第3章 3.2.1 基本不等式的证明（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的证明与应用，通过第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）导入，引导学生从几何面积关系出发，结合重要不等式（a²+b²≥2ab），通过变量替换推导基本不等式，搭建从代数变形到几何直观的学习支架。 其亮点在于融合作差法、性质法、几何意义等多种证明方法，培养数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观），如利用半圆直径与弦的关系诠释基本不等式几何意义。通过分层例题（证明不等式、求最值）和“一正二定三相等”总结，强化数学语言表达（模型意识），助力学生理解知识本质，教师可依托系统资源实施高效教学。

3.2.1 基本不等式的证明 第3章　§3.2　基本不等式 <<< 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能利用基本不等式证明简单的不等式. 3.会利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 学习目标 国际数学家大会是世界上数学家的盛会,如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中证明勾股定理时采用了该图形,你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系吗？带着这个问题我们继续研究不等式的相关知识. 导 语 一、基本不等式的推导与证明 二、用基本不等式证明不等式 课时对点练 三、用基本不等式求最值 内容索引 基本不等式的推导与证明 一 提示　用分别替换上式中的a,b可得到a+b≥2当且仅当a=b时,等号成立.我们习惯表示成≤. 我们可以将(a-b)2≥0变形,有不等式a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.该不等式对任意的实数a,b都能成立,我们称该不等式为重要不等式.现在我们讨论一种特别的情况,如果a>0,b>0,我们用分别替换上式中的a,b,能得到什么样的结论？ 问题1 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0都能成立？请给出证明. 问题2 提示　方法一　(作差法) -===≥0, 即≥ 当且仅当a=b时,等号成立. 方法二　(性质法) 要证≤ 只需证2≤a+b, 只需证2-a-b≤0, 只需证-(-)2≤0, 显然(-)2≥0成立,当且仅当a=b时,等号成立. 方法三　对于正数a,b,有 (-)2≥0⇒a+b-2≥0⇒a+b≥2⇒≥. 当且仅当a=b时,等号成立. 方法四　(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD,故有△ACD∽△DCB,故CD=由于CD小于或等于圆的半径,故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 基本不等式：如果a,b是正数,那么 (当且仅当 时,等号成立).我们把不等式≤(a,b≥0)称为基本不等式. 对于正数a,b,我们把_______称为a,b的算术平均数称为a,b的______ . ≤ a=b 几何平 均数 知识梳理 (1)基本不等式常见的变形：①若a>0,b>0,则a+b≥2；②若a>0,b>0,则ab≤. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两个正数相等时,两者相等. 注 意 点 <<< 13 　　 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 √ 对于A,当a=b时,应有a2+b2=2ab,故A错误； 对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误； 对于D+≥2·=2,当且仅当a=b时,等号成立,故D正确. 解析 例 1 14 (2)不等式a+1≥2(a>0)中,等号成立的条件是 A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 √ 因为a>0,根据基本不等式≤当且仅当a=b时,等号成立,故a+1≥2中,当且仅当a=1时,等号成立. 解析 15 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”. 一正：a,b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到,即a=b有解. 反 思 感 悟 16 若0<a<b,则下列不等式一定成立的是 A.a>>>b B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> √ ∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>>. 又∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a. 故b>>>a. 解析 跟踪训练 1 17 二 用基本不等式证明不等式 因为a,b为正数,所以也为正数. 由基本不等式,得+≥2=2, 当且仅当=即a=b时,取得等号.所以原不等式成立. 证明 (课本例1)设a,b为正数,证明下列不等式成立： (1)+≥2； 例 2 19 因为a,b为正数,所以也为正数. 由基本不等式,得a+≥2=2,b+≥2=2, 所以a+b++≥4, 当且仅当a=b=即a=b=1时,取得等号. 因此,原不等式成立. 证明 (2)a+b++≥4. 20 已知x>0,y>0,z>0,求证：≥8. 例 2 21 ∵x>0,y>0,z>0, ∴+≥>0, 当且仅当y=z时,等号成立. +≥>0, 当且仅当x=z时,等号成立. 证明 22 +≥>0, 当且仅当x=y时,等号成立. ∴≥=8, 当且仅当x=y=z时,等号成立. 证明 23 利用基本不等式证明不等式注意点 (1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 反 思 感 悟 24 已知a,b,c为正数,求证：++≥3. 跟踪训练 2 25 左边=+-1++-1++-1=++-3. 因为a,b,c为正数, 所以+≥2(当且仅当a=b时取“=”)； +≥2(当且仅当a=c时取“=”)； +≥2(当且仅当b=c时取“=”). 证明 26 从而++≥6(当且仅当a=b=c时取等号). 所以++-3≥3, 即++≥3. 证明 27 用基本不等式求最值 三 提示　当a>0,b>0时,有①≤；②ab≤；③a+b≥2. 你能写出基本不等式的几种变形吗？ 问题3 若x>0,则x+的最小值为　　　.  例 3 4 因为x>0, 所以x+≥2=4, 当且仅当x=即x=2时,等号成立,因此所求的最小值为4. 解析 30 将本例条件“x>0”改成“x<0”,则x+的最大值为　　.  延伸探究 1 -4 x+=- 因为x<0,则-x>0, 故有-x+≥2=4, 所以-≤-4,当且仅当-x=-即x=-2时,等号成立. 故原式的最大值为-4. 解析 31 将本例条件“x>0”改成“x>2”,则x+的最小值为　　.  延伸探究 2 6 因为x>2,所以x-2>0, 则x+=x-2++2≥2+2=6, 当且仅当x-2=即x=4时,等号成立, 所以x+的最小值为6. 解析 32 将本例条件“x>0”改成“x<2”,则x+的最大值为　　. 延伸探究 3 -2 因为x<2,所以2-x>0, 则x+=x-2++2=-+2≤-2+2=-2, 当且仅当2-x=即x=0时,等号成立, 所以x+的最大值为-2. 解析 33 将本例条件“x>0”改成“x>1”,则2-x-的最大值为　　. 延伸探究 4 -1 2-x-=1+1-x-=1- 由x>1,得x-1>0, 可得(x-1)+≥2=2, 当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立, 故2-x-≤1-2=-1,即2-x-的最大值为-1. 解析 34 (1)利用基本不等式求最值时,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意验证等号成立的条件. (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键,利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 反 思 感 悟 35 1.知识清单： (1)基本不等式：≤(a≥0，b≥0). (2)用基本不等式证明不等式. (3)用基本不等式求最值. 2.常见误区：利用基本不等式求最值时，易忽视“一正、二定、三相等”；多次运用基本不等式时，易忽视等号是否都能取到. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C A C 36 m>n 题号 11 12 13 14 　15 答案 A ACD 6 M≥N 　D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x>0，根据基本不等式可得y==x++3≥2+3=4+3=7， 当且仅当x=，即x=2时取等号， 故函数y=的最小值是7. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b为正实数， 所以a+b≥2，a2+b2≥2ab， a3+b3≥2=2ab， 当且仅当a=b时取等号， 所以(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥2×2ab×2ab=8a3b3， 即(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3， 当且仅当a=b时取等号. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵x<，∴5-4x>0， ∴原式==4x-5++3=-+3≤-2+3=1， 当且仅当5-4x=， 即x=1时，等号成立， 故所求最大值为1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤×=， 当且仅当4-2b=1+2b，即b=时取得等号， ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 基础巩固 1.下列条件不能使+≥2成立的为 A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 √ 根据基本不等式的条件,可知a,b同号, 则满足条件的是A,C,D. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是 A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab| C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab| √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|=2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立). 解析 3.已知x>0,y>0,则+的最小值为 A.15 B.12 C.8 D.6 √ 由基本不等式可知+≥2=12,当且仅当=即y=2x时,等号成立,则+的最小值为12. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.当x>1时,则x+的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 因为x>1,故有x-1>0,所以x+=x-1++1≥2+1=5, 当且仅当x-1=即x=3时等号成立.因此所求的最小值为5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知a>1,b>1,记M=+N=则M与N的大小关系为 A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 √ 因为a>1,b>1, 所以M=+≥2= 当且仅当=时取等号, 又>故M>N. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.下面四个推导过程正确的为 A.当x>0且x≠1时,x+≥2=2 B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4 C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2 D.若a<0,b<0,则≤ab √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中,不满足取等号的条件,故A错误； B中,∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,故B错误； C中,由xy<0,得均为负数,但在推导过程中将整体提出负号后, --均变为正数,符合基本不等式的条件,故C正确； D中,对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,即≥ab,故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知当x=3时,代数式4x+(x>0,a>0)取得最小值,则a=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=即x=时,等号成立, 所以=3,即a=36. 解析 8.已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n的大小关系是　　　.  由a>2,得a-2>0. 又m=a+=(a-2)++2, 所以m≥2+2=4. 当且仅当a-2=即a=3时取等号, 由于b≠0,所以n=2-b2<2<4. 因此m>n. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 m>n 9.已知x>0,求函数y=的最小值. 因为x>0,根据基本不等式可得y==x++3≥2+3=4+3=7, 当且仅当x=即x=2时取等号, 故函数y=的最小值是7. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a,b为正实数, 所以a+b≥2a2+b2≥2ab, a3+b3≥2=2ab 当且仅当a=b时取等号, 所以(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥2×2ab×2ab=8a3b3, 即(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3, 当且仅当a=b时取等号. 证明 10.设a,b为正实数,求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若a∈R,则的最小值是 A.2 B.4 C. D.9 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+≥2=2, 当且仅当=即a=0时,等号成立. 解析 12.(多选)已知x>0,则下列式子的最小值为2的有 A.+ B.2x(2-x) C.2x+ D.x-1+ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为x>0,所以+≥2,当且仅当x=2时取等号,故A正确； 2x(2-x)=-2(x-1)2+2≤2,即最大值为2,故B不正确； 因为x>0,所以2x+≥2,当且仅当x=时取等号,故C正确； 因为x>0,所以x-1+=x+1+-2≥2-2=2, 当且仅当x=1时取等号,故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知x,y为正实数,则+的最小值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 +=+=+2+-2≥2-2=8-2=6, 当且仅当+2=即=2时,等号成立. 所以+的最小值为6. 解析 14.已知a,b,c都是正实数,若M=++N=(a+b+c),则M与N的大小关系是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M≥N 因为a>0,b>0,可得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立, 所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2, 所以a2+b2≥(a+b)2, 所以≥(a+b), 同理可得≥(b+c)≥(c+a), 所以M=++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)], 即++≥(a+b+c), 当且仅当a=b=c时,等号成立,即M≥N. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.《几何原本》第二卷中的几何代数法(几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB.设AC=a,BC=b(a>0,b>0),则该图形可以完成的无字证明为 A.≥ B.a2+b2≥2ab C.≤ D.≤ 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图知,OF=AB=OC= 在Rt△OCF中, CF== 因为CF≥OF,所以≤(a>0,b>0). 解析 16.(1)已知x<求的最大值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x<∴5-4x>0, ∴原式==4x-5++3=-+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=即x=1时,等号成立, 故所求最大值为1. 解 (2)已知0<b<2,求(2-b)(1+2b)的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤×= 当且仅当4-2b=1+2b,即b=时取得等号, ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 解 第3章　§3.2　基本不等式 <<< $