2.1 命题、定理、定义-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“命题、定理、定义”核心知识点，通过王维《相思》诗句情境导入，区分陈述句、疑问句等语句类型，引导学生从生活语言抽象出命题概念，结合“想一想”互动和自我诊断构建学习支架，衔接后续逻辑用语学习。 其亮点在于以数学眼光观察生活语言，通过典例研析分层设计题型，总结“通性通法”培养逻辑推理（数学思维），如判断命题策略、改写“若p则q”形式方法。学生能从具体到抽象理解概念，教师可借助结构化内容提升教学效率。

2.1　命题、定理、定义 第二章　常用逻辑用语 1 课标 要求 1.理解命题、定理、定义的概念（数学抽象、逻辑推理）. 2.会判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式 （数学抽象、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这首诗名为 《相思》，是唐代诗人王维的作品. 【问题】　（1）在这4句诗中，哪句是陈述句？哪句是疑问句？哪句是祈 使句？哪句是感叹句？ （2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？诗中哪句可以作为命题？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　命题 1. 命题的定义：可 的陈述句叫作命题. 2. 命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q” 或“若p，则q”的形式，其中 叫作命题的条件， ⁠叫作命题 的结论. 3. 命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假 命题. 提醒：判断命题为真，需要进行证明，判断命题为假，只需举出一个反例 即可. 判断真假　 p　 q　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 陈述句一定是命题吗？ 提示：不一定. 2. 命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论分别是什么？ 提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0. 3. “若p，则q”形式的命题一定是真命题吗？ 提示：不一定. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　定理、定义 1. 定理：在数学中，有些已经被证明为 ⁠的命题可以作为推理的依据 而直接使用，一般称之为定理. 2. 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中 对象的内涵. 提醒：（1）数学中的定理、推论和定义都是真命题；（2）数学中的定义 既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质. 真　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 〔多选〕下列语句是命题的是（　　） A. 集合{a，b，c}有3个子集 B. x2－3x＋2＝0 C. 一个数不是合数就是素数 D. 4是集合{1，2，3}中的元素 √ √ √ 解析： 　选项A、C、D是陈述句，且能判断真假，是命题，选项B不 能判断真假.故选A、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 语句“若a＝b，则a＋c＝b＋c”（　　） A. 不是命题 B. 是真命题 C. 是假命题 D. 不能判断真假 解析： 　语句是陈述句，且是真的，所以是真命题.故选B. 3. 下列命题是真命题的是 （填序号）. ①若a＝b，则a2＝b2；②若a2＝b2，则a＝b；③对顶角相等；④两直线 平行，同旁内角互补. √ ①③④ 解析：序号①③④的命题是真命题，序号②中，若a2＝b2，则a＝±b， 是假命题. 4. 把命题：“角α平分线上的任意一点到角两边的距离相等”改写成“若 p，则q”的形式为 ⁠ ⁠. 若点P是角α平分线上的任意一点，则它到角α两边的 距离相等 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　命题的概念 判断下列语句是否是命题，并说明理由： （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； 解： “有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形”是陈述句，且 是真的，所以它是命题. （2）3x2≤5； 解： 因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题. （3）2是质数吗？ 解： “2是质数吗？”是疑问句，所以它不是命题. （4）若x2＝1，则x＝1. 解： “若x2＝1，则x＝1”是陈述句，且是假的，所以它是命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 判断语句是否是命题的策略 （1）命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等 都不是命题； （2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真 假，若能，就是命题；若不能，就不是命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 .（填序号） ①求证： 是无理数； ②x＞8； ③若x＋y是有理数，则x，y也都是有理数； ④若x＝2，则x2－1＞0. ③④ ④　 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析：①是祈使句，不是命题.②不可以判断真假，不是命题.③是可以判 断真假的陈述句，是命题.当x＝－ ，y＝ 时，x＋y为有理数，但 x，y不是有理数，所以③是假命题.④是命题，x＝2时，x2－1＝3＞0，可 以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题.故③④是命题，④ 是真命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　命题的结构 （链接教科书第27页例1）指出下列命题中的条件p和结论q： （1）若a≤0，则｜a｜≥0； 解： p：a≤0，q：｜a｜≥0. （2）如果四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形； 解： p：四边形的一组对边平行且相等，q：这个四边形是平行四 边形. （3）菱形的对角线互相垂直. 解： p：四边形是菱形，q：对角线互相垂直. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 命题的结构分析 （1）任何命题都是由“条件”与“结论”组成，有些命题的“条件”较 为隐含，需结合相关知识抽离； （2）有些命题存在“大前提”条件，在分析命题的条件与结论时，不要 将“大前提”与该命题的条件混为一谈. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　指出下列命题中的条件p和结论q： （1）若x＋y＝0，则x，y互为相反数； 解： p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数. （2）当x＝4时，2x＋1＜0； 解： p：x＝4，q：2x＋1＜0. （3）若x＝3或x＝7，则（x－3）（x－7）＝0. 解： p：x＝3或x＝7，q：（x－3）（x－7）＝0. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　命题的改写 （链接教科书第28页例2）将下列命题改写成“若p，则q”的形式： （1）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有实数解； 解： 若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有实数解. （2）已知x，y∈N，当y－x＝2时，y＝4，x＝2； 解： 已知x，y∈N，若y－x＝2，则y＝4，x＝2. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 解： 若一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四 边形. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则 提醒：若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时， 大前提仍应作为大前提，不能写在条件中. 数学·必修第一册（SJ） 目录 将下列命题改写成“若p，则q”的形式： （1）奇数不能被2整除； 解： 若一个数是奇数，则它不能被2整除. （2）当（a－1）2＋（b－1）2＝0时，a＝b＝1； 解： 若（a－1）2＋（b－1）2＝0，则a＝b＝1. （3）两个相似三角形是全等三角形. 解： 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型四　命题真假的判断 （链接教科书第28页例3）判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若｜a｜＜b，则a2＜b2； 解： 是真命题，因为b＞｜a｜≥0，所以b2＞a2，即a2＜b2. （2）若a＝b，则 ＝ ； 解： 是假命题，当a＝b＝－2时， 与 没有意义. （3）正方形的邻边互相垂直； 解： 是真命题，由正方形的性质可知，正方形四个内角都是90°， 所以其邻边互相垂直. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （4）同底等高的两个三角形面积相等. 解： 是真命题，由三角形的面积公式可知，同底等高的两个三角形 面积相等. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 命题真假的判定方法 （1）真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证 明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的 正确结论推证； （2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判 断一个命题为假命题的常用方法. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列命题是真命题的是（　　） A. 若ab＝1，则a，b互为倒数 B. 平面内，四条边相等的四边形是正方形 C. 平行四边形是梯形 D. 若ac2＝bc2，则a＝b √ 解析： A是真命题；B中，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不 一定是正方形；C中，平行四边形不是梯形；D中，当c＝0时，a，b可能 不相等.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知不等式x－5≤0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围 是 ⁠. 解析：由题意得A＝{x｜x≤5}，又∵a∈A是假命题，即a∉A，∴a＞ 5，则a的取值范围是（5，＋∞）. （5，＋∞） 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列语句为命题的是（　　） A. x2－1＝0 B. 2＋3＝8 C. 方程x2＋2x＋1＝0有实数解吗？ D. a＞b √ 解析： 　命题是可以判断真假的陈述句.A中x不确定，x2－1＝0的真假 无法判断，故不是命题；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述 句，故不是命题；D中a与b的大小关系不确定，无法判断真假，故不是命 题.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列命题是真命题的是（　　） A. 所有质数都是奇数 B. 若a≥0，则｜a｜≥0 C. 相似三角形的对应角相等 D. 若m是偶数，则m是合数 √ √ 解析： 　2是质数，但不是奇数，选项A错误；易知选项B正确；由相似 三角形的性质，易知选项C正确；2是偶数，但不是合数，选项D错误.故选 B、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若命题“当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数解”为真 命题，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：由题意知Δ＝4－4a＞0，解得a＜1，则实数a的取值范围是（－ ∞，1）. 4. 将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假： （1）当a＞b时，有ac2＞bc2； 解： 若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题. （2）实数的平方是非负实数. 解： 若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题. （－∞，1） 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x｜x2＋1＝0}，其 中命题的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④ 不是陈述句，不是命题.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若ab＞0，则a＞0，b＞0 B. 若ab＞0，则a＜0，b＜0 C. 若ab＝0，则a＝0且b＝0 D. 若ab＝0，则a＝0或b＝0 √ 解析： 　若ab＞0，则a，b可能同为负数，故A项错误；若ab＞0，则 a，b可能同为正数，故B项错误；若ab＝0，则a＝0或b＝0，故C错误， D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 下列命题为假命题的是（　　） A. 若x＞1，则x2＞1 B. 若x2＝1，则x＝±1 C. 若｜x｜＝｜y｜，则x＝y D. 若 ＝ ，则x＝y √ 解析： 　C中，因为｜x｜＝｜y｜，所以x＝y或x＝－y，所以C为假命 题；A、B、D为真命题.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 下列命题中是真命题的为（　　） A. 面积相等的三角形全等 B. 若ab＝0，则｜a｜＋｜b｜＝0 C. 若x∈N，则x3＞x2成立 D. 矩形的对角线相等 √ 解析： 　A中，面积相等的三角形不一定全等，是假命题；B中，若a＝ 3，b＝0，则ab＝0，但｜a｜＋｜b｜≠0，是假命题；C是假命题，当x ＝0时，x3＞x2不成立；D中，矩形的对角线一定相等，是真命题.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命 题的a的值可以是（　　） A. 4 B. 2 C. 0 D. －3 √ √ √ 解析： 　方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0，故符合条件的值为4， 2，－3.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 命题“若实数a，b满足2a＋b＞3，则a＞1且b＞1”是 命题. （填“真”或“假”） 解析：当a＝0，b＝4时，满足2a＋b＞3，所以命题是假命题. 假 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的 形式为 ⁠. 若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 ①直角的补角是直角；②同旁内角互补；③过直线l外一点A作直线AB⊥l 于点B；④两个锐角的和是钝角. 8. 下列语句中，真命题的个数是 ⁠. 1 解析：直角的补角是直角，所以①为真命题；只有两直线平行时同旁内角 才互补，所以②为假命题；③中的语句是祈使句，不是命题；30°与20° 的和为锐角，所以④为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中 能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 .（填序号） 解析：对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b＞2矛 盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；对于②，若 a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故由②不能推出“a，b中至少有一 个大于1.” ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 写出下列命题的条件p和结论q，并判断真假： （1）若x＋y≠8，则x≠2或y≠6； 解： p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，是真命题. （2）若xy＝0，则x，y中至少有一个为0. 解： p：xy＝0，q：x，y中至少有一个为0，是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 设a，b∈R，则下列命题是真命题的是（　　） A. 若a＜b，则a2＜b2 B. 若a≠b，则a2≠b2 C. 若a＜｜b｜，则a2＜b2 D. 若a＞｜b｜，则a2＞b2 √ 解析： 　因为a＝－1＜b＝1，a2＝b2，所以A错误；因为a＝1≠b＝－ 1，a2＝b2，所以B错误；因为a＝－1＜｜b｜＝1，a2＝b2，所以C错误； 因为a＞｜b｜≥0，a2＞b2，所以D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假 命题，那么下列命题中是真命题的是（　　） A. M中的元素都不是P中的元素 B. M中有不属于P的元素 C. M中有属于P的元素 D. M中的元素不都是P中的元素 √ √ 解析： 　因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命 题，因此M中有不属于P的元素，也可能有属于P的元素，故A、C错误， B、D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：由“若x＞1，则x＞a”是真命题，则a≤1，即实数a的取值范围 是（－∞，1]. （－ ∞，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假： （1）负数的立方是负数； 解： 若一个数是负数，则它的立方是负数.真命题. （2）已知a∈R，当x＋a为无理数时，x为无理数. 解： 已知a∈R，若x＋a为无理数，则x为无理数.假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $