第3章 3.3.2 第1课时 一元二次不等式的解法（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，涵盖概念、不含参数及含参数解法。通过园艺师围矩形的实际问题导入，关联一元一次不等式与函数、方程的关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数形结合和分类讨论为核心，通过函数图象与解集对应表、含参不等式多情境探究，培养数学眼光（抽象实际问题）和数学思维（逻辑推理）。实例丰富如跟踪训练，学生能提升解题能力，教师可直接用于教学提高效率。

第1课时 一元二次不等式的解法 第3章　§3.3　3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 <<< 1.从函数观点看一元二次不等式,了解一元二次不等式的意义. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 学习目标 通过前面的学习,我们知道一元一次不等式的解集和一元一次方程的解、一次函数的图象有关系,那么一元二次方程、二次函数和怎样的不等式有关系呢？如何求这一类不等式的解集呢？带着这个问题,我们开始这节课的学习. 导 语 一、一元二次不等式的概念 二、不含参数的一元二次不等式的解法 课时对点练 三、含参的一元二次不等式的解法 内容索引 一元二次不等式的概念 一 提示　设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x)m. 由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0<x<12}. 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长要满足什么条件？ 问题1 定义 只含有一个 ,并且未知数最高次数是 的整式不等式,叫作一元二次不等式 一般 形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数 一元二次不等式的概念 未知数 2 知识梳理 一元二次不等式一般形式中,应注意二次项系数a≠0. 注 意 点 <<< 8 　　下列不等式中是一元二次不等式的为 A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0 C.-x2-3x<0 D.>0 √ 由一元二次不等式定义可知,C正确. 解析 例 1 9 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式,但需要注意,二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母,且已经指定了未知数,可将其余字母看成相应的系数,若该未知数的最高次数是2,且二次项的系数不为0,这样的不等式也是一元二次不等式. 反 思 感 悟 10 若把ab≠0,a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式,则a的二次项系数为　　　. 由ab≠0知,b≠0且a≠0, a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0, 故a的二次项系数为b. 解析 跟踪训练 1 b 11 二 不含参数的一元二次不等式的解法 提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根. 二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？ 问题2 提示　从图象上看,位于x轴下方的图象使得函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}. 你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找出x2-12x+20<0的解集吗？ 问题3 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象       方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 知识梳理 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 _______________ ______________________ __ ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ______ __ __ (-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ R (x1,x2) ∅ ∅ (1)当a>0时,若不等式对应的一元二次方程能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合(区间)的形式,若不等式无解,则解集为空集. 注 意 点 <<< 16 (课本例1)解下列不等式： (1)x2-7x+12>0； 例 2 方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4. 根据y=x2-7x+12的图象如图(1),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}. 解 17 (2)-x2-2x+3≥0； 不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0. 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1. 根据y=x2+2x-3的图象如图(2),可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}. 解 18 (3)x2-2x+1<0； 方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1. 根据y=x2-2x+1的图象如图(3),可得原不等式的解集为∅. 解 19 (4)x2-2x+2>0. 因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解. 根据y=x2-2x+2的图象如图(4),可得原不等式的解集为R. 解 20 解下列不等式： (1)-2x2+x-6<0； 例 2 原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图所示).观察图象可得,原不等式的解集为R. 解 21 (2)-x2+6x-9≥0； 原不等式可化为x2-6x+9≤0, 即(x-3)2≤0, 函数y=(x-3)2的图象如图所示, 根据图象可得,原不等式的解集为{x|x=3}. 解 22 (3)x2-2x-3>0. 方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 解 23 一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)； ②判断方程ax2+bx+c=0(a>0)的情况,若有根,则求根,并画出对应函数y=ax2+bx+c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解,当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m；若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n. 反 思 感 悟 24 解下列不等式： (1)x2-5x-6>0； 跟踪训练 2 方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. 解 25 (2)(2-x)(x+3)<0. 原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象(图略)知, 原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. 解 26 含参的一元二次不等式的解法 三 求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 例 3 易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1,x2=a+3,且x1<x2. 故不等式的解集为{x|x<a-1或x>a+3}. 解 28 若将例3中的不等式改成[x+(a-1)]·[x-(a+3)]>0(a∈R), 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？ 延伸探究 1 29 易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a,x2=a+3, (1)当1-a>a+3,即a<-1时, 不等式的解集为{x|x>1-a或x<a+3}. (2)当1-a=a+3,即a=-1时, 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1-a<a+3,即a>-1时, 不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}. 显然,由于x1与 x2的大小关系不确定,我们需要比较两个根的大小来确定解集,过程变复杂了. 解 30 若将延伸探究1中的不等式改成(ax-2)(x+1)>0(a>0), 该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？ 延伸探究 2 易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1, 因为a>0,所以>-1, 故不等式的解集为. 由于x1与 x2的大小关系能确定,过程变简单了. 解 31 若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”, 该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？ 延伸探究 3 32 易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1, 当a<0时,x1=x2=-1的大小关系不确定,需要讨论比较其大小,分3种情况： (1)当-1<<0,即a<-2时,解得-1<x<； (2)当=-1,即a=-2时,无解； (3)当<-1,即-2<a<0时,解得<x<-1. 解 33 综上所述,当-2<a<0时,不等式的解集为； 当a=-2时,不等式的解集为∅； 当a<-2时,不等式的解集为. 显然,由于x1与 x2的大小关系不确定,我们需要比较两个根的大小来确定解集,过程变复杂了. 解 34 若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”,该如何求解呢？ 延伸探究 4 35 易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1, 下面讨论x1与 x2的大小关系： (1)若a>0,则>-1, 故不等式的解集为. (2)若a<0, ①当-1<<0,即a<-2时,解得-1<x<； ②当=-1,即a=-2时,无解； 解 36 ③当<-1,即-2<a<0时,解得<x<-1. 综上所述, 当a>0时,不等式的解集为； 当-2<a<0时,不等式的解集为； 当a=-2时,不等式的解集为∅； 当a<-2时,不等式的解集为. 解 37 若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”,与延伸探究4相比,有什么变化？ 延伸探究 5 不等式中,二次项系数为a,因为a∈R,所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a=0的情况. 当a=0时,原不等式化为-2(x+1)>0,则不等式的解集为{x|x<-1}. 解 38 在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2,x1=x2,x1<x2. 反 思 感 悟 39 1.知识清单： (1)不含参数的一元二次不等式的解法. (2)含参数的一元二次不等式的解法. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：在求解一元二次不等式ax2+bx+c>0时，忽略a的正负导致出错. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B D C AC CD {a|a≤1} 题号 8 11 12 13 14 15 答案 [0，1) B A ACD {x|2≤x<8} {k|-6≤k<2或3<k≤4} 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)2x2-5x-3=(x-3)(2x+1)<0， 解得-<x<3， 所以不等式的解集为. (2)由-x2+6x+7≤0得x2-6x-7=(x-7)(x+1)≥0， 解得x≤-1或x≥7， 所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥7}. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a. ①当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|-a<x<2a}； ②当a=0时，原不等式化为x2<0，无解； 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③当a<0时，x1<x2， 不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上，当a>0时， 原不等式的解集为{x|-a<x<2a}； 当a=0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当k=2时，2x2-4x>x-2即2x2-5x+2>0， 所以(2x-1)(x-2)>0， 所以x>2或x<， 所以不等式的解集为∪(2，+∞). (2)原不等式可变形为(kx-1)(x-2)>0， 当k<0时，(x-2)<0， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以<x<2， 即不等式的解集为； 当k=0时，x-2<0， 所以x<2，即不等式的解集为(-∞，2)； 当k>0时，(x-2)>0， 令=2，所以k=， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若0<k<，则>2， 所以不等式的解集为(-∞，2)∪， 若k=，则=2， 所以不等式的解集为(-∞，2)∪(2，+∞)， 若k>，则0<<2， 所以不等式的解集为∪(2，+∞)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上可知，当k<0时，不等式的解集为； 当k=0时，不等式的解集为(-∞，2)； 当0<k≤时， 不等式的解集为(-∞，2)∪； 当k>时， 不等式的解集为∪(2，+∞). 基础巩固 1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是 A. B. C.∅ D. √ 原不等式可化为(3x+1)2≤0, ∴3x+1=0, ∴x=-. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x≤5,x∈N*},则A∩B等于 A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2x+1)(x-3)<0,∴-<x<3, 又x∈N*且x≤5,则x=1,2. 解析 3.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　取x=1检验,满足,排除A； 取x=4检验,不满足,排除B,C. 方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0, 即(x-1)(2x+9)≤0,解得-≤x≤1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表： 则不等式ax2+bx+c>0的解集是 A.R B.∅ C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-2,3) √ x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由题意知,二次函数图象开口向上,当x=-2和x=3时,y=0,故ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列不等式的解集为R的有 A.x2+x+1≥0 B.x2-2x+>0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<1 √ A中,Δ=12-4×1<0,满足条件； B中,Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R； C中,Δ=62-4×10<0,满足条件； D中,不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数开口向上,显然不可能. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式(x-a)(x-2)<0的解集可能为 A.(-∞,2)∪(a,+∞) B.(-∞,a)∪(2,+∞) C.(a,2) D.∅ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a<2时,此时解集为(a,2)；当a=2时,此时解集为∅；当a>2时,此时解集为(2,a). 解析 √ 7.已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B⊆A,则a的取值范围为　 　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {a|a≤1} A={x|3x-2-x2<0}={x|x2-3x+2>0}={x|x<1或x>2}, B={x|x<a},若B⊆A,如图,则a≤1. 解析 8.设a∈R,若关于x的不等式x2-ax<0的解集是区间(0,1)的真子集,则a的取值范围是　　　.  不等式x2-ax<0可化为x(x-a)<0, 当a>0时,不等式的解集为(0,a),由不等式的解集是区间(0,1)的真子集,可得0<a<1；当a<0时,不等式的解集为(a,0),不符合题意；当a=0时,不等式的解集为∅,符合题意,综上,a的取值范围是[0,1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0,1) 9.求下列不等式的解集： (1)2x2-5x-3<0； 2x2-5x-3=(x-3)(2x+1)<0, 解得-<x<3, 所以不等式的解集为. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)-x2+6x+7≤0. 由-x2+6x+7≤0得x2-6x-7=(x-7)(x+1)≥0, 解得x≤-1或x≥7, 所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥7}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a<x<2a}； ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解； ③当a<0时,x1<x2, 不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时, 原不等式的解集为{x|-a<x<2a}； 当a=0时,原不等式的解集为∅；当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 解 根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 又x☉(x-2)<0, 则(x+2)(x-1)<0, 故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 解析 11.在R上定义运算“☉”：a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2},则关于x的不等式 ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是 A.{x|x<-3或x>2} B.{x|-3<x<2} C.{x|x<-2或x>3} D.{x|-2<x<3} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}, ∴a<0且b=2a, 则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0, 可化为ax2+ax-6a<0,即x2+x-6>0, ∴(x-2)(x+3)>0,∴x>2或x<-3, ∴不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)不等式mx2-mx-2<0的解集可能是 A.R B.∅ C. D.(-1,2) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 当m=0时,mx2-mx-2<0的解集为R； 当m>0,mx2-mx-2=0的两个根异号, 且 即m=1时,该不等式的解集为(-1,2)； 当m<0,Δ=(-m)2+8m<0, 即-8<m<0时,mx2-mx-2<0的解集为R； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m<0,Δ=(-m)2+8m=0, 即m=-8时,不等式mx2-mx-2<0的解集为； 当m<0,Δ=(-m)2+8m>0,即m<-8时,解集在两个根之外,解集不可能为空集. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]< 又当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时, [x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}. 解析 14.对于实数x,当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时,[x]=n,则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {x|2≤x<8} 15.已知关于x的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解,则k的取值范围为　　　 　 　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {k|-6≤k<2或3<k≤4} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x2-4x-5=(x-5)(x+1)>0,得x<-1或x>5, 所以2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)<0的解集与{x|x<-1或x>5}的交集中存在整数解,且只有一个整数解. 当k<时,2x2+(2k+5)x+5k<0的解集为此时-2<-k≤6, 即-6≤k<2,满足要求； 当k=时,2x2+(2k+5)x+5k<0的解集为∅,此时不满足题设； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k>时,2x2+(2k+5)x+5k<0的解集为此时-4≤-k<-3, 即3<k≤4,满足要求. 综上,k的取值范围为{k|-6≤k<2或3<k≤4}. 解析 16.已知关于x的不等式kx2-2kx>x-2. (1)当k=2时解不等式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=2时,2x2-4x>x-2即2x2-5x+2>0, 所以(2x-1)(x-2)>0,所以x>2或x< 所以不等式的解集为∪(2,+∞). 解 (2)当k∈R时解不等式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原不等式可变形为(kx-1)(x-2)>0, 当k<0时(x-2)<0, 所以<x<2, 即不等式的解集为； 当k=0时,x-2<0, 所以x<2,即不等式的解集为(-∞,2)； 当k>0时(x-2)>0, 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令=2,所以k= 若0<k<则>2, 所以不等式的解集为(-∞,2)∪ 若k=则=2, 所以不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞), 若k>则0<<2, 所以不等式的解集为∪(2,+∞), 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上可知,当k<0时,不等式的解集为； 当k=0时,不等式的解集为(-∞,2)； 当0<k≤时, 不等式的解集为(-∞,2)∪； 当k>时, 不等式的解集为∪(2,+∞). 解 第3章　§3.3　3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 <<< $