4.1.1 根式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第4章 指数与对数 1 4.1 指 数 4.1.1 根 式 2 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派 中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线的长 度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕 索斯的发现使数学史上第一个无理数 诞生. 返回导航 新课导入 3 1.理解 次方根和根式的概念，掌握根式的性质. 2.能利用根式的性质对根式进行运算. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 次方根的概念 思考1 由和，我们可得到9的平方根是什么？由 以及我们可以得到125和 的立方根分别是什么？ 提示 9的平方根是3和，125的立方根是5，的立方根是 . 思考2 实数 的平方根都是互为相反数吗？立方根呢？ 提示 当实数时，没有平方根，当实数 时，平方根是0，当实数 时，有一对互为相反数的平方根；任何实数都有唯一的立方根. 返回导航 7 ［知识梳理］ 概念 一般地,如果,那么称为 的①_________ 性质 是奇数 仅有一个值,记为②____ 是偶数 有两个值,且互为相反数,记为③______ 在实数范围内不存在 次方根 返回导航 8 ［例1］ （1）已知，则 ( ) A. B. C. D. 解析：因为，所以 是2的10次方根.又因为10是偶数，所以2的10 次方根有两个，且互为相反数.所以 . （2）16的平方根为____， 的5次方根为_______. 解析：因为，所以16的平方根为的5次方根为 . √ 返回导航 9 <m></m>次方根概念的注意点 （1）方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次 方根只有一个. （2）符号：<m></m>的符号由根指数<m></m>的奇偶性及被开方数<m></m>的符号共同确定. ①当<m></m>为偶数，且<m></m>时，<m></m>为非负实数； ②当<m></m>为奇数时，<m></m>的符号与<m></m>的符号一致. 返回导航 10 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列说法正确的是( ) A.16的4次方根是2 B.的运算结果是 C.当为大于1的奇数时，对任意 都有意义 D.当为大于1的偶数时，只有当 时才有意义 解析：选. 16的4次方根应是，，故A，B错误；由 次方根 的概念及性质知C，D正确. √ √ 返回导航 11 （2）若有意义，则实数 的取值范围是________. 解析：因为有意义，所以，所以，即实数 的取值 范围是 . 返回导航 12 二 根式的概念和性质 ［知识梳理］ 1.概念：式子①____叫作根式,其中叫作②________, 叫作③__________. 根指数 被开方数 2.性质：对于， ， 当为奇数时， ④___； 当 为偶数时， ⑤___, , ⑥___, - 返回导航 13 ［例2］ （对接教材例1）求下列各式的值： （1） ； 【解】 . （2） ； 解： . （3） . 解： 返回导航 14 正确区分与 （1）已暗含了有意义,依据的奇偶性可知 的取值范围. （2）中的可以是全体实数,的值取决于 的奇偶性. 返回导航 15 ［跟踪训练2］ 化简下列各式： （1） ; 解：原式 . （2） . 解： 返回导航 16 三 有限制条件的根式的化简 ［例3］ 若，化简 . 【解】 ， 当 时， 原式 . 当 时， 返回导航 17 原式 . 综上，原式 返回导航 18 母题探究 将本例中条件“”改为“ ”,则结果又是什么？ 解：原式 . 因为 , 所以, , 所以原式 . 返回导航 19 有限制条件的根式的化简 （1）有限制条件的根式的化简是指被开方数或被开方的表达式可以通过 配方、拆分等方式进行化简. （2）有限制条件的根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在 利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 返回导航 20 ［跟踪训练3］ （1）当 有意义时，化简 的结果是( ) A. B. C. D. 解析：选C.当有意义时，满足,解得 . 所以, . 所以 . √ 返回导航 21 （2）若，则 的化简结果是___. 1 解析：原式，因为 ，所以原式 . 返回导航 22 PART 02 课堂巩固 自测 23 1.已知 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A. B. C. D. 2.（教材（1）改编）若，则 的化简结果是( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为，所以 .所以 . √ √ 返回导航 24 3.若,则使 成立的条件可能是( ) A., B., C., D., 解析：选B.因为,所以 . 又因为,所以 .故选B. 4.若,则 的化简结果是_________. 解析：原式 , 因为,所以 , 所以原式 . √ 返回导航 25 5.使等式成立的实数 的取值范围是 ________. 解析： ， 要使 成立， 需解得 . 返回导航 26 1.已学习：（1） 次方根的概念、表示与性质； （2）根式的概念和性质. 2.须贯通：正确运用根式的概念及运算性质，化简求值. 3.应注意：（1）注意与 的区别； （2）一个数到底有没有次方根，要分 为奇数或偶数这两种情况讨论. 返回导航 27 $