5.1 第1课时 函数的概念-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦函数概念核心知识点，从初中变量依赖关系过渡到高中用集合语言和对应关系刻画函数，明确定义域、对应关系、值域三要素及同一个函数的判定标准，通过问题导入、概念辨析和题型示例搭建学习支架。 该资料以生活实例（如气温变化）导入培养数学眼光，通过“想一想”问题（如定义域与值域关系）深化数学思维，题型分类及通性通法总结助力数学运算与逻辑推理，课中辅助教师授课，课后练习题帮助学生查漏补缺。

5.1　函数的概念和图象 课标 要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（数学抽象）. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域（数学抽象、数学运算）. 第1课时　函数的概念 　　 　　事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化. 【问题】　（1）这两个变量之间存在怎样的关系？ （2）在初中我们对这两个变量之间的关系是如何定义的？ 　 知识点一　函数的有关概念 函数的概念 给定两个　非空　实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的　每一个　实数x，在集合B中都有　唯一　的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f（x），x∈A 定义域 x叫作　自变量　，集合A叫作函数的定义域 值域 若A是函数y＝f（x）的定义域，则对于A中的每一个x（输入值），都有一个y（输出值）与之对应.我们将所有输出值y组成的集合　{y｜y＝f（x），x∈A}　称为函数的值域 提醒：（1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空实数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应；（2）函数符号“y＝f（x）”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f（x）也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；（3）除f（x）外，有时还用g（x），u（x），F（x），G（x）等符号表示函数. 【想一想】 1.在函数的概念中，如果函数y＝f（x）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ 提示：确定. 2.函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？ 提示：不能. 知识点二　同一个函数 前提条件 　定义域　相同 　对应关系　相同 结论 这两个函数是同一个函数 【想一想】 　定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数. 1.如图，不能表示函数关系的是（　　） 解析：C　由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数. 2.下列f：A→B是从集合A到集合B的一个函数的是（　　） A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D.A＝R，B＝{x｜x＞0}，f：A中的数取绝对值 解析：A　对于选项A，符合函数的概念，故A正确；对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数概念中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求，故B错误；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，不符合函数概念中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求，故C错误；对于选项D，集合A中的元素0取绝对值时对应元素0，而集合B中无元素和0对应，故D错误.故选A. 3.函数f（x）＝的定义域是（　　） A.{x｜x≠4} B.{x｜x＜4} C.{x｜x≤4} D.{x｜x＞4} 解析：B　由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}.故选B. 4.〔多选〕下列函数中，与函数y＝x2＋1是同一个函数的是（　　） A.y＝t2＋1 B.y＝x4＋1 C.y＝＋1 D.y＝＋1 解析：AC　对于A，y＝t2＋1与y＝x2＋1的解析式一致，定义域均为R，值域也相同，故A正确；对于B，y＝x4＋1与y＝x2＋1的解析式不一致，故B错误；对于C，y＝＋1＝x2＋1，y＝＋1与y＝x2＋1的解析式一致，定义域均为R，值域也相同，故C正确；对于D，y＝（）4＋1的定义域为[0，＋∞），y＝x2＋1的定义域为R，故D错误.故选A、C. 　　 题型一　函数概念的理解 （链接教科书第105页例1）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数： （1）A＝R，B＝{y｜y＞0}，f：x→y＝｜x｜； （2）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； （3）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； （4）A＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 解：（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. （2）对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数. （3）集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数. （4）对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 通性通法 1.判断对应关系是否为函数的2个条件 （1）A，B必须是非空数集； （2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 2.根据图形判断是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于x轴的直线l； （2）在定义域内平行移动直线l； （3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 提醒：对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系. 1.设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（　　） 解析：B　A中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以A不是；B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以C不是；D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是.故选B. 2.〔多选〕（2026·徐州质检）下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是（　　） A.A＝B＝R，f：x→y＝x2－2x＋1 B.A＝B＝N，f：x→y＝ C.A＝[0，＋∞），B＝R，f：x→y2＝2x D.A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1 解析：AD　对于A，因为y＝x2－2x＋1，所以对于A中任何一个元素x，在集合B中都有相对应的一个元素x2－2x＋1由x唯一确定，即y是x的函数，故A正确；对于B，因为1∈A，但∉B，即y不是x的函数，故B错误；对于C，当x＝2时，由y2＝4，解得y＝±2，即当x＝2时，一个x对应两个y，故y不是x的函数，故C错误；对于D，当集合A中任取一个元素时，集合B中都有唯一元素1与之对应，即y是x的函数，故D正确.故选A、D. 题型二　求具体函数的定义域 （链接教科书第105页例2）求下列函数的定义域： （1）f（x）＝＋； （2）g（x）＝. 解：（1）要使函数有意义，则解得x≥－1，且x≠1， 所以函数的定义域为{x｜x≥－1，且x≠1}. （2）由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2＞0，即x＞－2， 所以函数的定义域为{x｜x＞－2，且x≠－1}. 通性通法 求函数定义域的常用方法 （1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f（x）是由几个代数式运算构成的，则函数的定义域是使几个部分都有意义的x取值集合的交集； （5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 求下列函数的定义域： （1）y＝2＋； （2）y＝·； （3）y＝（x－1）0＋； （4）y＝. 解：（1）要使函数有意义，则x－2≠0，即x≠2，所以函数的定义域为{x｜x≠2}. （2）要使函数有意义，则解得1≤x≤3，所以函数的定义域为{x｜1≤x≤3}. （3）要使函数有意义，则解得x＞－1，且x≠1， 所以函数的定义域为{x｜x＞－1，且x≠1}. （4）要使函数有意义，则解得x≤5，且x≠±3， 所以函数的定义域为{x｜x≤5，且x≠±3}. 题型三　同一个函数的判定 （链接教科书第112页习题4题）〔多选〕下列各组函数中表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝｜x｜，g（t）＝ B.y＝，y＝（）2 C.y＝·，y＝ D.y＝，y＝x－3 解析：AC　A中，f（x）与g（t）的定义域相同，又g（t）＝＝｜t｜，即f（x）与g（t）的对应关系也相同，∴f（x）与g（t）是同一个函数；B中，y＝的定义域为R，y＝（）2的定义域为{x｜x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝（）2不是同一个函数；C中，y＝·的定义域为{x｜－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x｜－1≤x≤1}，即两者定义域相同.又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同.故y＝·与y＝是同一个函数；D中，∵y＝＝｜x－3｜与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是同一个函数.故选A、C. 通性通法 判断两个函数是否为同一个函数的步骤 提醒：（1）在化简解析式时，必须是等价变形；（2）与用哪个字母表示无关. （2026·宿迁期中）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A.y＝x与y＝ B.y＝x2与y＝x2，x∈[0，＋∞） C.y＝x与s＝t D.f（x）＝1与g（x）＝x0 解析：C　对于A，函数y＝x的定义域为R，函数y＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），两函数的定义域不同，所以两函数不是同一个函数，故A错误；对于B，函数y＝x2和y＝x2，x∈[0，＋∞）的定义域不同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；对于C，函数y＝x和s＝t的定义域都是R，两个函数的对应关系相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，函数f（x）＝1的定义域为R，函数g（x）＝x0的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），两函数的定义域不同，所以两函数不是同一个函数，故D错误.故选C. 1.（2026·沭阳期中）下列图形中，能表示y是x的函数关系的是（　　） 解析：D　根据函数的定义，对于A、B、C，存在一个x的值，y有两个值与之对应，不满足函数对应的唯一性，所以不满足函数关系；对于D，定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故D正确.故选D. 2.已知函数f（x）＝的定义域为（－∞，1]，则实数a＝　1　. 解析：由a－x≥0得x≤a，即f（x）的定义域为（－∞，a]，所以a＝1. 3.下列各组函数： ①f（x）＝，g（x）＝x－1；②f（x）＝，g（x）＝；③f（x）＝（x－1）2，g（t）＝t2－2t＋1；④f（x）＝x＋1，g（x）＝x＋x0.其中表示同一个函数的是　③　（填序号）. 解析：①f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数；②f（x）与g（x）的对应关系不同，不是同一个函数；③虽然表示自变量的字母不同，但f（x）与g（t）的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数；④f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数. 　　 1.如图，f：A→B表示从集合A到集合B的函数，若f（a）＝2，则a的值为（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.3 解析：C　由图可知，若f（a）＝2，则a＝1或2.故选C. 2.下列函数中定义域为R的是（　　） A.y＝ B.y＝（x－1）0 C.y＝ D.y＝x2＋3 解析：D　A中x≥0，B中x≠1，C中x≠0.故选D. 3.下列图形中，不能作为描述函数关系的是（　　） 解析：C　C选项中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故选C. 4.（2026·南通期中）函数f（x）＝的定义域为（　　） A.（－∞，4] B.（－∞，4） C.（－∞，1）∪（1，4] D.（－∞，1）∪（1，4） 解析：C　要使函数有意义，则解得x≤4且x≠1，因此函数f（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，4].故选C. 5.〔多选〕设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是（　　） A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0} 解析：ABC　由x2＝1得x＝±1，故集合A＝{1}或{－1}或{－1，1}.故选A、B、C. 6.〔多选〕下列各组函数是同一个函数的有（　　） A.y＝与y＝x B.y＝与y＝ C.y＝x与y＝ D.y＝x2＋2x－1与s＝t2＋2t－1 解析：AD　对于A，y＝＝＝x，所以y＝与y＝x是同一个函数，故A正确；对于B，y＝（）3的定义域是R，y＝（）4的定义域是[0，＋∞），所以不是同一个函数，故B错误；对于C，虽然y＝x与y＝的定义域都为R，但y＝＝｜x｜，它们的对应关系不同，所以不是同一个函数，故C错误；对于D，y＝x2＋2x－1与s＝t2＋2t－1的定义域、对应关系都相同，所以是同一个函数，故D正确.故选A、D. 7.函数f（x）＝的定义域为[2，5）∪（5，＋∞）. 解析：由题意得解得x≥2且x≠5，即定义域为[2，5）∪（5，＋∞）. 8.若函数f（x）与函数g（x）＝＋是同一个函数，则函数f（x）的定义域是　[2，3）∪（3，＋∞）　. 解析：由得x≥2且x≠3，故g（x）的定义域是[2，3）∪（3，＋∞），即为f（x）的定义域. 9.已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝｜x｜，其中能构成从M到N的函数的是　④　（填序号）. 解析：y＝x2时，M中的4在N中无元素与它对应；y＝x＋1时，M中的－1，2，4在N中无元素对应；y＝x－1时，M中的－1，1，4在N中无元素对应；只有y＝｜x｜是符合题意的对应关系. 10.求下列函数的定义域： （1）f（x）＝＋＋4； （2）f（x）＝. 解：（1）要使函数式有意义，必须满足 即所以≤x≤，所以函数的定义域为. （2）要使函数式有意义，必须满足即解得 所以函数的定义域为{x｜x＜0，且x≠－3}. 11.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 解析：D　由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况.故选D. 12.下列可以表示以M＝{x｜0≤x≤1}为定义域，以N＝{y｜0≤y≤1}为值域的函数图象是（　　） 解析：C　根据题意，依次分析选项：对于A，其对应函数的值域不是N＝{y｜0≤y≤1}，A错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的定义域为M＝{x｜0≤x≤1}，值域为N＝{y｜0≤y≤1}，C正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误.故选C. 13.函数y＝的定义域是　[－1，7]　. 解析：要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，故函数的定义域为[－1，7]. 14.若函数f（x）＝的定义域为R，求实数m的取值范围. 解：要使原函数有意义，必须满足mx2＋x＋3≠0， 由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立.当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f（x）的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意. 当m≠0时，有Δ＝12－12m＜0，解得m＞. 综上可知，m的取值范围是（，＋∞）. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $