3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦二次函数零点概念这一核心知识点，通过类比一次函数与一元一次方程的联系，系统梳理二次函数零点与一元二次方程根、函数图象与x轴交点横坐标的关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于结合课标要求，通过表格对比不同判别式下根、图象、零点的关系，例题涵盖零点求解、个数判断及分布探究，培养学生直观想象和逻辑推理素养。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 课标 要求 1.正确理解二次函数零点的概念（数学抽象）. 2.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系（直观想象、逻辑推理）. 3.掌握图象法解一元二次方程（直观想象、数学运算）. 　　 　　函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b与一元一次方程ax＋b＝0之间关系的探究： a＞0 a＜0 一次函数y＝ax＋b的图象 一元一次方程ax＋b＝0的根 有一个实数根 有一个实数根 　　通过探究，我们发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的解. 【问题】　你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象与x轴交点的横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解建立联系？ 　 知识点一　二次函数的零点 　一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当函数值取　零　时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的　横坐标　，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点. 提醒：函数的零点不是点，是函数的图象与x轴交点的横坐标. 知识点二　一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系 　当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝　　 有一个零点　x＝－　 无零点 提醒：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标. 1.（2026·扬州月考）函数y＝－x2－2x＋3的零点为（　　） A.1 B.－3 C.1和－3 D.（1，0）和（－3，0） 解析：C　由－x2－2x＋3＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3.故函数y＝－x2－2x＋3的零点为1和－3.故选C. 2.〔多选〕以下四个命题正确的是（　　） A.二次函数的零点是其图象与x轴的交点 B.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）一定有零点 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根 D.二次函数y＝4x2－4x＋1有一个零点为 解析：CD　对于A，零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标，故A错误；对于B，当Δ＝b2－4ac＜0时，没有零点，故B错误；对于C，由二次函数的零点与方程根的关系，易知C正确；对于D，由Δ＝（－4）2－4×4×1＝0，知二次函数y＝4x2－4x＋1有一个零点为x＝－＝－＝.故D正确. 3.（2026·南京九中月考）设m为实数，若函数y＝x2－mx＋1有且只有一个零点，则m的值是　±2　. 解析：因为函数y＝x2－mx＋1有且只有一个零点，所以Δ＝（－m）2－4×1×1＝0，解得m＝±2. 4.若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则a＋b＝　1　. 解析：由题意，2＋3＝－a，2×3＝b，解得∴a＋b＝1. 　 题型一　二次函数的零点 （链接教科书第64页练习3题）（1）二次函数y＝x2－7x＋12的零点为　3和4　； （2）若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是　－和－　. 解析：（1）由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4.所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4. （2）由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2＝－6x2－5x－1的零点为－和－. 通性通法 　　求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根. 求下列函数的零点： （1）y＝3x2－2x－1； （2）y＝ax2－x－a－1（a∈R）； （3）y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示. 解：（1）由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. （2）①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得（ax－a－1）·（x＋1）＝0，解得x1＝，x2＝－1， 当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当a≠－且a≠0时，x1≠x2， 函数有两个零点－1和. 综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1. 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和. （3）由图象可知，函数有两个零点－1和3. 题型二　二次函数零点个数的判断与证明 （链接教科书第64页例1）求证：函数y＝－x2－2x＋5有两个零点. 证明：考察一元二次方程－x2－2x＋5＝0， 因为Δ＝（－2）2－4×（－1）×5＝24＞0，所以方程－x2－2x＋5＝0有两个不相等的实数根， 因此，二次函数y＝－x2－2x＋5有两个零点. 通性通法 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点个数的判断 　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2－4ac. （1）Δ＞0⇔函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有两个零点； （2）Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有一个零点； （3）Δ＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点. 1.若a＞2，则函数y＝（a－2）x2－2（a－2）x－4的零点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 解析：C　考察一元二次方程（a－2）x2－2（a－2）x－4＝0，因为Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）＝4（a－2）·（a＋2），又a＞2，所以Δ＞0，所以函数y＝（a－2）x2－2（a－2）x－4有两个零点. 2.求证：函数y＝ax2－x－a（a∈R）有零点. 证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2＞0，函数y＝ax2－x－a有两个零点. 综上，函数y＝ax2－x－a（a∈R）有零点. 题型三　二次函数零点的分布探究 （链接教科书第64页例2）（1）判断二次函数y＝－x2－2x＋1在（－3，－2）上是否存在零点； （2）若二次函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，求实数m的取值范围. 解：（1）由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3＜－1－＜－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在（－3，－2）上存在零点. （2）设二次函数的两个零点分别为x1，x2， 因为二次函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2， 所以方程x2－5x＋1－m＝0有两个不相等的根且两根均大于2， 则x1－2＞0，x2－2＞0， 所以即 解得－＜m＜－5， 所以实数m的取值范围是（－，－5）. 通性通法 　　由二次函数的零点分布求参数范围问题，一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴、判别式及端点函数值符号（此端点指的是与方程的根比较大小的数），列出不等式组进行求解. 已知函数y＝x2－x－a2＋a（a∈R）. （1）若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围； （2）若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围. 解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， （1）因为该函数有两个不相等的正零点，所以解得0＜a＜或＜a＜1， 所以a的取值范围是∪. （2）因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1， 所以或解得a＞1或a＜0. 所以a的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋∞）. 1.函数y＝2x2－5x＋2的零点是（　　） A.（2，0），（，0） B.（－2，0），（－，0） C.2， D.－2，－ 解析：C　由2x2－5x＋2＝0得x1＝2，x2＝，故函数y＝2x2－5x＋2的零点为2，.故选C. 2.若函数y＝kx2－x＋1（k≠0）有零点，则k的取值范围是（　　） A.k＞ B.k＜且k≠0 C.k≤且k≠0 D.k＜ 解析：C　依题意得Δ＝1－4k≥0，解得k≤，又k≠0.故k的取值范围为k≤且k≠0.故选C. 3.已知函数y＝x2－ax－3a的一个零点是－2，则它的另一个零点是　6　. 解析：由题意知，4＋2a－3a＝0，解得a＝4，故方程为x2－4x－12＝0，解出另一个根为6. 4.讨论函数y＝（ax－1）（x－2）（a∈R）的零点. 解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则函数的零点为2； 当a＝时，则（x－2）＝0， 解得x1＝x2＝2，则函数的零点为2； 当a≠0且a≠时， 由（ax－1）（x－2）＝0， 解得x1＝，x2＝2， 则函数的零点为和2. 　　 1.（2026·连云港月考）设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则＋的值为（　　） A.2 B.－2 C. D.－ 解析：D　由题意得，x1，x2是方程6x2－x－2＝0的根，则x1＋x2＝，x1x2＝－，＋＝＝－.故选D. 2.〔一题多解〕函数y＝x2－（a＋1）x＋a的零点个数为（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.0 解析：C　法一　由x2－（a＋1）x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点有1个，当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点个数是1或2.故选C. 法二　Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2，当a＝1时，Δ＝0，函数有1个零点；当a≠1时，Δ＞0，函数有2个零点.故选C. 3.函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点为－2和3，a＜0，那么函数y2＝cx2－bx＋a的零点为（　　） A.－和 B.和－ C.－3和2 D.无法确定 解析：A　由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A. 4.关于x的函数y＝x2－2ax－8a2（a＞0）的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 5.〔多选〕（2026·靖江高中月考）已知函数y＝m2x2＋（m－1）x＋1，若该函数恰有一个零点，则实数m的值可以为（　　） A.0 B.1 C.－1 D. 解析：ACD　当m＝0时，函数为y＝－x＋1，恰有一个零点，符合题意；当m≠0时，函数y＝m2x2＋（m－1）x＋1是二次函数，由Δ＝（m－1）2－4×m2×1＝0，化简得3m2＋2m－1＝0，解得m＝或m＝－1.综上，m＝0或m＝或m＝－1.故选A、C、D. 6.〔多选〕对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是（　　） A.函数一定有两个零点 B.a＞0时，函数一定有两个零点 C.a＜0时，函数一定有两个零点 D.函数的零点个数是1或2 解析：BCD　当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2＞0，所以函数一定有两个零点，故B、C正确.当a＝0时，函数有唯一零点为0，故D正确，A不正确. 7.若函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝　　. 解析：因为函数y＝2x2－3x－7，所以由根与系数的关系可知，两个零点a，b满足a＋b＝，ab＝－，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（）2－2×（－）＝. 8.设实数m＞0，若函数y＝x2－mx＋2有且只有一个零点，则实数m的值为　2　. 解析：函数y＝x2－mx＋2有且只有一个零点，即一元二次方程x2－mx＋2＝0有两个相等的实数根，则Δ＝（－m）2－4×2＝0，又m＞0，解得m＝2，即实数m的值为2. 9.函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为　　. 解析：因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以解得0＜m＜. 10.〔一题多解〕求证：函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 证明：法一　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝（a＋2）2＋4＞0， 所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 法二　因为函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）的图象为开口向上的抛物线， 无论a为任何实数，当x＝－1时，y＝（－1）2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M（－1，－1）. 所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 11.函数y＝ax2－2x＋1在区间（－1，1）和区间（1，2）上分别有一个零点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－3，－1）　　　B.（，1） C.（－3，） D.（－∞，－3）∪（，＋∞） 解析：B　当a＝－2时，y＝－2x2－2x＋1，此时函数有两个零点，不符合题意，排除A、C选项.当a＝1时，y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，此时函数只有一个零点1，不符合题意，排除D选项，故选B. 12.〔多选〕若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B.m＞－ C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D.当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 解析：ABD　对于A，m＝0时，方程为（x－2）·（x－3）＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A正确；对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6－m）＞0，解得m＞－，所以B正确；对于C和D，当m＞0时，x1，2＝，则x2＝，又m＞0，所以x2＝＞＝3，又x1＋x2＝5，所以x1＜2.故选项C不符合题意，选项D符合题意.故选A、B、D. 13.已知y＝（x－a）（x－b）－2（a＜b），并且α，β是方程y＝0的两根（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是　α＜a＜b＜β　.（用“＜”连接） 解析：设y1＝（x－a）（x－b），则a，b是y1＝（x－a）·（x－b）的两个零点，函数y＝（x－a）（x－b）－2的图象可以看成y1＝（x－a）（x－b）的图象向下平移2个单位长度得到，且a＜b，α＜β，如图所示.∴α＜a＜b＜β. 14.若x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点，且x1＋x2＝1－x1x2，求实数m的值. 解：因为x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点， 则x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个不相等的实数根，所以x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， Δ＝4m2－4（m2－m－1）＞0，即m＞－1. 因为x1＋x2＝1－x1x2，所以2m＝2－m2＋m， 解得m＝1或m＝－2， 又m＞－1，所以m＝1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $