3.3.2 第2课时 一元二次不等式的综合问题-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦一元二次不等式的综合问题，系统梳理含参一元二次不等式的解法，从讨论两根大小、判别式符号到二次项系数符号逐步深入，结合实际应用案例，构建从基础解法到综合应用的学习支架。 资料通过分类讨论培养学生逻辑推理（数学思维），实际问题（如摩托车利润、凉亭设计）引导用数学眼光观察现实，建立模型（数学语言）。课中例题解析与通性通法总结助力教师授课，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺。

第2课时　一元二次不等式的综合问题 　　 题型一　含参一元二次不等式的解法 角度1　讨论两根的大小 解关于x的不等式：x2＋（1－a）x－a＜0. 解：方程x2＋（1－a）x－a＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝a. 又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上， 当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 综上所述，当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 通性通法 根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解 （1）若一元二次不等式可因式分解，则将一元二次不等式因式分解或求出一元二次不等式对应方程的根； （2）比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； （3）写出不等式的解集. 角度2　讨论判别式的符号 解关于x的不等式：x2＋ax－a≥0. 解：①当Δ＝a2＋4a＝0，即a＝0或a＝－4时， 由函数y＝x2＋ax－a的图象开口向上，故不等式x2＋ax－a≥0的解集为R. ②当Δ＝a2＋4a＜0，即－4＜a＜0时，x2＋ax－a＞0恒成立，所以解集为R. ③当Δ＝a2＋4a＞0，即a＜－4或a＞0时， 由x2＋ax－a＝0，解得x＝或x＝， 不等式的解集为{x｜x≤或x≥}. 综上所述，当－4≤a≤0时，不等式的解集为R， 当a＜－4或a＞0时，不等式的解集为{x｜x≤或x≥}. 通性通法 根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解 （1）若二次项系数不含参数且不能因式分解时，先求出一元二次不等式所对应方程的判别式； （2）讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集； （3）写出不等式的解集. 角度3　讨论二次项系数的符号 解关于x的不等式：ax2－（a＋1）x＋1＜0. 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1. ②当a＜0时，原不等式化为（x－）（x－1）＞0，解得x＜或x＞1. ③当a＞0时，原不等式化为（x－）（x－1）＜0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1； 若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}； 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x}； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为{x＜x＜1}. 通性通法 　　根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解 　　二次项系数若含有参数，应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式，然后再进行求解. 　解关于x的不等式：ax2－2ax＋2≤0（a≥0）. 解：（1）当a＝0时，原不等式即为2≤0，无解； （2）当a＞0时，Δ＝4a2－8a， ①当Δ＝0，即4a2－8a＝0，得a＝2，原不等式对应的方程有两个相等的实根. 当a＝2时，原不等式的解集为{x｜x＝1}. ②当Δ＜0，即0＜a＜2时，原不等式无解. ③当Δ＞0，即a＞2时，原不等式对应的方程有两个不相等的实根， x1＝，x2＝，且x1＜x2， 所以不等式的 解集为{x｜≤x≤}. 综上，当0≤a＜2时，原不等式的解集为⌀； 当a＝2时，原不等式的解集为{x｜x＝1}. 当a＞2时，原不等式的解集为{x｜≤x≤}. 题型二　一元二次不等式的实际应用 （链接教科书第67页例3）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式组，得0＜x＜， 所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. 通性通法 利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数； （2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案. 　如图，在某住宅小区的Rt△ABC区域内，修建一地面为矩形AMPQ的凉亭供小区居民休闲.测得AB＝8 m，AC＝6 m，要使修建的凉亭占地面积不小于9 m2，该怎样设计？ 解：设AM＝x m，PM＝y m，0＜x＜8，0＜y＜6. 则由PM∥CA得， ＝，所以y＝（8－x）. 由题意得 解得所以2≤x≤6. 所以当矩形AMPQ的边为2≤AM≤6 m时，满足设计要求. 1.〔多选〕对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式（x－a）（x－2）＜0的解集可能为（　　） A.（－∞，2）∪（a，＋∞） B.（－∞，a）∪（2，＋∞） C.（a，2） D.⌀ 解析：CD　当a＜2时，此不等式的解集为（a，2）；当a＝2时，此不等式的解集为⌀；当a＞2时，此不等式的解集为（2，a）.故选C、D. 2.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2（0＜x＜240），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　） A.50 B.100 C.150 D.200 解析：C　依题意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200（舍去）.因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台.故选C. 3.若集合A＝{x｜ax2－ax＋1＜0}＝⌀，则实数a的取值范围是{a｜0≤a≤4}. 解析：①若a＝0，则1＜0不成立，此时不等式ax2－ax＋1＜0的解集为空集；②若a≠0，则解得0＜a≤4.综上，0≤a≤4. 4.解关于x的不等式x2－ax＋4＞0. 解：Δ＝a2－16，当Δ＜0，即－4＜a＜4时，不等式x2－ax＋4＞0的解集为R. 当Δ＝0，即a＝±4时，原不等式对应的方程有两个相等的实根， 当a＝4时，原不等式的解集为{x｜x≠2}. 当a＝－4时，原不等式的解集为{x｜x≠－2}. 当Δ＞0，即a＜－4或a＞4时，原不等式对应的方程有两个不相等实根， x1＝，x2＝，且x1＞x2， 所以原不等式的解集为{x｜x＜或x＞}. 综上，当－4＜a＜4时，不等式的解集为R； 当a＝－4时，不等式的解集为{x｜x≠－2}； 当a＝4时，不等式的解集为{x｜x≠2}； 当a＜－4或a＞4时，不等式的解集为{x｜x＜或x＞}. 　　 1.若0＜t＜1，则不等式（x－t）（x－）＜0的解集为（　　） A.{x｜＜x＜t} B.{x｜x＞或x＜t} C.{x｜x＜或x＞t} D.{x｜t＜x＜} 解析：D　当t∈（0，1）时，t＜，∴解集为{x｜t＜x＜}.故选D. 2.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为{x｜＜x＜2}，则m的取值范围为（　　） A.（－∞，0） B.（0，） C.（0，2） D.（2，＋∞） 解析：A　由题意知m＜0，∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为{x｜＜x＜2}，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是（－∞，0）. 3.某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　） A.{x｜10＜x＜20} B.{x｜15≤x＜20} C.{x｜15＜x＜20} D.{x｜10≤x＜20} 解析：B　由题意可知x[30－2（x－15）]＞400，则－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0，∴（x－10）（x－20）＜0，解得10＜x＜20.又∵每盏最低售价为15元，∴15≤x＜20.故选B. 4.不等式mx2－ax－1＞0（m＞0）的解集可能是（　　） A.{x｜－＜x＜} B.R C.{x｜x＜－1或x＞} D.⌀ 解析：C　因为Δ＝a2＋4m＞0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点.又m＞0，所以原不等式的解集不可能是A、B、D，故选C. 5.〔多选〕关于实数x的不等式a（x－a）（x＋1）＞0（a∈R）的解集可能是（　　） A.{x｜x＜－1或x＞a} B.R C.{x｜－1＜x＜a} D.{x｜a＜x＜－1} 解析：ACD　当a＞0时，不等式a（x－a）·（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＞0，解得x＞a或x＜－1；当a＝0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为0＞0，此时不等式的解集为⌀；当－1＜a＜0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x－a）·（x＋1）＜0，解得－1＜x＜a；当a＝－1时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x＋1）2＜0，此时不等式的解集为⌀；当a＜－1时，不等式a（x－a）·（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＜0，解得a＜x＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.故选A、C、D. 6.〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　） A.不等式的解集可以是{x｜x＞3} B.不等式的解集可以是R C.不等式的解集可以是⌀ D.不等式的解集可以是{x｜－1＜x＜3} 解析：BD　选项A，假设结论成立，则无解，故选项A错误；选项B，当a＝1，b＝0时，不等式x2＋3＞0恒成立，则解集是R，故选项B正确；选项C，若不等式的解集是⌀，则a＜0且Δ＝b2－12a≤0，而a＜0时，Δ＝b2－12a＞0，所以不等式的解集不可能是⌀，故选项C错误；选项D，假设结论成立，则解得符合题意，故选项D正确.故选B、D. 7.当a＜0时，关于x的不等式42x2＋ax－a2＜0的解集为（，－）. 解析：因为42x2＋ax－a2＜0，所以（7x－a）（6x＋a）＜0.因为a＜0，所以－＞，则原不等式的解集为（，－）. 8.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（单位：件）（x∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝100＋30x（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少是　10　. 解析：由题意，设该厂日获利为y元，则y＝（160－2x）x－（100＋30x）＝－2x2＋130x－100，当工厂日获利不少于1 000元时，即－2x2＋130x－100≥1 000，即x2－65x＋550≤0⇔（x－10）（x－55）≤0，解得10≤x≤55.故该厂日产量最少是10. 9.已知a，b，c是常数，若不等式ax2＋bx－c＞0的解集是{x｜1＜x＜2}，则不等式bx（ax＋c）＞0的解集是　（0，2）　. 解析：因为不等式ax2＋bx－c＞0的解集是{x｜1＜x＜2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－c＝0的两根，由根与系数的关系可得b＝－3a，c＝－2a.于是不等式bx（ax＋c）＞0可化为－3ax（ax－2a）＞0，所以x（x－2）＜0，解得0＜x＜2，所以不等式bx（ax＋c）＞0的解集是（0，2）. 10.解关于x的不等式：x2－（a＋a2）x＋a3＞0（a∈R）. 解：原不等式可化为（x－a）（x－a2）＞0， 当a＜a2，即a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}； 当a2＝a，即a＝0或a＝1时，原不等式的解集为{x｜x≠a，x∈R}； 当a2＜a，即0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＜a2或x＞a}. 综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x｜x≠1，x∈R}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x≠0，x∈R}. 11.（2026·镇江期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速80 km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于42 m，乙车的刹车距离略超过36 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则（　　） A.甲、乙两车均超过规定限速 B.甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C.甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D.甲、乙两车均未超过规定限速 解析：B　因为甲车的刹车距离小于42 m且s甲＝0.1x＋0.01x2，所以0.1x＋0.01x2＜42，得到0＜x＜60；因为乙车的刹车距离略超过36 m且s乙＝0.05x＋0.005x2，所以0.05x＋0.005x2＞36，得到x＞80，所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.故选B. 12.〔多选〕对于给定的实数a，关于实数x的不等式a（x－a）（ax＋a）≥0的解集可能为（　　） A.R B.{x｜x≤－1或x≥a} C.{x｜x≤a或x≥－1} D.⌀ 解析：ABC　因为a（x－a）（ax＋a）≥0⇒a2（x－a）·（x＋1）≥0，①当a＝0时，不等式的解集为R.②当a≠0时，不等式变为（x－a）（x＋1）≥0，方程（x－a）（x＋1）＝0的根为x＝a或x＝－1，当a＜－1时，不等式的解集为{x｜x≤a或x≥－1}，当a＝－1时，不等式的解集为R，当a＞－1且a≠0时，不等式的解集为{x｜x≤－1或x≥a}，综上所述，当a＝0或a＝－1时，不等式的解集为R，当a＜－1时，不等式的解集为{x｜x≤a或x≥－1}，当a＞－1且a≠0时，不等式的解集为{x｜x≤－1或x≥a}.故选A、B、C. 13.已知不等式（m＋1）x2－mx＋m－1＜0的解集非空，则实数m的取值范围是{m｜m＜}. 解析：当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为x－2＜0，解得x＜2，满足题意；当m＋1＞0，即m＞－1时，不等式（m＋1）x2－mx＋m－1＜0的解集非空，只需Δ＝m2－4（m＋1）（m－1）＞0，解得－1＜m＜；当m＋1＜0，即m＜－1时，不等式（m＋1）x2－mx＋m－1＜0解集非空一定成立.综上，实数m的取值范围为{m｜m＜}. 14.已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a＜0. 解：（1）若a＝0，则原不等式为－2x＜0，故不等式的解集为{x｜x＞0}. （2）若a＞0，易知Δ＝4－4a2. ①当Δ＞0，即0＜a＜1时，方程ax2－2x＋a＝0的两实根分别为x1＝，x2＝， ∴原不等式的解集为{x｜＜x＜}. ②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为⌀. ③当Δ＜0，即a＞1时，原不等式的解集为⌀. （3）若a＜0，易知Δ＝4－4a2. ①当Δ＞0，即－1＜a＜0时，原不等式的解集为 {x｜x＜或x＞}. ②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式化为（x＋1）2＞0， ∴原不等式的解集为{x｜x∈R且x≠－1}. ③当Δ＜0，即a＜－1时，原不等式的解集为R. 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为⌀； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜＜x＜}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x＞0}； 当－1＜a＜0时，原不等式的解集为{x｜x＜或x＞}； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x｜x∈R且x≠－1}； 当a＜－1时，原不等式的解集为R. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $