2.3.1 全称量词命题与存在量词命题-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题”核心知识点，系统梳理全称量词与存在量词的意义、命题表述形式及真假判断方法，承接命题概念基础，为逻辑推理学习提供支架。 该资料以团体操情境引入激发兴趣，通过识别、真假判断、参数范围等分层题型设计，培养数学抽象（如符号化表示命题）和逻辑推理（如假命题举反例）能力。课中辅助教师引导学生理解，课后练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

2.3　全称量词命题与存在量词命题 2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 课标 要求 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象）. 2.能正确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题（数学抽象）. 3.掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法（数学抽象、逻辑推理）. 　　 　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高一年级； （2）至少有30名学生来自高一（1）班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 【问题】　上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称为什么命题？ 　 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词 符号 ∀ 全称量词命题 含有　全称量词　的命题 形式 ∀x∈M，p（x） 提醒：（1）常见的全称量词还有“一切”“任取（选）”“凡是”等；（2）有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词 符号 ∃ 存在量词命题 含有　存在量词　的命题 形式 ∃x∈M，p（x） 提醒：（1）常见的存在量词还有“有些”“对某个”“至少有一个”等；（2）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 1.下列命题是全称量词命题的是（　　） A.每个四边形的内角和都是360° B.有的实数没有算术平方根 C.∃x∈Z，2x＋1是整数 D.存在一个x∈R，使2x＋1＝3 解析：A　“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词称为全称量词，“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词称为存在量词.故选A. 2.下列命题中的假命题是（　　） A.∀x∈R，｜x｜＋1＞0 B.∀x∈N*，（x－1）2＞0 C.∃x∈R，｜x｜＜1 D.∀x∈R，x2＋1≠0 解析：B　A中命题是全称量词命题，易知｜x｜＋1＞0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，（x－1）2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，｜x｜＝0，故是真命题；D中命题是全称量词命题，∀x∈R，x2≥0，x2＋1≥1≠0，故是真命题.故选B. 3.若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　） A.（1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－∞，1） D.（－∞，1] 解析：D　由题意可知方程x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.故选D. 4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为　对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立　. 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立. 　 题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别 （链接教科书第37页练习1题）判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： （1）自然数的平方大于或等于零； （2）任意实数x，满足x2＋2≥2； （3）有些实数a，b，使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜； （4）存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 解：（1）是全称量词命题， 表示为∀x∈N，x2≥0. （2）是全称量词命题， 表示为∀x∈R，x2＋2≥2. （3）是存在量词命题，表示为∃a，b∈R，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜. （4）是存在量词命题，表示为∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略. 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： （1）不等式x2＋x＋1＞0恒成立； （2）存在一个有理数x，使x2＋x＋1是有理数； （3）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； （4）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 解：（1）是全称量词命题，∀x∈R，x2＋x＋1＞0恒成立. （2）是存在量词命题，∃x∈Q，使x2＋x＋1是有理数. （3）是全称量词命题，∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解. （4）是存在量词命题，∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. 题型二　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 （链接教科书第37页例1）判断下列命题的真假： （1）∃x∈Z，x3＜1； （2）∀x∈R，x2＜x； （3）∃x∈Q，x2－2＝0； （4）∀x∈N，x2＋2＞0. 解：（1）因为当x＝－1时，－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，即x3＜1成立，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题. （2）因为当x＝0时，x2＜x不成立，所以“∀x∈R，x2＜x”是假命题. （3）因为使x2－2＝0成立的x的值只有x＝与x＝－，但它们都不是有理数，所以“∃x∈Q，x2－2＝0”是假命题. （4）因为对任意自然数x，都有x2≥0，x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0成立，所以“∀x∈N，x2＋2＞0”是真命题. 通性通法 全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 〔多选〕下列命题判断为真的是（　　） A.在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P B.每一条线段的长度都能用正有理数来表示 C.至少有一个直角三角形不是等腰三角形 D.存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立 解析：AC　A是真命题.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示.C是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形.D是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根.故选A、C. 题型三　根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A， 因为B≠⌀，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 【母题探究】 1.（变条件）把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围. 解：p为真命题，则A∩B≠⌀，因为B≠⌀，所以m≥2. 所以或 解得2≤m≤4. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤4}. 2.（变设问）把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 解：由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 所以A⊆B，因为B≠⌀， 所以无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 通性通法 根据全称（存在）量词命题的真假求参数范围的策略 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围. 1.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是{a｜a≤3}. 解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 2.若命题“∃x∈R，2x2－4x＋a＝0”为真命题，则实数a的取值范围是　{a｜a≤2}　. 解析：∵命题“∃x∈R，2x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程2x2－4x＋a＝0存在实数根，则Δ＝（－4）2－8a≥0，解得a≤2.即实数a的取值范围是{a｜a≤2}. 1.下列结论正确的个数是（　　） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称量词命题； ③命题“存在一个x∈R，使得x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题. A.0　　　　　　　　　B.1 C.2 D.3 解析：C　①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称量词命题，故②正确；③命题“存在一个x∈R，使得x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题，故③正确.故选C. 2.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A.∃x∈Z，x3＝3 B.∃x∈R，3x＋1是整数 C.∀x∈R，｜x｜＞3 D.∀x∈Q，x2∈Z 解析：B　A、B为存在量词命题，C、D为全称量词命题.A中，由x3＝3得x＝，所以选项A为假命题；B中，当x＝1时，3x＋1＝4是整数，所以选项B为真命题；故选B. 3.若命题“∃x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　{a｜a＜3}　. 解析：当a≤0时，显然存在x＞1，使ax－3＜0；当a＞0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3＜0，得a＜3，故0＜a＜3.综上所述，实数a的取值范围是{a｜a＜3}. 　　 1.下列命题中是存在量词命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＞0 B.∃x∈R，x2≤0 C.平行四边形的对边平行 D.矩形的任一组对边相等 解析：B　A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B. 2.下列命题中的假命题是（　　） A.∃x∈R，｜x｜＝0　　　B.∃x∈R，2x－10＝1 C.∀x∈R，x3＞0 D.∀x∈R，x2＋1＞0 解析：C　当x＝0时，x3＝0，选项C为假命题.故选C. 3.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　） A.所有能被2整除的正数都是偶数 B.存在三角形的一个内角，其余弦值为 C.∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解 D.∀x∈N，x3＞x2 解析：D　对于A，所有能被2整除的正数都是偶数，含有全称量词“所有”，是全称量词命题，为真命题，故A不符合题意；对于B，含有量词“存在”，不是全称量词命题，故B不符合题意；对于C，∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解，为存在量词命题，故C不符合题意；对于D，∀x∈N，x3＞x2，是全称量词命题，当x＝1或0时，x3＝x2，故为假命题，满足题意，故选D. 4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使＞2 解析：B　A是全称量词命题.B为存在量词命题，当x＝0时，x2≤0成立，所以B正确.因为＋（－）＝0，所以C为假命题.对于任意一个负数x，都有＜0，所以D错误.故选B. 5.〔多选〕下列存在量词命题是真命题的有（　　） A.有的集合中不含有任何元素 B.存在对角线不互相垂直的菱形 C.∃x∈R，满足3x2＋2＞0 D.有些整数只有两个正因数 解析：ACD　由空集中不含任何元素，故A正确；由菱形的对角线互相垂直，故B错误；因为3x2＋2≥2＞0，故C正确；素数只有两个正因数，故D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕下列命题中为假命题的是（　　） A.∀x∈Z，x4≥1 B.∃x0∈Q，＝3 C.∀x∈R，｜x＋1｜＞0 D.∃x0∈N，｜｜≤0 解析：ABC　对于A，取x＝0，可知04＜1，所以命题∀x∈Z，x4≥1为假命题；对于B，由＝3，可得x0＝±，显然±不是有理数，所以命题∃x0∈Q，＝3为假命题；对于C，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故命题∀x∈R，｜x＋1｜＞0为假命题；对于D，当x0＝0时，｜｜≤0成立，所以命题∃x0∈N，｜｜≤0为真命题.故选A、B、C. 7.命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为　∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0. 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. 8.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对（a，b）为　（，）（答案不唯一）　. 解析：由题意可知（，），（，），（，）等等都符合题意. 9.若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围为　　. 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝（－3）2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为. 10.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假： （1）对任意实数a，｜a｜＞0； （2）有一个实数x，使得x2－x－2＝0. 解：（1）是全称量词命题.因为｜0｜＝0，所以｜a｜＞0不都成立，因此，该命题是假命题. （2）是存在量词命题.因为当x＝2时，x2－x－2＝0成立，所以该命题是真命题. 11.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是（　　） A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3} C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3} 解析：D　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a＜－3.故选D. 12.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.存在x＜0，使｜x｜＞x B.对于一切x＜0，都有｜x｜＞x C.不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0 D.已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝⌀ 解析：ABC　A、B显然为真命题，故A、B正确；由Δ＝22－4×1×2＝－4＜0得，x2＋2x＋2＝0无实数解，故C为真命题；已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，如n＝2，3时，6∈（A∩B），故D为假命题.故选A、B、C. 13.已知“∀x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，则m＋n的取值范围为　（2，＋∞）　. 解析：由“∀x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0，故m＋n的取值范围为（2，＋∞）. 14.已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}. （1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 解：（1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $