3.3.1从函数观点看一元二次方程（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

3.3.1从函数观点看 一元二次方程 第三章 不等式 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：会求函数的零点，并判断零点所在区间 教学难点： 掌握图象法解一元二次方程 正确理解函数零点的概念； 理解一元二次方程与二次函数的关系； 掌握图象法解一元二次方程。 课程目标 学科素养 数学抽象：函数零点概念的理解； 直观想象：掌握图象法解一元二次方程； 数学运算：函数零点的计算。 新知引入 一正二定三相等 积定和最小 和定积最大 基本不等式 求最值 常量代换 配凑法 直接法 拆项裂项 并项 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 新知引入 我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。 函数与轴的交点为； 方程的解为； 不等式的解为； 它们之间有什么关系？我们怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题？ 新知引入 情境1：从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，斜着与门框的对角线长度相等。你知道竹竿有多长吗？ 解：设竹竿长为，则，解得，或 追问1：与 有什么关系呢，或时，？ 追问2：设， ，那么或还可以是什么呢？ 让我们一起走进学习一下吧 新知探究 从函数的观点看，方程即的两个根，，就是二次函数 当函数值取零时自变量的值，即二次函数的图象与轴交点的横坐标。 函数与轴的交点为； 方程的解为 ，； 新知探究 一般地，一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时自变量的值，即二次函数的图象与轴的交点的横坐标，也称为二次函数的零点． 注：零点是一个实数， 不是一个点. 方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数 的图象 二次函数 的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 新知探究 练习巩固 辨析1：判断对错 1、二次函数的零点是图象与轴的交点.( ) 2、二次函数一定有零点.( ) 3、二次函数的零点即为对应方程的根.( ) 【答案】： 辨析2：判断下列函数零点的个数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，∴方程有两个不等实根，即两个零点. (2)，即方程无实根，∴0个零点. (3).∴方程有一个实数根，∴一个零点. 典例精讲 例1：求证：二次函数有两个零点。 证明：考察一元二次方程 因为， 所以方程有两个不相等的实根。 因此，二次函数有两个零点 例2：判断二次函数在区间上是否存在零点。 解：因为一元二次方程的两个根分别为， 又，所以，二次函数在区间上存在零点。 练习巩固 二次函数零点求法： 二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与轴的交点的横坐标即为函数零点. 练习巩固 练习1：求下列函数的零点： 练习巩固 练习2：若函数的一个零点是－3，求实数的值，并求函数其余的零点. 解：由题意知，即，， ∴.解方程， 得或2.∴函数其余的零点是2. 小技巧：由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式及根与系数的关系列式求解. 练习巩固 变式2：(1)已知有两个零点，则零点个数为________. (2)若的两个零点是2和3，则的零点是(　)　 【答案】：(1)1或2，（2） 解析：(1)函数有两个零点， 即方程＝0有两个不相等的实数根，或函数的图象与轴有两个不同的交点，因而. 对于函数，当时，只有1个零点； 当时，由于，因而有2个零点. 综上，函数的零点个数为1或2. 小结 方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数 的图象 二次函数 的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 感谢聆听 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系． ——希尔伯特 解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)， 所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－eq \f(1,3)． (2)当a＝0时，函数的零点为－1； 当a＝eq \f(1,2)时，函数的零点为－1； 当a≠－eq \f(1,2)且a≠0时，函数有两个零点－1和eq \f(a＋1,a)． $$