、母题变式训练逻辑推理，规范描点法步骤强化表达。课中助力教师分层教学，课后通过题型归纳与练习帮助学生巩固方法，查漏补缺。

第3课时　函数的图象 　　 　　在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y＝2x－1，y＝（x≠0）以及y＝x2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、电磁波型图等. 【问题】　在初中我们是采用什么方法来画函数图象的？ 　 知识点　函数的图象 1.定义：将自变量的一个值x0作为　横坐标　，相应的函数值f（x0）作为　纵坐标　，就得到坐标平面上的一个点　（x0，f（x0））　.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为{（x，f（x））｜x∈A}，即{（x，y）｜y＝f（x），x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f（x）的图象. 2.描点法作函数图象的步骤 1.下列四个图形中，不是函数图象的是（　　） 解析：B　根据函数的定义知：若y是x的函数，则x确定一个值，y就随之唯一确定一个值，体现在图象上即图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B选项不符合此条件.故选B. 2.函数y＝x＋1，x∈Z，且｜x｜＜2的图象是（　　） 解析：C　由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函数的图象是三个点，故C正确. 3.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.直线x＝a和函数y＝f（x），x∈[m，n]的图象有1个交点 B.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线 C.函数f（x）＝x＋1与g（x）＝x＋1（x∈N）的图象不相同 D.函数y＝f（x），x∈A图象上所有的点组成的集合是{（x，y）｜y＝f（x），x∈A} 解析：CD　A中，若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f（x）有一个交点，若a∉[m，n]，则x＝a与y＝f（x）无交点，故A错误；B中，f（x）＝，x∈{1，2，3，4，5}的图象就不是连续的曲线，故B错误；C中，两函数的定义域不同，则图象不同，故C正确；由函数的定义知D选项正确.故选C、D. 4.函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（f（－2））＝　1　. 解析：由图可知f（－2）＝3，故f（f（－2））＝f（3）＝1. 　　 题型一　函数图象的画法 （链接教科书第108页例4）试画出下列函数的图象： （1）y＝3x－1，x∈[0，2]；（2）y＝x2＋x，x∈R； （3）y＝（x＋）2－，x∈[－1，1）. 解：（1）当x∈[0，2]时，图象是直线y＝3x－1的一部分，图象如图①所示. （2）y＝x2＋x＝（x＋）2－，故函数图象的对称轴为x＝－，顶点为（－，－）. 又y＝x2＋x图象开口向上，且与x轴、y轴分别交于点（－1，0），（0，0）.故图象如图②所示. （3）y＝（x＋）2－，x∈[－1，1）的图象是y＝x2＋x，x∈R的图象上x∈[－1，1）的一段， 其中点（－1，0）在图象上，用实心点表示；点（1，2）不在图象上，用空心点表示.故图象如图③所示. 【母题探究】 （变条件）若将本例（2）中“x∈R”改为“x∈{－1，0，1，2，3}”，如何求解？ 解：列表： x －1 0 1 2 3 y 0 0 2 6 12 由表中数据，描点画出函数的图象是5个点，如图所示. 通性通法 描点法作函数图象的三个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. 画出下列函数的图象： （1）y＝，x∈[－2，0）∪（0，1）； （2）y＝2x2－4x－3，x∈[0，3）. 解：（1）当x∈[－2，0）∪（0，1）时，图象是反比例函数y＝的一部分，所画函数图象如图1所示. （2）∵y＝2（x－1）2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.所画函数图象如图2所示. 题型二　利用函数图象求值或比较大小 （链接教科书第109页例6）画出函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较f（0），f（1），f（3）的大小； （2）若x1＜x2＜1，试比较f（x1）与f（x2）的大小. 解：因为函数f（x）＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4的定义域为R， 列表： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … f（x） … －5 0 3 4 3 0 －5 … 描点，连线，得函数图象如图， （1）根据图象，容易发现f（3）＜f（0）＜f（1）. （2）根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f（x1）＜f（x2）. 【母题探究】 （变条件）若将本例（2）中的条件“x1＜x2＜1”改为“x1＞x2＞1”，试比较f（x1）与f（x2）的大小. 解：当x1＞x2＞1时，结合图象知f（x1）＜f（x2）. 通性通法 借助函数图象比较函数值的大小的关键点 　　利用函数图象比较大小的关键是根据自变量的值找到图象上的对应点，自上向下看各点函数值由大到小，当两点连线平行于x轴时，函数值相等；对于二次函数也可以比较两个自变量离对称轴的距离，再结合图象判断函数值的大小. 根据如图所示的函数y＝f（x）的图象填空： （1）f（0）＝　4　，f（－2）＝　3　，f（f（2））＝　2　； （2）若－1＜x1≤x2＜2，则f（x1）与f（x2）的大小关系为f（x1）≥f（x2）. 解析：（1）由函数y＝f（x）的图象可知，f（0）＝4，f（－2）＝3，f（f（2））＝2. （2）由y＝f（x）的图象可知，在x∈（－1，2）上函数值随着x的增大逐渐变小.当－1＜x1≤x2＜2时，f（x1）≥f（x2）. 题型三　利用函数图象求函数的值域 （链接教科书第111页练习2题）作出下列函数的图象并求出其值域： （1）y＝2x＋1，x∈[0，2]； （2）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解：（1）列表： x 0 2 y 1 5 当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]. （2）列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画出图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图象可得函数的值域是[－1，8]. 通性通法 1.一般地利用图象法求函数的值域时，先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，即可求出值域. 2.求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）在[m，n]上的值域的步骤： （1）配方，找对称轴； （2）判断对称轴与区间的关系； （3）借助图象求值域. 已知函数f（x）＝－x2＋4x－2，x∈[0，3]. （1）画出f（x）图象的简图； （2）根据图象写出f（x）的值域. 解：（1）函数f（x）＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，f（3）＝1，f（0）＝－2，f（x）图象的简图如图所示. （2）观察f（x）的图象可知，f（x）图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－2，2]， 则f（x）的值域是[－2，2]. 1.下列图形是函数y＝－｜x｜，x∈[－2，2]的图象的是（　　） 解析：B　当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2.故选B. 2.已知函数y＝ax2＋b的图象如图所示，则a和b的值分别为（　　） A.0，－1 B.1，0 C.1，－1 D.－1，1 解析：C　由图象可知，当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，即解得故选C. 3.函数f（x）＝，x∈[0，＋∞）的值域为[0，＋∞）. 解析：函数图象如图所示，由图象得函数的值域为[0，＋∞）. 4.画出函数f（x）＝x2＋2x＋3的图象，根据图象回答下列问题： （1）比较f（－2），f（1），f（2）的大小； （2）若x1＜x2＜－1，比较f（x1）与f（x2）的大小. 解：函数f（x）＝x2＋2x＋3的图象如图所示. （1）由图象知，f（－2）＜f（1）＜f（2）. （2）由图象知当x1＜x2＜－1时，f（x1）＞f（x2）. 　　 1.已知函数f（x）＝x－，且此函数图象过点（5，4），则实数m的值为（　　） A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.5 解析：D　由题意知f（5）＝5－＝4，∴m＝5.故选D. 2.函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的定义域是（　　） A.R B.（－∞，1）∪（1，＋∞） C.（－∞，0）∪（0，＋∞） D.（－1，0） 解析：C　由题图知x≠0，即x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）.故选C. 3.函数y＝x－1（x≥0）的图象是（　　） A.一条射线 B.一条线段 C.两条射线 D.一条直线 解析：A　函数y＝x－1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线.故选A. 4.如果函数f（x）＝x2＋2x－3，x∈[0，2]，那么函数f（x）的值域为（　　） A.[－4，＋∞） B.[－4，5] C.[－3，5] D.[0，5] 解析：C　f（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，函数图象开口向上，对称轴为x＝－1，所以函数f（x）在x∈[0，2]上随x增大y值逐渐增大，所以f（x）min＝f（0）＝－3，f（x）max＝f（2）＝5，所以函数f（x）的值域为[－3，5].故选C. 5.〔多选〕函数f（x）＝ 的图象可能是（　　） 解析：ABC　当a＝0时，f（x）＝＝，选项C符合；当a＞0时，函数定义域为R，选项B符合；当a＜0时，则x≠± ，选项A符合，选项D不符合.故选A、B、C. 6.〔多选〕已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（　　） A.[0，1] B.[1，2] C. D.[－1，1] 解析：ABC　如图，画出函数y＝x2－2x＋2的图象，由图象易知，当值域为[1，2]时，其定义域可为A、B、C. 7.已知函数f（x）的图象如图所示，则此函数的定义域是　[－3，3]　，值域是　[－2，2]　. 解析：由图象知x∈[－3，3]，y∈[－2，2]. 8.如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）＝　2　. 解析：由题意知，f（3）＝1，所以f（）＝f（1）＝2. 9.如图是李明晨练时离家的距离（y）与行走时间（x）之间函数关系的图象，若用黑点表示李明家的位置，并且他在行走过程中没有停下休息，则李明散步行走的路线可能是　④　. 解析：由图象知，李明开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合. 10.作出下列函数的图象： （1）y＝1－x（x∈Z）； （2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]； （3）y＝. 解：（1）因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示. （2）y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， 当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示. （3）当x＞0时，图象是反比例函数y＝在第一象限的曲线；当x＜0时，图象是反比例函数y＝－在第二象限的曲线，其图象如图③所示. 11.已知函数f（x）＝x2＋bx＋c且f（1＋x）＝f（－x），则下列不等式中成立的是（　　） A.f（－2）＜f（0）＜f（2） B.f（0）＜f（－2）＜f（2） C.f（0）＜f（2）＜f（－2） D.f（2）＜f（0）＜f（－2） 解析：C　∵f（1＋x）＝f（－x），∴（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝x2－bx＋c，∴x2＋（2＋b）x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c，∴2＋b＝－b，即b＝－1.∴f（x）＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝，画出函数f（x）的图象（图略），易知f（0）＜f（2）＜f（－2）.故选C. 12.〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.则下列结论正确的是（　　） A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 解析：AD　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，又b＝2a，即5a＜b，D正确.故选A、D. 13.若函数y＝x2－4x的定义域为[－4，a]，值域为[－4，32]，则实数a的取值范围为　[2，8]　. 解析：y＝x2－4x的图象过点（4，0），（0，0）且关于直线x＝2对称，如图所示.当x＝－4或8时，y＝32，当x＝2时，y＝－4，要使值域为[－4，32]，只需a∈[2，8]即可. 14.如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P（－2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标； （2）若点Q（m，n）在该二次函数图象上： ①当m＝2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象求出n的取值范围. 解：（1）把点P（－2，3）代入y＝x2＋ax＋3中， ∴a＝2， ∴y＝x2＋2x＋3， ∴顶点坐标为（－1，2）. （2）①当m＝2时，n＝11. ②∵点Q到y轴的距离小于2，∴｜m｜＜2， ∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11，故n的取值范围为[2，11）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $