3.2.2 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过复习“一正二定三相等”条件导入，以配凑、拆项、常数代换等方法为支架，结合例1到例3搭建从求最值到实际问题再到综合运用的梯度进阶学习脉络。 其亮点是通过“思维建模”总结解题策略，结合虎笼设计等实际问题培养数学眼光，以题型分层和针对训练发展数学思维。学生能掌握灵活解题方法，教师可借助结构化例题与检测提升教学效率。

3.2.2 基本不等式的应用 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过配凑、变形等手段利用基本不等式求最值. 2.要灵活应用不等式解决问题，能够利用基本不等式解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 题型(一)　利用基本不等式求最值的方法 题型(二)　利用基本不等式解决实际问题 课时检测 3 题型(三)　基本不等式的综合运用 4 01 题型(一)　利用基本不等式求最值 的方法 1.已知a,b都是正数,则有 和定积最大 若a+b等于定值S,那么当a=b时,积ab有最大值 积定和最小 若ab等于定值P,那么当a=b时,和a+b有最小值2 2.基本不等式求最值的条件 (1)a,b必须是正数. (2)求积ab的最大值时,应看和a+b是否为定值;求和a+b的最小值时,应看积ab是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 解：因为x>3,所以2x-6>0, 所以y=2x+=2x-6++6≥2+6=2×2+6=10, 当且仅当2x-6=,即x=4时,等号成立. 所以y=2x+的最小值是10. [例1]　(配凑求最值)已知x>3,求y=2x+的最小值. 解：由x>1,知x-1>0. 所以y==x+1+=x-1++2≥2+2=4, 当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立. 所以当x=2时,y取得最小值4. [例2]　(拆裂项求最值)若x>1,求函数y=的最小值. 解：因为x>0,y>0,=1, 所以x+2y=(x+2y)=8++2=10+≥10+2=18, 当且仅当,即x=12,y=3时,等号成立, 所以x+2y的最小值为18. [例3]　(常数代换求最值)已知x>0,y>0,且满足=1,求x+2y的最小值. |思|维|建|模| (1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使得“和”或“积”为定值. (2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值. (3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值. 1.设0<x<2,则的最大值为　　　　.  针对训练 解析：因为0<x<2,所以4-2x>0.所以· ·,当且仅当2x=4-2x,即x=1时,等号成立,所以的最大值为. 2.已知a>0,b>0,若a+b=2,求的最小值. 解：因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0.又a+b=2,所以a+1+b+1=4. 所以[(a+1)+(b+1)]= , 当且仅当即时,等号成立. 所以的最小值为. 02 题型(二)　利用基本不等式解决 实际问题 [例4]　如图,动物园要以墙体为背面,用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼. 现有可围36 m长钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大? 解：设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则每间虎笼的面积为S=xy, 由已知可得4x+5y=36,由基本不等式可得S=xy=·4x·5y≤(m2),当且仅当即时,等号成立,因此,每间虎笼的长为 m,宽为 m时,可使每间虎笼的面积最大. 本例条件变为“每间虎笼的面积为20 m2”,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 变式拓展 解：设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则xy=20, 钢筋网总长为4x+5y≥2=40(m),当且仅当即时, 等号成立,因此,每间虎笼的长为5 m,宽为4 m时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. |思|维|建|模| 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造定值,利用基本不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)结论. 3.制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,现有4.6 m, 4.8 m, 5 m,5.2 m四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是哪一种? 针对训练 解：设一条直角边长为x,则另一条直角边长是,斜边长为, 故周长C=x+, 由于x+≥2=2,且=2, 因此C=x+≥2+2≈4.83,当且仅当x=且x2=,即x=时,等号成立,故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m. 03 题型(三)　基本不等式的综合运用 [例5]　已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是(　 ) A.(-∞,-8) B.(-8,+∞) C.(-∞,-6) D.(-6,+∞) √ 解析：不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2, ∵x>1,∴2(x-1)+≥2×=4,当且仅当x=2时,等号成立. ∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6. [例6]　已知函数y=4x+(x>0, a>0)在x=3时取得最小值,则a=_____.  36 解析：∵x>0,a>0,∴y=4x+≥2=4.当且仅当4x=,即4x2=a时y取得最小值,又∵x=3,∴a=4×32=36. |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化. 针对训练 4.已知正实数a,b满足=m,若的最小值为4,则实数m的取值范围是(　 ) A.{2} B.[2,+∞) C.(0,2] D.(0,+∞) √ 解析：因为a,b为正实数,=ab++2≥2+2=4, 当且仅当ab=,即ab=1时等号成立,此时有b=, 又因为=m,所以a+=m, 由基本不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2. 解：根据题意,a>0,b>0,恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3++3=6+≥6+2=12,当且仅当,即a=3b时等号成立,所以m≤12.故m的取值范围是(-∞,12]. 5.已知a>0,b>0,若恒成立,求m的取值范围. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若x<0，则x+-2有(　 ) A.最小值-1 B.最小值-3 C.最大值-1 D.最大值-3 √ 解析：因为x<0，所以x+-2=--2≤-2-2=-3， 当且仅当-x=，即x=-时，等号成立，故x+-2有最大值-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.y=3x2+的最小值是(　 ) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 √ 解析：y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3，当且仅当x2=-1时，等号成立，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知正数a，b满足a+b=2，则的最小值为(　 ) A.36 B.42 C.49 D.6 √ 解析：正数a，b满足a+b=2，则有== =37++≥37+2=37+12=49，当且仅当 = 且a+b=2，即b=，a= 时，等号成立，即的最小值为49. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为 (　 ) A.2 B.4 C.8 D.2 解析：因为a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤+4，可得(a+b)2≤ 16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，所以a+b的最大值为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)若a，b∈(0，+∞)，a+b=1，则下列说法正确的是 (　 ) A.ab的最大值为 B.的最小值是4 C.4a-的最大值为2 D.+的最小值为3+2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，因为a+b=1，所以ab≤=，当且仅当a=b=时， 等号成立，所以ab的最大值为，故正确;对于B， 因为a，b∈(0，+∞)，a+b=1，所以a≠1，b≠1， 所以a+>2，b+>2， 所以>4，故错误; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于C，因为a+b=1，所以a=1-b，所以4a-=4-4b-=4-≤ 4-2=2，当且仅当4b=，即b=时，等号成立，故正确;对于D，(a+b)=1+++2≥2+3=3+2，当且仅当=，即a=-1，b=2-时，等号成立，故正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A. B.1 C.2 D.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设该直角三角形的斜边为c=2，直角边为a，b，则a2+b2=c2 =8.因为2ab≤a2+b2，所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2)，即(a+b)2≤16，当且仅当a=b，且a2+b2=8，即a=b=2时，等号成立.因为a>0，b>0，所以a+b≤4，所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时，a=b=2，此时三角形的面积为×2×2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(5分)已知0<x<1，则x(1-x)的最大值为____，此时x=_____.  解析：因为0<x<1，所以1-x>0，所以x(1-x)≤==，当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立，即当x=时，x(1-x)取得最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知x>0，y>0，且x+2y=4，则(1+x)(1+2y)的最大值为____.  9 解析：(1+x)(1+2y)≤==9， 当且仅当1+x=1+2y，即x=2，y=1时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为　　. 32  解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab=64，所以 矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32，当且仅当a=8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知正数x，y满足(x-2)(y-1)=2，若不等式x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  (-∞，8) 解析：因为x>0，y>0，则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2， 所以x+2y=xy，所以+=1. 所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8， 当且仅当=时，即x=4，y=2时，等号成立. 又x+2y>m恒成立，所以m<8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界.若a，b为正实数，且a+b=1，则--的上确界为_____.  - 解析：因为a，b为正实数，且a+b=1，所以+=×(a+b)= +≥+2=，当且仅当b=2a，即a=，b=时，等号成立，因此有--≤-，即--的上确界为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)(1)当x>0时，求+4x的最小值;(3分) 解：因为x>0，所以>0，4x>0. 所以+4x≥2=8， 当且仅当=4x，即x=时，等号成立， 所以当x>0时，+4x的最小值为8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当x<0时，求+4x的最大值;(3分) 解：当x<0时，-x>0，则+4(-x)≥2=8， 当且仅当=-4x，即x=-时，等号成立， 所以+4x≤-8. 所以当x<0时，+4x的最大值为-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)已知4x+(x>0，a>0)在x=3时取得最小值，求a的值.(4分) 解：因为x>0，a>0，所以4x>0，>0， 所以4x+≥2=4，当且仅当4x=，即a=4x2=36时， 等号成立，所以a=36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫作“刹车距离”.在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s=v2+v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;(3分) 解：T===++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小. ∵T=++≥2+=， 当且仅当=，即v=20时取等号. ∴当v=20米/秒时，经过观测点A的车流量最大. (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知正实数x，y满足x+y=4. (1)是否存在正实数x，y，使得xy=5?若存在，求出x，y的值;若不存在，请说明理由.(3分) 解：不存在.因为正实数x，y满足x+y=4， 所以4=x+y≥2，所以xy≤4. 故不存在正实数x，y，使得xy=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：证明：由x+y=4，得x+1+y+2=7. 又因为x，y都是正实数， 所以+=[(x+1)+(y+2)]·=≥ =， (2)求证：+≥，并说明等号成立的条件.(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当且仅当=时，等号成立， 又因为x+y=4， 所以当且仅当x=，y=时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： (1)已知正实数x，y满足2x+y=1，求+的最小值.甲给出的解法：由1=2x+y≥2，得 ≤，所以+≥2=≥4，所以+的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法;(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x=y和x=2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的. 正确的解法如下：因为x>0，y>0，且2x+y=1， 所以+=(2x+y)=++≥+2=， 当且仅当=，即x=y=时，等号成立.所以+的最小值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为0<x<，所以0<2-3x<2.所以y=+=[3x+(2-3x)]·= ≥=2+，当且仅当=， 即x=1-∈时，等号成立.所以y=+的最小值为2+. (2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y=+的最小值.(8分) 本课结束 $$