4.2.2 第2课时 换底公式及对数的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“换底公式及对数的应用”核心知识点，系统梳理从对数基本概念到换底公式（log_a N = log_c N / log_c a）及四个常用推论的推导过程，搭建从基础对数运算到复杂求值、实际应用的学习支架，衔接前后知识逻辑。 该资料以问题驱动导入（如用lg2、lg3求log2 3），培养学生用数学眼光发现问题，通过一题多解（如log8 9×log27 32的三种解法）强化数学思维，结合碳14测定、围棋变化数等实例提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　换底公式及对数的应用 　　 　　利用计算器可以求出一些常用对数的值，例如：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1. 【问题】　（1）已知lg 2，lg 3的值，如何求log23的值（结果保留四位小数）？ （2）已知lg 2，lg 3的值，如何求log35的值（结果保留四位小数）？ 　 知识点　换底公式 1.换底公式 logaN＝　　（a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1）. 2.几个常用推论 （1）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，n≠0）； （2）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，m≠0，n∈R）； （3）logab＝（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）； （4）logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）. 提醒：（1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；（2）在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. 【想一想】 换底公式中底数c是特定数还是任意数？ 提示：c是大于0且不等于1的任意数. 1.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log62＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　log62＝＝＝.故选A. 2.＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　＝log39＝2.故选B. 3.log29×log32＝　　. 解析：log29×log32＝×＝＝2. 4.log48＝　　. 解析：log48＝lo23＝log22＝. 　 题型一　利用换底公式化简求值 〔一题多解〕（链接教科书第92页例8）求log89×log2732的值. 解：法一　log89×log2732＝×＝×＝. 法二　log89×log2732＝×＝×＝. 法三　log89×log2732＝lo32×lo25＝log23×log32＝×＝. 通性通法 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 1.〔一题多解〕计算：＝　　. 解析：法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即＝＝·＝. 法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即＝＝＝. 2.计算：＝　－　. 解析：原式＝lo×lo9＝lo×3lo32＝－log32×3log23＝－. 题型二　用已知对数表示其他对数 （链接教科书第99页13题）已知log23＝a，2b＝7，则log4256用a，b可表示为（　　） A. B. C. D. 解析：B　已知log23＝a，log27＝b，则log4256＝＝＝＝.故选B. 通性通法 用已知对数的值表示所求对数的值的注意点 （1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； （2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； （3）注意一些派生公式的使用. 已知10a＝2，lg 3＝b，则log320可用a，b表示为　　. 解析：由10a＝2可得a＝lg 2，所以log320＝log3（2×10）＝log32＋log310＝＋＝. 题型三　对数的实际应用 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：动植物死亡后，动植物的体内的14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.已知14C的半衰期是5 730年，即每经过5 730年，动植物的体内残留的14C含量衰减为原来的一半.位于连云港的藤花落遗址与夏朝处于一个年代，是我国迄今发现的首座内外城双重结构的城址，考古专家对现场的碳化稻米样本进行14C年代测定，检测出14C的残留量约为初始量的60％，则该遗址距今约（　　） （参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） A.3 200年　　　　 　 B.3 262年 C.3 386年 D.4 202年 解析：D　设时间经过了x年，则＝0.6，两边取以10为底的对数得，lg＝lg 0.6，即·lg＝lg 0.6，所以x＝5 730×＝5 730×≈5 730×＝4 202.故选D. 通性通法 关于对数运算在实际问题中的应用 （1）在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算； （2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是（lg 3≈0.477）（　　） A.10－37　　　　　　　 B.10－36 C.10－35 D.10－34 解析：B　根据题意，对取常用对数得lg ＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近. 1.（2026·沭阳期中）已知2m＝3n＝6，则＋＝（　　） A.－1 B.2 C.3 D.1 解析：D　由2m＝3n＝6得m＝log26，n＝log36，所以＋＝log62＋log63＝log66＝1.故选D. 2.〔多选〕下列等式成立的是（　　） A.log54＝　　　B.log916×log881＝ C.log54＝ D.lo＋lo＝－lg 3 解析：AB　由换底公式的定义知，A成立，C不成立；log916×log881＝×＝×＝，故B成立；lo＋lo＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝≠－lg 3，故D不成立.故选A、B. 3.log927＝　　. 解析：log927＝lo33＝log33＝. 4.已知2x＝3，log4＝y，求x＋2y的值. 解：因为x＝log23，y＝（log28－log23）＝（3－log23）， 所以x＋2y＝log23＋3－log23＝3. 　　 1.化简log612－2log6＝（　　） A.6 B.12 C.log6 D. 解析：C　原式＝log6－log62＝log6＝log6，故选C. 2.〔一题多解〕log29×log34＝（　　） A. B. C.2 D.4 解析：D　法一　原式＝×＝＝4. 法二　原式＝2log23×＝2×2＝4.故选D. 3.（2026·淮安期中）log218－4log43＝（　　） A.1 B.0 C.－log23 D.log23 解析：A　原式＝log218－4lo3＝log218－log23＝log218－log232＝log2＝log22＝1.故选A. 4.设log23·log36·log6m＝log4（2m＋8），则m＝（　　） A.2 B.4 C.8 D.－2或4 解析：B　原等式左边＝××＝＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2（舍去）.故选B. 5.〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　） A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb C.2lg a＋2lg b＝2lg（ab） D.2lg（ab）＝2lg a·2lg b 解析：BD　log24×log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg（ab）＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误. 6.〔多选〕若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有（　　） A.＋＝2 B.＋＝lg 20 C.＋＝lg 50 D.＋＝ 解析：BC　a＝log210，b＝log510，A中，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A不正确；B中，＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；C和D中，＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C正确，D错误.故选B、C. 7.（2026·淮安期中）已知lg 2＝a，lg 15＝b，则log23＝　　（用含有a，b式子表示）. 解析：因为lg 15＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋1－lg 2，所以lg 3＝a＋b－1，所以log23＝＝. 8.（2026·扬州期中）已知a＞2且＋＝5，则a＝　9　. 解析：因为＋＝5，根据换底公式得loga9＋＝5，即2loga3＋＝5，即2－5loga3＋2＝0，解得loga3＝或loga3＝2，即＝3或a2＝3，解得a＝9或a＝，又a＞2，所以a＝9. 9.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc＝　1　. 解析：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1. 10.计算下列各式的值： （1）log535＋2lo－log5－log514； （2）〔一题多解〕（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）. 解：（1）原式＝log535＋log550－log514＋2lo ＝log5＋lo2 ＝log553－1＝2. （2）法一　原式＝（log253＋＋）·（log52＋＋） ＝（3log25＋＋）（log52＋＋） ＝（3＋1＋）log25·3log52＝13log25·＝13. 法二　原式＝（＋＋）·（＋＋）＝（＋＋）（＋＋）＝·＝13. 11.已知lg a＋b＝－2，ab＝10，则a＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：A　由题设知b＝loga10＝，则lg a＋＝－2且a＞0，所以lg2a＋2lg a＋1＝（lg a＋1）2＝0，即lg a＝－1，故a＝. 12.〔多选〕已知2a＝3，b＝log32，则（　　） A.ab＝1 B.a＋b＞2 C.3b＋3－b＝ D.＝log912 解析：ABD　∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23×log32＝1，故A正确；a＋b＞2＝2，故B正确；3b＋3－b＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正确.故选A、B、D. 13.已知正实数u，v，w均不等于1，若loguvw＋logvw＝5，logvu＋logwv＝3，则loguv·logvw＝　　. 解析：令loguv＝a，logvw＝b，则logvu＝，logwv＝，则loguvw＝loguv＋loguv·logvw＝a＋ab，即a＋ab＋b＝5，＋＝3，则ab＝，所以loguv·logvw＝. 14.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区. （1）试列出分贝y与声压P的函数关系式； （2）某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ 解：（1）由已知得y＝20lg （其中P0＝2×10－5）. （2）当P＝0.002 时，y＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）. 由已知条件知40分贝小于60分贝， 所以此地为噪音无害区，声音环境优良. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $