1.1 第2课时 集合的表示-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学集合的表示，系统梳理列举法、描述法、Venn图的定义及注意点，结合集合分类（有限集、无限集、空集），通过问题引入、“想一想”深化理解，构建从具体到抽象的学习支架。 以历史情境引入激发兴趣，培养数学眼光中的抽象与创新意识，如“中国”别称引出集合表示多样性。通过“提醒”“通性通法”引导严谨推理，提升数学思维中的推理意识，课中例题解析助力教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化数学语言精确表达。

第2课时　集合的表示 　　 　　中国是四大文明古国之一，有着五千年的历史.“中国”一词，最早见于西周的青铜器“何尊”的铭文.新疆和田地区民丰县尼雅遗址出土的汉代织锦护臂上的“五星出东方利中国”，是迄今为止新疆地区发现的最早的“中国”二字.中华文明源远流长，历史上，在不同的时期有许多别称，像中华、华夏、九州等等. 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 　 知识点一　列举法 　将集合的元素　一一列举出来　，并置于花括号“{　}”内，这种表示集合的方法称为列举法. 提醒：用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 【想一想】 小于100的正整数集合可以用列举法表示为{1，2，3，…，98，99}吗？ 提示：可以.当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可以用列举法表示. 知识点二　描述法 　将集合的　所有元素　都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x｜p（x）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.其中x为集合的代表元素，p（x）指元素x具有的性质. 提醒：用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②不能出现未被说明的字母，如{x｜x＝2m，x∈Z}中m未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x｜x＝2m，x∈Z}，m∈N*”不符合要求. 【想一想】 集合A＝{x｜x－1＝0}与集合B＝{1}相等吗？ 提示：A＝{x｜x－1＝0}＝{1}与集合B相等. 知识点三　Venn图 　为了直观地表示集合，常画一条　封闭　的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图. 【想一想】 用Venn图表示集合的优点和缺点是什么？ 提示：用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，能直观地表示集合之间的关系；缺点是集合中元素的特征性质不明显. 知识点四　集合的分类 　按照集合中元素的个数分类 （1）有限集：含有　有限　个元素的集合称为有限集； （2）无限集：含有　无限　个元素的集合称为无限集； （3）空集：把　不含任何　元素的集合称为空集，记作⌀. 提醒：⌀与0，{0}，{⌀}之间的关系 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合；0是实数 ⌀不含任何元素；{0}含一个元素0 ⌀不含任何元素；{⌀}含一个元素，该元素是⌀ 1.方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　） A.{1，3} B.{1} C.{x2－4x＋3＝0} D.{x＝1，x＝3} 解析：A　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，∴用列举法表示实数根组成的集合为{1，3}. 2.〔多选〕下列集合中，是空集的是（　　） A.{x｜x＞6，且x＜5} B.{x｜x2＋1＝0，x∈N} C.{x｜x2＋x＋1＝0，x∈R} D.{（x，y）｜x2＝－y2，y∈R} 解析：ABC　D中，{（x，y）｜x2＝－y2，y∈R}＝{（0，0）}，A、B、C表示的是空集.故选A、B、C. 3.用列举法表示由大于－1小于5的自然数组成的集合为　{0，1，2，3，4}　. 解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4，故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}. 4.用描述法表示不等式3x＋2＞5的解集为　{x｜x＞1}　. 解析：由不等式3x＋2＞5得x＞1，用描述法可表示为{x｜x＞1}. 　　 题型一　用列举法表示集合 （链接教科书第7页例1）用列举法表示下列集合： （1）小于12的非负偶数组成的集合； （2）不大于20的所有质数组成的集合； （3）一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合. 解：（1）因为非负表示大于或等于0，所以小于12的非负偶数组成的集合是{0，2，4，6，8，10}. （2）因为不大于20表示小于或等于20，所以不大于20的所有质数组成的集合是{2，3，5，7，11，13，17，19}. （3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），故交点组成的集合是{（0，1）}. 通性通法 用列举法表示集合的步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开. 1.方程组的解集是（　　） A.（－5，4） B.（5，－4） C.{（－5，4）} D.{（5，－4）} 解析：D　解方程组得故解集为{（5，－4）}.故选D. 2.用列举法表示下列给定的集合： （1）“Welcome”中的所有字母构成的集合； （2）方程x3＝x的所有实数根组成的集合； （3）直线y＝－3x＋12上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合. 解：（1）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}. （2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以用列举法表示为{0，1，－1}. （3）当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝3，所以在直线y＝－3x＋12上满足x∈N*，y∈N*的所有点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}. 题型二　用描述法表示集合 （链接教科书第7页例2）用描述法表示下列集合： （1）大于－1的所有偶数组成的集合； （2）不等式－3＜2x－1≤3的解集； （3）坐标平面内第一象限的点组成的集合. 解：（1）偶数可表示为x＝2k，k∈Z，又因为大于－1，所以x＞－1，故此集合表示为{x｜x＞－1，x＝2k，k∈Z}. （2）由－3＜2x－1≤3得－1＜x≤2，故此集合表示为{x｜－1＜x≤2，x∈R}. （3）第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合表示为{（x，y）｜x＞0，y＞0}. 通性通法 描述法表示集合的步骤 提醒：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法. 1.集合{（x，y）｜y＝2x－1}表示（　　） A.方程y＝2x－1 B.点（x，y） C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合 解析：D　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D. 2.用描述法表示下列集合： （1）所有奇数组成的集合； （2）大于1且小于8的有理数组成的集合； （3）被3除余2的正整数组成的集合. 解：（1）奇数可表示为x＝2k－1，k∈Z，因此，这个集合表示为{x｜x＝2k－1，k∈Z}. （2）大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x｜1＜x＜8，x∈Q}. （3）根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n＋2，n∈N}. 题型三　集合表示法的应用 若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2， 此时集合A＝{2}. 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}. 【母题探究】 1.（变条件）若集合A中有2个元素，求实数k的取值范围. 解：由题意得 解得k＜1，且k≠0. 故实数k的取值范围为{k｜k＜1，且k≠0}. 2.（变条件）若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围. 解：（1）当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1； （2）当集合A中没有元素时，即A＝⌀，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k＞1. 综上，实数k的取值范围为{k｜k＝0或k≥1}. 通性通法 集合与方程综合问题的解题策略 （1）已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数求参数问题，常把集合问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数解； （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果； （3）求出参数的值（范围）后务必要检验是否满足集合中元素的互异性. 1.已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＋b＝　11　. 解析：由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6，a＋b＝11. 2.（2026·扬州质检）已知集合A＝{x｜x2＋2x＋a＝0，a∈R}＝⌀，则a的取值范围是　a＞1　. 解析：∵A＝{x｜x2＋2x＋a＝0，a∈R}＝⌀，∴方程x2＋2x＋a＝0无解，即Δ＝4－4a＜0，解得a＞1. 1.用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为（　　） A.{x｜2＜x＜5，x∈N}　B.{2，3，4，5} C.{2＜x＜5} D.{3，4} 解析：D　大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3，4}.故选D. 2.〔多选〕已知集合A＝{x｜kx2－3x＋1＝0，k∈R}.若集合A中仅有一个元素，则实数k的值为（　　） A.0 B.2 C. D.－ 解析：AC　当k＝0时，x＝，符合题意；当k≠0时，Δ＝（－3）2－4k＝0，所以k＝.综上，集合A中仅含有一个元素时，k＝0或k＝.故选A、C. 3.（2026·江苏靖江高中月考）集合A＝{x｜0＜x＜8，x∈Z}，则B＝{y｜∈N*，y∈A}用列举法表示为　{2，3，4，5，7}　. 解析：由题意，A＝{1，2，3，4，5，6，7}，由∈N*且y∈A，则y∈{2，3，4，5，7}，故B＝{2，3，4，5，7}. 4.已知集合A＝{x｜y＝x2}，B＝{y｜y＝x2}，C＝{（x，y）｜y＝x2}，这三个集合相等吗？试说明理由. 解：三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样.集合A表示y＝x2中x的取值范围，x∈R，∴A＝R；集合B表示y＝x2中y的范围，B＝{y｜y≥0}；集合C表示y＝x2上的点组成的集合. 1.设A＝{x｜x≥2}，a＝3，下列各式正确的是（　　） A.0∈A　　　　　　 　 B.a∉A C.a∈A D.－a∈A 解析：C　集合A＝{x｜x≥2}，∵a＝3，3＞2，∴a∈A. 2.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　） A.{x｜－3＜x＜11，x∈Z} B.{x｜－3＜x＜11} C.{x｜－3＜x＜11，x＝2k} D.{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} 解析：D　由题意可知，满足题设条件的只有选项D.故选D. 3.集合{x，x2－1，2}中的x不能取的值是（　　） A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 解析：C　由集合的互异性可知，x≠x2－1，或x≠2，或x2－1≠2，得x≠，或x≠2，或x≠±，故选C. 4.将集合M＝{（x，y）｜y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}，用列举法表示正确的是（　　） A.{0，1，2} B.{4，7，8} C.{（1，7），（2，4）} D.{（0，8），（1，7），（2，4）} 解析：D　集合M是点集不是数集，故A、B错误；∵x∈N，y∈N，∴当x＝0时，y＝8∈N，即点（0，8）∈M；当x＝1时，y＝7∈N，即点（1，7）∈M；当x＝2时，y＝4∈N，即点（2，4）∈M；当x≥3时，y＝－x2＋8＜0，此时y∉N；综上可知M＝{（0，8），（1，7），（2，4）}，故选D. 5.〔多选〕（2026·宿迁质检）已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（　　） A.（1，3）∈B　　　　　　B.（0，0）∉B C.0∈A D.A＝B 解析：AB　∵集合B是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴A、B正确，C、D错误.故选A、B. 6.〔多选〕下列关于集合的说法正确的是（　　） A.{2，3}≠{3，2} B.{（x，y）｜x＋y＝1}＝{y｜x＋y＝1} C.{x｜x＞1}＝{y｜y＞1} D.{x｜x＋y＝1}＝{y｜x＋y＝1} 解析：CD　根据集合元素的无序性和集合的表示，可得{2，3}＝{3，2}，所以A不正确；根据集合的表示方法，可得集合{（x，y）｜x＋y＝1}表示点集，集合{y｜x＋y＝1}表示数集，所以{（x，y）｜x＋y＝1}≠{y｜x＋y＝1}，所以B不正确；根据集合的表示方法，可得集合{x｜x＞1}＝{y｜y＞1}，所以C正确；根据集合的表示方法，可得集合{x｜x＋y＝1}＝R，{y｜x＋y＝1}＝R，所以{x｜x＋y＝1}＝{y｜x＋y＝1}，所以D正确.故选C、D. 7.如图所示的Venn图表示的集合，用描述法可表示为　{x｜0＜x＜6，x∈Z}（答案不唯一）　. 解析：由Venn图可知，其表示的集合用描述法可表示为{x｜0＜x＜6，x∈Z}. 8.方程组的解集用列举法可表示为　{（1，－1），（－2，2）}　. 解析：由方程组可得或所以方程组的解集是{（1，－1），（－2，2）}. 9.定义P*Q＝{ab｜a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P*Q中元素的个数是　6　. 解析：若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1，2，3；若a＝2，则ab＝2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素. 10.用适当的方法表示下列集合： （1）由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； （2）方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合； （3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 解：（1）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}. （2）方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x｜x2－4x＋4＝0，x∈R}. （3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y｜y＝x2＋2x－10}. 11.下列选项中是集合A＝{（x，y）｜x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是（　　） A.（，4） B.（，） C.（3，4） D.（4，3） 解析：D　对于A，当x＝，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故A错误；对于B，当x＝，y＝时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当x＝3，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝4，y＝3时，由得k＝12，满足题意，故D正确.故选D. 12.〔多选〕设集合M＝{x｜x＝2n＋1，n∈Z}.P＝{y｜y＝2k，k∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则（　　） A.a∈M B.a∈P C.b∈M D.b∈P 解析：AD　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2（n＋k）＋1∈M，x0y0＝2k（2n＋1）＝2（2nk＋k）∈P，即a∈M，b∈P.故选A、D. 13.用描述法表示如图中的阴影部分可以是　{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}　. 解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示. 14.已知集合A＝{x｜x＝m＋n，m，n∈Z}. （1）试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝（1－2）2与集合A的关系； （2）设p，q∈A，证明pq∈A. 解：（1）x1＝－＝0＋（－1）×， 因为0，－1∈Z，所以x1∈A； x2＝＝＝1＋×， 因为1∈Z，∉Z，所以x2∉A； x3＝（1－2）2＝9－4＝9＋（－4）×， 因为9，－4∈Z，所以x3∈A. （2）证明：因为p，q∈A，所以可设p＝m1＋n1，q＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z， 所以pq＝（m1＋n1）（m2＋n2） ＝m1m2＋（m2n1＋m1n2）＋2n1n2 ＝（m1m2＋2n1n2）＋（m2n1＋m1n2）. 因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以pq∈A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $