3.1 不等式的基本性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦不等式的基本性质核心知识点，通过糖水变甜实例引入，梳理实数大小比较基本事实，系统呈现对称性、传递性等性质，构建从具体情境到抽象性质的学习支架，衔接等式性质与不等式应用。 特色在于情境化设计与逻辑推理结合，以糖水问题培养数学抽象，通过作差法比较大小和性质证明发展逻辑推理，题型分类清晰且例题解析详细。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识，提升解决实际问题能力。

3.1　不等式的基本性质 课标 要求 1.理解相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质（逻辑推理）. 　　 　　已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），则糖的质量和糖水的质量比为.若再添加m克糖（m＞0）且完全溶解，则糖的质量和糖水的质量比为. 【问题】　（1）添加糖后，糖水会变甜吗？ （2）你能根据这个事实写出a，b，m所满足的不等关系吗？ 　 知识点一　实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 当a－b为正数时，称　a＞b　 a＞b⇔a－b　＞　0 当a－b为0时，称　a＝b　 a＝b⇔a－b　＝　0 当a－b为负数时，称　a＜b　 a＜b⇔a－b　＜　0 【想一想】 　在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b　＜　a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c　＞　b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac　＞　bc c的符号 ⇒ac　＜　bc 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒a＋c　＞　b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac　＞　bd 同向 同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an　＞　bn（n∈N*） 同正 提醒：（1）若a＞b＞0，则0＜＜；若a＜b＜0，则0＞＞；（2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算. 1.已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A.ad＞bc B.ac＞bd C.a－c＞b－d D.a＋c＞b＋d 解析：D　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C.由不等式性质5知，D一定成立. 2.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（　　） A.a＞b B.a＜b C.a≥b D.a≤b 解析：C　a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b. 3.〔多选〕（2026·如皋质检）下列结论中错误的是（　　） A.若x＜y＜0，则＞ B.若x2＝1，则x＝1 C.若x＝y，则＝ D.若x＜y，则x2＜y2 解析：BCD　因为－＝，因为x＜y＜0，故y－x＞0，xy＞0，即－＞0，所以＞，故A正确；由x2＝1，得x＝±1，x不一定为1，故B错误；若x＝y＜0，，无意义，故C错误；若x＜y＜0，x2＞y2，故D错误.故选B、C、D. 4.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b从小到大依次排列的顺序是－a＜b＜－b＜a.（用“＜”连接） 解析：因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又b＜0，则－b＞0，所以－a＜b＜－b＜a. 　 题型一　作差法比较大小 （链接教科书第53页例3）（1）比较两数（a2－1）2与a4－a2＋1的大小； （2）已知：a＞0，b＞0，试比较＋与的大小. 解：（1）因为（a2－1）2－（a4－a2＋1）＝a4－2a2＋1－a4＋a2－1＝－a2. 当a＝0时，－a2＝0，所以（a2－1）2＝a4－a2＋1； 当a≠0时，－a2＜0，所以（a2－1）2＜a4－a2＋1. （2）（＋）－＝，因为a＞0，b＞0，所以＞0，所以＋＞. 通性通法 作差法比较大小的步骤 1.（2026·徐州月考）已知M＝（a＋2）（a＋3），N＝a2＋5a＋4，则（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.M≥N 解析：A　M－N＝（a＋2）（a＋3）－（a2＋5a＋4）＝2＞0，故M＞N.故选A. 2.已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小. 解：因为a≥1， 所以M＝－＞0，N＝－＞0. 又＝＝＋，＝＝＋，－＝－＞0，所以＞＞0，所以M＜N. 题型二　不等式性质的应用 角度1　利用不等式性质判断命题的真假 〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A.0＞a＞b⇒a2＞b2 B.a2＞b2⇒a＞b＞0 C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 解析：CD　对于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由不等式性质7可知，（－b）2＞（－a）2，即b2＞a2，故A为假命题；对于B，不等式性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2，故C为真命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 通性通法 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 角度2　利用不等式性质证明不等式 〔一题多解〕（链接教科书第53页例2）已知c＞a＞b＞0，求证：＞. 证明：法一　－＝＝＝， 因为c＞a＞b＞0，所以c＞0，c－a＞0，c－b＞0，a－b＞0， 所以＞0，所以＞. 法二　因为a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b. 因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b. 上式两边同乘，得＞＞0. 又因为a＞b＞0，所以＞. 通性通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）不等式证明的实质是比较两个实数（代数式）的大小； （2）证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差（商）比较法证明； （3）应用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 角度3　利用不等式性质求代数式的范围 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围. 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2）， 即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范围是（8，32），a－b的取值范围是（－7，2）. 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，求的取值范围. 解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4， ∴1×＜a·＜4×，即＜＜2. 故的取值范围是（，2）. 通性通法 　　利用不等式的性质求范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围. 1.〔多选〕已知＜＜0，则下列结论正确的是（　　） A.a＜b B.ab＞a＋b C.｜a｜＜｜b｜ D.ab＞b2 解析：BC　由＜＜0可得b＜a＜0，显然选项A不正确；因为b＜a＜0，所以ab＞0，a＋b＜0，所以ab＞a＋b，故选项B正确；因为b＜a＜0，所以｜b｜＞｜a｜，故选项C正确；因为b＜a＜0，所以b＜0，a－b＞0，可得ab－b2＝b（a－b）＜0，即ab＜b2，故选项D不正确.故选B、C. 2.已知a＞b＞0，求证：＞. 证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0. ① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0. ② 由①②得＞. 1.（2026·南京期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若a＞b，则b＜a. 性质2：若a＞b，b＞c，则a＞c. 性质3：若a＞b，则a＋c＞b＋c. 性质4：若a＞b，c＞0，则ac＞bc；若a＞b，c＜0，则ac＜bc. 性质5：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d. 性质6：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd. 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明：因为a＞b＞0，c＞0，所以ac＞bc. 因为c＞d＞0，b＞0，所以bc＞bd. 所以ac＞bd. 在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A.性质1和性质2 B.性质2和性质4 C.性质3和性质4 D.性质4和性质5 解析：B　因为a＞b＞0，c＞0，利用性质4得到ac＞bc.因为c＞d＞0，b＞0，利用性质4得到bc＞bd.再由ac＞bc，bc＞bd，利用性质2得到ac＞bd.故选B. 2.已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2（a＋b＋c），那么P与Q的大小关系是（　　） A.P＞Q　　　　　　　 B.P≥Q C.P＜Q D.P≤Q 解析：A　P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝（a－1）2＋（b－1）2＋（c－1）2≥0.∵a，b，c不全相等，∴P－Q＞0，∴P＞Q.故选A. 3.〔多选〕（2026·南京九中月考）下列命题中正确的是（　　） A.若ac2＜bc2，则a＜b B.若a2＜b2，则a＜b C.若a＞b，c＜0，则ac＜bc D.若a＜b，则｜a｜＜｜b｜ 解析：AC　对于A，由于ac2＜bc2，则c≠0，且c2＞0，左右两边同乘以即可得a＜b，故A正确；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a2＜b2，不满足a＜b，故B错误；对于C，符合不等式的性质，故C正确；对于D，当a＝－2，b＝1时，｜a｜＞｜b｜，故D错误.故选A、C. 4.求解不等式－＞，并用不等式的性质说明理由. 解：去分母，得2（x－1）－（x＋2）＞3（4＋3x）.（不等式性质4） 去括号，得2x－2－x－2＞12＋9x. 移项，得2x－x－9x＞2＋2＋12.（不等式性质3） 合并同类项，得－8x＞16，即8x＜－16. 系数化为1，得x＜－2.（不等式性质4） 　　 1.已知a，b∈R，设M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的值的大小关系是（　　） A.M＜N B.M≤N C.M＞N D.M≥N 解析：D　因为M－N＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2≥0，所以M≥N. 2.（2026·江阴月考）设a＞b，c＜d，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋c＞b＋d B.ac＞bd C.a－c＞b－d D.a－d＞b－c 解析：C　令a＝1，b＝－1，c＝－1，d＝1，满足a＞b，c＜d，但a＋c＝b＋d，ac＝bd，a－d＝b－c，故A、B、D中不等式不一定成立；对于C，因为a＞b，c＜d，由不等式的可加性，得a＋d＞b＋c，所以a－c＞b－d，故C中不等式一定成立. 3.设a，b∈R，若a＋｜b｜＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A.a－b＞0 B.a3＋b3＞0 C.a2－b2＜0 D.a＋b＜0 解析：D　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b＜0，a3＋b3＜0，a2－b2＞0，a＋b＝－1＜0.故A、B、C错误，D正确. 4.已知不等式ax－b＞0的解集是{x｜x＞3}，则不等式bx＋a＞0的解集是（　　） A.{x｜x＞－3} B.{x｜x＞－} C.{x｜x＜－3} D.{x｜x＜－} 解析：B　因为ax－b＞0的解集为{x｜x＞3}，所以a＞0，x＞，则＝3，所以b＝3a＞0，不等式bx＋a＞0化为3ax＋a＞0，则3ax＞－a，所以x＞－.故选B. 5.〔多选〕已知1＜a＜3，－5＜b＜－2，则下列结论正确的是（　　） A.a＋b的取值范围为（－4，1） B.a－b的取值范围为（3，8） C.ab的取值范围为（－15，－2） D.的取值范围为 解析：ABC　对于A，因为1＜a＜3，－5＜b＜－2，所以1＋（－5）＜a＋b＜3＋（－2），即－4＜a＋b＜1，所以a＋b的取值范围为（－4，1），故A正确；对于B，因为－5＜b＜－2，所以2＜－b＜5，因为1＜a＜3，所以2＋1＜a＋（－b）＜3＋5，即3＜a－b＜8，所以a－b的取值范围为（3，8），故B正确；对于C，因为1＜a＜3，－5＜b＜－2，则2＜－b＜5，所以2＜－ab＜15，则－15＜ab＜－2，所以ab的取值范围为（－15，－2），故C正确；对于D，因为－5＜b＜－2，所以－＜＜－，则＜－＜，因为1＜a＜3，所以＜－＜，则－＜＜－，所以的取值范围为，故D错误.故选A、B、C. 6.〔多选〕（2026·江阴期中）已知a＜b＜0，c＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A.＞ B.＞ C.＜ D.＜ 解析：AD　由a＜b＜0，c＞0，对于A，由－＝＞0⇒＞，故A正确；对于B，由－＝＜0⇒＜，故B错误；对于C，由－＝＝，因为b＋c的符号不确定，则与的大小无法确定，故C错误；对于D，因为－＝，又a＜b＜0，所以b－a＞0，故－＝＜0，即＜，故D正确.故选A、D. 7.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为y＜－y＜x. 解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x. 8.不等式a＞b和＞同时成立的条件是　a＞0＞b　. 解析：若a，b同号，则a＞b⇒＜，故需a，b异号且a＞b. 9.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件. 解析：∵－＞0，∴＞，∴（）2＞（）2，∴a＞b＞0，∴a2－b2＞0，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出－＞0. 10.（1）已知a＜b＜0，求证：＜； （2）已知a＞b，＜，求证：ab＞0. 证明：（1）由于－＝＝， ∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. （2）∵＜，∴－＜0，即＜0， 而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0. 11.（2026·启东中学期中）已知高一（1）班人数比高一（2）班人数多，两个班的女生总人数比男生总人数多，则下列判断一定正确的是（　　） A.高一（1）班女生人数比男生人数多 B.高一（2）班女生人数比男生人数多 C.高一（1）班男生人数比高一（2）班女生人数多 D.高一（1）班女生人数比高一（2）班男生人数多 解析：D　设高一（1）班男生、女生人数分别为x1，y1，高一（2）班男生、女生人数分别为x2，y2，由题意可得由不等式的基本性质可得x1＋2y1＋y2＞x1＋2x2＋y2，化简可得y1＞x2，即高一（1）女生人数比高一（2）班男生人数多.故选D. 12.〔多选〕设a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A.＞ B.ac＜bc C.｜a｜＞－b D.＞ 解析：ACD　对于A，a＜b＜0，＞，则＞，选项A正确；对于B，当c＞0时选项B成立，当c≤0，选项B不成立，所以选项B错误；对于C，｜a｜＝－a＞－b，则选项C正确；对于D，由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D正确.故选A、C、D. 13.〔一题多解〕（2026·南京中华中学月考）已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则z＝9x－y的取值范围是　[－1，20]　. 解析：法一　设9x－y＝λ1（x－y）＋λ2（4x－y）＝（λ1＋4λ2）x＋（－λ1－λ2）y，则解得由已知得≤－（x－y）≤，－≤（4x－y）≤.上面两式相加，得－1≤9x－y≤20.故z＝9x－y的取值范围是[－1，20]. 法二　令m＝x－y，n＝4x－y，联立方程组解得则9x－y＝－＝－m＋n，因为－4≤m≤－1，－1≤n≤5，可得≤－m≤，－≤n≤，所以－1≤n－m≤20，所以－1≤9x－y≤20，即－1≤z≤20.故z＝9x－y的取值范围是[－1，20]. 14.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出所有符合要求的真命题，并写出推理过程. 解：命题一：若ab＞0，且＞，则bc＞ad. 证明：因为＞，且ab＞0，所以·ab＞·ab，即bc＞ad. 命题二：若ab＞0，且bc＞ad，则＞. 证明：因为ab＞0，所以＞0，又bc＞ad， 所以bc·＞ad·，即＞. 命题三：若bc＞ad，且＞，则ab＞0. 证明：－＞0⇒＞0，又bc＞ad，所以ab＞0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $