4.2.1 对数的概念-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“对数的概念”核心知识点，系统梳理对数定义（a^b=N则b=log_aN）、常用对数（lg）、自然对数（ln）及基本性质，通过指数运算逆问题（细胞分裂求次数）构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动设计，细胞分裂实例引发认知冲突，“想一想”环节澄清对数式整体性，题型分类配通性通法，培养数学抽象与逻辑推理。课中辅助分层教学，课后例题解析与练习助学生巩固运算能力，查漏补缺。

4.2　对数 4.2.1　对数的概念 课标 要求 1.理解对数、常用对数、自然对数的概念（数学抽象）. 2.会进行对数式与指数式的互化（数学抽象、逻辑推理）. 3.会求简单的对数值（数学运算）. 　　 　　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…. 【问题】　（1）依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？ （2）若已知细胞分裂后的个数N，怎样求分裂的次数呢？ 　 知识点　对数的概念 1.对数的概念 一般地，如果ab＝N（a＞0，a≠1），那么就称b是　以a为底N的对数　，记作　logaN＝b　，其中，a叫作对数的　底数　，N叫作　真数　. 提醒：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且a≠1）： ①指数运算和对数运算互为逆运算；②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键. 2.常用对数与自然对数 3.对数的基本性质 （1）负数和0没有对数； （2）loga1＝　0　（a＞0，且a≠1）； （3）logaa＝　1　（a＞0，且a≠1）； （4）logaab＝　b　（a＞0，且a≠1，b∈R）； （5）＝　N　（a＞0，且a≠1，N＞0）. 【想一想】 对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数. 1.若a2＝M（a＞0，且a≠1），则其对数式为（　　） A.loga2＝M B.logaM＝2 C.logM2＝a D.logMa＝2 答案：B 2.下列说法正确的有（　　） A.对数式log32与log23的意义一样 B.lg 10＝0 C.若ln N＝，则N＝（）e D.若log2x＝3，则x＝8 解析：D　对于A，log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，故A错误；对于B，lg 10＝1，故B错误；对于C，ln N＝，则N＝，故C错误；对于D，x＝23＝8，故D正确. 3.2－3＝化为对数式为（　　） A.lo2＝－3 B.lo（－3）＝2 C.log2＝－3 D.log2（－3）＝ 解析：C　根据对数的定义知选C. 4.若log3＝0，则x＝　3　；若＝36，则x＝　7　. 解析：由＝1得，x＝3；由＝36得，5x＋1＝36，解得x＝7. 　　 题型一　对数的概念 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.只有正数有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以5为底25的对数等于2 D.使log2（x－1）有意义的x的范围为（1，＋∞） 解析：ACD　由对数的概念及基本性质可得，A正确；B错误，如（－2）2＝4就不能化成对数式；由log525＝log552＝2，C正确；由x－1＞0，得x＞1，log2（x－1）有意义，D正确.故选A、C、D. 通性通法 对数式有意义的判断问题 　　利用式子logab⇒求字母的范围. 使式子log（2x－1）（2－x）有意义的x的取值范围为（，1）∪（1，2）. 解析：由题意得解得＜x＜2，且x≠1， 所以x的取值范围为（，1）∪（1，2）. 题型二　指数式与对数式的互化 （1）（链接教科书第87页例1）将下列指数式化为对数式： ①53＝125；②3－2＝；③4a＝20；④（）b＝0.45. （2）（链接教科书第88页例2）将下列对数式化为指数式： ①log264＝6；②lo2＝－2； ③ln a＝－1.699；④lg 0.01＝－2. 解：（1）①因为53＝125，所以log5125＝3. ②因为3－2＝，所以log3＝－2. ③因为4a＝20，所以log420＝a. ④因为（）b＝0.45，所以lo0.45＝b. （2）①因为log264＝6，所以26＝64. ②因为lo2＝－2，所以（）－2＝2. ③因为ln a＝－1.699，所以e－1.699＝a. ④因为lg 0.01＝－2，所以10－2＝0.01. 通性通法 指数式与对数式互化的方法 （1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； （2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）＝4；（2）3－3＝； （3）loa＝6；（4）log55＝1. 解：（1）因为＝4，所以log84＝. （2）因为3－3＝，所以log3＝－3. （3）因为loa＝6，所以（）6＝a. （4）因为log55＝1，所以51＝5. 题型三　对数的计算 （链接教科书第88页例3）求下列各式的值： （1）log464；（2）log27；（3）lg 100；（4）ln e2. 解：（1）设x＝log464，可得4x＝64，即4x＝43，得x＝3，所以log464＝3. （2）设x＝log27，可得27x＝，即33x＝3－2，得x＝－，所以log27＝－. （3）设x＝lg 100，可得10x＝100＝102，所以x＝2，所以lg 100＝2. （4）设x＝ln e2，可得ex＝e2，所以x＝2，所以ln e2＝2. 通性通法 利用指数式与对数式的互化求值的策略 （1）已知底数与指数，用指数式求幂； （2）已知指数与幂，用指数式求底数； （3）已知底数与幂，利用对数式表示指数. 求下列各式中x的值： （1）logx27＝；（2）log2x＝－；（3）x＝log8. 解：（1）由logx27＝，可得＝27， ∴x＝2＝＝32＝9. （2）由log2x＝－，可得x＝， ∴x＝＝＝. （3）由x＝log8，可得8x＝， ∴23x＝2－1，∴x＝－. 题型四　利用对数基本性质求值 求下列各式中x的值： （1）log2（log5x）＝0； （2）log3（lg x）＝1； （3）log3（log4（log5x））＝0； （4）＝x. 解：（1）∵log2（log5x）＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. （2）∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. （3）由log3（log4（log5x））＝0可得log4（log5x）＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625. （4）x＝＝32×＝9×5＝45. 通性通法 利用对数基本性质求值的两类常见类型 （1）求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga（logbc）的值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值； （2）已知含未知数的对数式的值，求未知量的值，应逆用对数的基本性质，逐步脱去“log”后再求解. 1.＋2log31－3log77＋3ln 1＝　0　. 解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 2.若lo（）x＝2，则x＝　2　. 解析：由logaab＝b，则lo（）x＝x，由已知可得x＝2. 1.方程＝的解是（　　） A.9　　　B. C.　　　D. 解析：D　∵＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.故选D. 2.若log（a－1）（5－a）有意义，则实数a的取值范围是（1，2）∪（2，5）. 解析：要使log（a－1）（5－a）有意义，则即解得1＜a＜2或2＜a＜5，即实数a的取值范围是（1，2）∪（2，5）. 3.求下列各式中x的值： （1）log2x＝－；（2）logx25＝2；（3）log5x2＝2. 解：（1）由log2x＝－，得＝x， ∴x＝. （2）由logx25＝2，得x2＝25. ∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. （3）由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. 　　 1.将＝9写成对数式正确的是（　　） A.log9＝－2 B.lo9＝－2 C.lo（－2）＝9 D.log9（－2）＝ 解析：B　根据对数的定义，得lo9＝－2，故选B. 2.若logx＝－3，则x＝（　　） A.2 B. C.－2 D.－ 解析：A　∵logx＝－3，∴x－3＝，x3＝8，∴x＝2.故选A. 3.在M＝log（x－3）（x＋1）中，要使式子有意义，则x的取值范围为（　　） A.（－∞，3] B.（3，4）∪（4，＋∞） C.（4，＋∞） D.（3，4） 解析：B　由对数的概念可得解得3＜x＜4或x＞4. 4.已知log7[log3（log2x）]＝0，那么＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由条件，知log3（log2x）＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以＝＝＝＝.故选C. 5.〔多选〕下列指数式与对数式的互化正确的有（　　） A.e0＝1与ln 1＝0 B.log39＝2与＝3 C.＝与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 解析：ACD　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A、C、D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.log24＝2 B.lg 10＝1 C.＝2 D.－ln e＝1 解析：ABC　根据对数的性质可知，log24＝2，lg 10＝1，＝2，－ln e＝－1，故A、B、C正确，D错误. 7.若log3＝1，则x＝　6　. 解析：∵log3＝1，∴＝3，即2x－3＝9，解得x＝6. 8.若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝　27　. 解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵logy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 9.已知lo（3x2＋2x－1）＝1，则x＝　－2　. 解析：∵lo（3x2＋2x－1）＝1，∴解得x＝－2. 10.计算下列各式的值. （1）lo（2－）； （2）log927； （3）设a＝log32，求的值. 解：（1）lo（2－）＝lo（2＋）－1＝－1. （2）log927＝log933＝log9＝. （3）∵a＝log32，∴3a＝2， ∴＝＝＝. 11.对于a＞0且a≠1，下列说法正确的是（　　） A.若M＝N，则logaM＝logaN B.若logaM＝logaN，则M＝N C.若logaM2＝logaN2，则M＝N D.若M＝N，则logaM2＝logaN2 解析：B　A中，因为零和负数没有对数，所以当M＝N≤0时，M、N没有对数，故A错误；B中，由logaM＝logaN知M＝N＞0，故B正确；C中，由logaM2＝logaN2知M2＝N2＞0，所以M＝±N≠0，故C错误；D中，当M＝N＝0时，M、N没有对数，故D错误.故选B. 12.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2（1＋）”，其中W是信道带宽（单位：赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（单位：瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（单位：瓦），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60％，则λ的值大约为（参考数据：100.2≈1.58）（　　） A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512 解析：C　由题意得≈60％，则≈1.6，即1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，所以λ≈1 579. 13.（1）＝　2　； （2）若lg（x2－1）＝lg（2x＋2），则x＝　3　. 解析：（1）＝（32＝＝2. （2）∵lg（x2－1）＝lg（2x＋2），∴解得x＝3. 14.（1）已知关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集中只有一个元素，求a的值； （2）设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，若log16（a＋b－c）＝，log5（2a＋b－c）＝1，求a，b，c的值； （3）若x满足（log2x）2－2log2x－3＝0，求x的值. 解：（1）因为关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集中只有一个元素，则一元二次方程x2＋2x＋loga＝0有两个相等的实数根，即Δ＝4－4loga＝0，解得loga＝1，所以a＝. （2）因为log16（a＋b－c）＝， 所以a＋b－c＝2. ① 因为log5（2a＋b－c）＝1， 所以2a＋b－c＝5. ② 由②－①得a＝3， 将a＝3代入①得c－b＝1， 又因为a2＋b2＝c2，所以b＝4，c＝5. 综上，a＝3，b＝4，c＝5. （3）设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0， 解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1， 所以x＝23＝8或x＝2－1＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $