3.2.1 基本不等式的证明-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式≤（a，b≥0）核心知识点，从算术平均数与几何平均数概念切入，衔接重要不等式，构建“概念理解—性质推导—应用实践”学习支架，覆盖证明不等式、比较代数式大小及解决最值问题。 以金店称重实际问题情境引入，通过“想一想”辨析条件、“通性通法”提炼方法，培养逻辑推理与数学运算素养，例题变式结合生活实例渗透数学建模，课中助于情境化教学，课后练习题分层设计帮助学生巩固提升、查漏补缺。

3.2　基本不等式≤（a，b≥0） 3.2.1　基本不等式的证明 课标 要求 1.掌握基本不等式≤（a，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立）（逻辑推理）. 2.能用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小（数学运算）. 3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（数学建模、数学运算）. 　　 　　某金店有一台天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑. 【问题】　你认为顾客的质疑有道理吗？ 　 知识点一　算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把　　称为a，b的算术平均数，　　称为a，b的几何平均数. 知识点二　基本不等式与重要不等式 1.基本不等式 如果a，b是正数，那么　≤　（当且仅当　a＝b　时，等号成立）. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数. 【想一想】 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. 2.重要不等式 当a，b∈R时，ab≤　　（当且仅当　a＝b　时，等号成立）；ab≤（当且仅当　a＝b　时，等号成立）. 提醒：基本不等式的常见变形：①a＋b≥2（其中a，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立）；②ab≤≤（其中a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立）；③a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（其中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立）. 【想一想】 1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2.基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明. 提示：不能，如≥是不成立的. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C.a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D.a＋b≥2成立的条件是ab＞0 解析：BC　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C. 2.（2026·苏州质检）已知x＞0，则x＋＋1的最小值为（　　） A.＋1 B.2＋1 C.4 D.5 解析：D　∵x＞0，＞0，∴x＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x＝2时，等号成立，即x＋＋1的最小值为5.故选D. 3.若x＞0，y＞0，x＋y＝40，则xy的最大值为　400　. 解析：∵x＞0，y＞0，由基本不等式得，≤＝＝20，∴xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，故xy的最大值为400. 4.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为　　. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值. 　　 题型一　对基本不等式的理解 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　） A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2 C.＋＞ D.＋≥2 解析：D　对于A，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、C，条件ab＞0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B、C错误；对于D，因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立.故D正确.故选D. 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 下列说法正确的是（　　） A.当x＞0时，x2＋≥2 B.当x≥2时，x＋的最小值为2 C.当a≥0，b≥0时，≥成立 D.当ab＞0时，＋≥恒成立 解析：A　对于选项A，符合基本不等式的条件，故A正确；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝1，不满足x≥2，故B错误；对于C，当a≥0，b≥0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误；对于D，当a＝－1，b＝－1时，ab＝1＞0但＋≥不成立，故D错误.故选A. 题型二　利用基本不等式证明不等式 （链接教科书第57页例1）设a，b为正数，证明下列不等式成立： （1）a＋≥2； （2）＋≥＋. 证明：（1）因为a为正数，所以也为正数. 由基本不等式，得a＋≥2＝2， 当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立.所以原不等式成立. （2）因为a＞0，b＞0， 所以＋≥2＝2， ① ＋≥2＝2. ② ①②两式相加，得＋＋＋≥2＋2， 所以＋≥＋，当且仅当a＝b时等号成立.所以原不等式成立. 通性通法 运用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从问题的已知条件出发，借助不等式的性质和基本不等式或已证的重要不等式，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②不等式的同向可加性是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 　设a，b，c为正数，证明下列不等式成立： （1）a＋b＋c＋＋＋≥6； （2）（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥8abc. 证明：（1）因为a，b，c为正数，所以，，也为正数. 由基本不等式，得a＋≥2＝2，b＋≥2＝2，c＋≥2＝2， 所以a＋b＋c＋＋＋≥6. 当且仅当a＝，b＝，c＝，即a＝b＝c＝1时，等号成立. 所以原不等式成立. （2）因为a，b，c为正数，所以由基本不等式，得a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2， 所以（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥2·2·2＝8abc， 当且仅当a＝b，b＝c，a＝c，即a＝b＝c时，等号成立. 所以原不等式成立. 题型三　利用基本不等式求最值 （链接教科书第58页例2）（1）已知x＞0，求x＋的最小值； （2）设y＝x＋，x∈（3，＋∞），求y的最小值. 解：（1）因为x＞0，所以＞0，由基本不等式，得x＋≥2＝8， 当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立. 所以x＋的最小值为8. （2）因为x＞3，所以x－3＞0，由基本不等式， 得x＋＝（x－3）＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当x－3＝，即x＝＋3时，等号成立.因此，当x＝＋3时，y的最小值为2＋3. 【母题探究】 1.（变条件、变设问）若x＜0，则x＋的最大值为　－8　. 解析：∵x＜0，∴－x＞0，∴（－x）＋（－）≥2＝8，∴x＋＝－（－x＋）≤－8，当且仅当－x＝－，即x＝－4时，等号成立.故x＋的最大值为－8. 2.（变条件）设y＝2x＋，x∈（3，＋∞），求y的最小值. 解：因为x＞3，所以x－3＞0，2x－6＞0， 所以y＝2x＋＝2x＋＝2x－6＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时，等号成立. 因此，当x＝4时，y的最小值为10. 通性通法 1.利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等” （1）一正：各项必须为正； （2）二定：各项之和或各项之积为定值； （3）三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 2.配凑法求最值的策略 将已知数学表达式变形，配凑出符合基本不等式条件的形式（和或积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 1.（－6≤a≤3）的最大值为（　　） A.9 B. C.3 D. 解析：B　当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6＜a＜3时，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号. 2.设y＝，x＞1，则y的最小值为　4　. 解析：因为x＞1，所以x－1＞0，所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y的最小值为4. 1.下列选项中不等式一定成立的是（　　） A.a＋≥2 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.a2＋≥2 解析：D　若a＜0，则a＋≥2不成立，故A错误；当a＝1，b＝1时，a2＋b2＜4ab，故B错误；当a＝4，b＝16时，＜，故C错误；由基本不等式可知，D正确.故选D. 2.下列各式中，最小值为4的是（　　） A.x＋ B.2t＋ C.4t＋（t＞0） D.t＋ 解析：C　A中，当x＝－1时，x＋＝－5＜4，故A错误；B中，当t＝－1时，2t＋＝－3＜4，故B错误；C中，4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时，等号成立，故C正确；D中，当t＝－1时，t＋＝－2＜4，故D错误.故选C. 3.（2026·扬州中学期中）设x＞0，则3－3x－的最大值是　3－2　. 解析：因为x＞0，所以3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，所以－（3x＋）≤－2，所以3－3x－≤3－2，故最大值为3－2. 4.已知a，b＞0，证明：（a＋）（b＋）≥4. 证明：因为a，b＞0，所以ab＞0，＞0，所以（a＋）（b＋）＝2＋ab＋≥2＋2＝4， 当且仅当ab＝，即ab＝1时，等号成立. 所以原不等式成立. 　　 1.下列结论正确的是（　　） A.当x＞0且x≠1时，x＋≥2 B.当x＞0时，＋≥2 C.当x≠0时，x＋的最小值为2 D.当x＞0时，x＋的最小值为2 解析：B　选项A不满足“取等号时的条件”，故A错误；选项C不满足“各项必须为正”，故C错误；选项D不满足“积为定值”，故D错误.故选B. 2.（2026·沭阳期中）设a＞0，则a＋的最小值为（　　） A.2 B.2 C.4 D.3 解析：D　因为a＞0，所以a＋＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝，即a＝1时取等号.故a＋的最小值为3.故选D. 3.当x＞0时，y＝的最小值为（　　） A. B.1 C. D. 解析：D　当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立，所以当x＞0时，y＝的最小值为. 4.设p＝，q＝，r＝（b＞a＞0），则下列关系式正确的是（　　） A.r＞q＞p B.q＞p＞r C.q＞r＞p D.r＝q＞p 解析：A　∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴＞，∴＞.又∵＞，∴＞＞，即r＞q＞p. 5.〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A.≥ B.＋≥2 C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2 解析：BCD　对于A，当a＜0，b＜0时，≥不成立，故A错误；对于B，由式子有意义，故a＞0，故＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立，故B正确；对于C，｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C正确；对于D，∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D正确.故选B、C、D. 6.〔多选〕已知x＞0，则下列式子的最小值为2的有（　　） A.＋ B.2x（2－x） C.2x＋ D.x－1＋ 解析：ACD　因为x＞0，所以＋≥2，当且仅当x＝2时取等号，故A正确；2x（2－x）＝－2（x－1）2＋2≤2，即最大值为2，故B不正确；因为x＞0，所以2x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，故C正确；因为x＞0，所以x－1＋＝x＋1＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＝1时取等号，故D正确.故选A、C、D. 7.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为　3　. 解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 8.已知x＜0，则x＋的最大值为　－3　. 解析：因为x＜0，则x＋＝－≤－2＝－3，当且仅当－x＝，即x＝－时，等号成立，所以x＋（x＜0）的最大值为－3. 9.已知x＞，则y＝x－1＋的最小值为　　. 解析：由x＞得x－＞0，则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当即x＝时，等号成立，此时y取得最小值. 10.（1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋； （2）已知a＞0，求证：≤≤. 证明：（1）因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2. 所以2（a＋b＋c）≥2（＋＋），即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.所以a＋b＋c＞＋＋. （2）因为a＞0，所以≥（当且仅当a＝1时，等号成立），所以≤，所以≤＝，所以≤≤. 11.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则由该图形中DE，DC，DO的大小关系可以完成的“无字证明”是（　　） A.≤（a＞0，b＞0） B.＜（a＞0，b＞0，a≠b） C.≤（a＞0，b＞0） D.＜＜（a＞0，b＞0，a≠b） 解析：D　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，由三角形相似，知DC2＝DE·DO＝AC·BC，易得DC＝＝，DE＝＝＝.∵DE＜DC＜DO，∴＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）.故选D. 12.〔多选〕（2026·苏州月考）下列各式中，最小值是6的有（　　） A.x＋ B.2x2＋ C. D. 解析：BD　对于A，由于x可能为负，所以x＋的最小值不是6，故A错误；对于B，因为x2＋1＞0，所以2x2＋＝2（x2＋1）＋－2≥2－2＝6，当且仅当x2＝1时等号成立，故B正确；对于C，＝＋＋4，当x，y异号时其最小值应小于4，故C错误；对于D，因为＞0，所以＝＝＋≥2＝6，当且仅当x＝8时等号成立，故D正确.故选B、D. 13.已知p＝a＋（a＞2），q＝－b2－2b＋3（b∈R），则p，q的大小关系为　p≥q　（用不等号表示）. 解析：因为a＞2，所以p＝a＋＝（a－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立，所以p≥4.又q＝－b2－2b＋3＝－（b＋1）2＋4，所以q≤4，所以p≥q. 14.（1）已知a＞0，b＞0，求的最小值；（2）已知a＞b＞c，求（a－c）（＋）的最小值. 解：（1）因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时，等号成立.所以的最小值是9. （2）（a－c）（＋）＝（a－b＋b－c）（＋）＝1＋1＋＋. ∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，取等号， ∴（a－c）（＋）的最小值为4. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $