1.3交集并集 讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦集合的交集与并集核心知识点，基于集合基本概念，系统梳理交集（公共元素）、并集（所有元素）的含义、符号（∩、∪）及性质（交换律、结合律等），借助Venn图和数轴工具构建从概念到运算的学习支架，为含参数集合问题等后续内容奠基。 该资料以核心素养为导向，通过重难点表格精准突破（如紧扣“公共元素”“所有元素”关键词培养抽象能力），分知识点精练涵盖基础运算到含参数问题（如A∩B=B时B⊆A的推理训练），实际应用问题（如兴趣小组人数计算）培养模型意识。课中辅助教师落实数形结合思想，课后通过答案解析帮助学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

1.3 交集、并集 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解两个集合的交集与并集的含义，能正确使用符号 ∩、∪； 能借助 Venn 图和数轴求两个集合的交集、并集； 掌握交集、并集的基本运算性质，并会简单应用； 能利用交集、并集解决含参数的集合问题； 进一步体会数形结合、分类讨论思想。 【重难点梳理】（表格） 类别 内容要点 突破策略 重点 交集、并集的概念与运算 紧扣“公共元素”和“所有元素”两个关键词 重点 利用数轴求连续数集的交、并 注意端点的开闭，必要时单独验证 难点 含参数的集合 A∩B=∅ 或 A∪B=B 等问题 画数轴、分类讨论、验证端点 难点 Venn 图表示交集、并集、补集的综合关系 先从简单两圆模型入手 易错 端点开闭判断（尤其 a 取边界值时） 代入端点检验是否属于结果集合 一、教材知识点盘点（请先独立填写，再对照第四节答案） 1. 交集 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作___【1】___，读作“___【2】___”。 符号表示：A∩B=___【3】___。 性质：A∩A=___【4】___；A∩∅=___【5】___；若 A⊆B，则 A∩B=___【6】___。 ▲ 图1：A∩B 的 Venn 图表示 2. 并集 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作___【7】___，读作“___【8】___”。 符号表示：A∪B=___【9】___。 性质：A∪A=___【10】___；A∪∅=___【11】___；若 A⊆B，则 A∪B=___【12】___。 ▲ 图2：A∪B 的 Venn 图表示 3. 数轴上的直观表示 ▲ 图3：A=[－1,3)，B=(1,4] 时 A∩B=(1,3)，A∪B=[－1,4] 4. 常用运算性质 （1）交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A。 （2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 （3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。 （4）补集与交并的德摩根律：(A∩B)=___【13】___；(A∪B)=___【14】___。 ▲ 图4：(A∪B) 的 Venn 图表示 二、随堂练习 1. 设 A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求 A∩B 和 A∪B。 2. 设 A={x | x>1}，B={x | x<4}，求 A∩B 和 A∪B。 3. 已知全集 U=R，A={x | －1≤x≤2}，B={x | 0<x≤3}，求 A∩B、A∪B、(A∩B)。 4. 在 Venn 图中用阴影表示 A∩B 与 A∪B（请使用下方空白 Venn 图作图）。 5. 若 A={x | x²－4=0}，B={x | x²－x－2=0}，求 A∩B 和 A∪B。 6. 设 A={x|x 是奇数}，B={x|x 是偶数}，则 A∩B=______，A∪B=______（用常用数集符号表示）。 7. 已知全集 U=R，A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}。求 A∩B、A∪B、(A∩B)。 三、分知识点精练 知识点1：交集运算 1. 若 A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，则 A∩B=（　） A. {2} B. {4} C. {2,4} D. {1,2,3,4,6} 2. 设 A={x | x+1>0}，B={x | x－2<0}，则 A∩B=（　） A. {x | x>－1} B. {x | x<2} C. {x | －1<x<2} D. R 3. 已知 A={x | x²=1}，B={x | ax=1}，若 A∩B=B，求实数 a 的取值集合。 4. 设 A={x | 1<x<4}，B={x | x≥a}，若 A∩B={x | 2≤x<4}，求 a 的值。 5. 若 A={(x,y) | y=x+1}，B={(x,y) | y=－x+3}，求 A∩B。 6. 设 A={(x,y)|x+y=4}，B={(x,y)|x－y=0}，则 A∩B=______。 7. 集合 A={x|x²－5x+6=0}，B={x|2x－4=0}，则 A∩B=______。 知识点2：并集运算 8. 若 A={1,2,3}，B={3,4,5}，则 A∪B=（　） A. {3} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2} D. {4,5} 9. 设 A={x | －2≤x≤3}，B={x | x<－1 或 x>4}，则 A∪B=（　） A. {x | x≤3 或 x>4} B. {x | x<－1 或 x≥－2} C. R D. {x | x≤3 或 x≥－2} 10. 已知 A={x | x²－5x+6=0}，B={x | x²－x－2=0}，求 A∪B。 11. 设 A={x | x<－2 或 x>3}，B={x | a≤x≤a+2}，若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围。 12. 已知 A={x | －1<x<3}，B={x | x<a}，若 A∪B=B，求 a 的取值范围。 13. 设 A={x|x<0}，B={x|x>1}，则 A∪B=______。 14. 已知集合 A={1,2,3}，B={x|x²－9=0}，则 A∪B=______。 知识点3：交、并、补综合运算 15. 设 U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,4,5,7}，B={1,3,5,7}，则(A∪B)=（　） A. {5,7} B. {2,4,6,8} C. {6,8} D. {1,2,3,4,6,8} 16. 全集 U=R，A={x | x²－3x+2≤0}，B={x | x－a<0}，若 (A)∩B=∅，求 a 的取值范围。 17. 已知全集 U=R，A={x | x²－x－6≤0}，B={x | x²－4x－5>0}，求 A∩B 与 A∪(B)。 18. 设 A={x | x²+4x=0}，B={x | x²+2(a+1)x+a²－1=0}。 （1）若 A∩B=B，求实数 a 的取值范围； （2）若 A∪B=B，求实数 a 的值。 19. 全集 U=R，A={x|x≤0}，B={x|－1<x<2}，则 (A)∩B=______。 20. 设全集 U={x∈N|x≤8}，A={1,2,3}，B={2,4,6}。求 A、B、A∩B、A∪B。 知识点4：实际应用 21. 某班有 50 名学生，其中参加数学兴趣小组的有 30 人，参加物理兴趣小组的有 25 人，两个小组都参加的有 10 人。问： （1）至少参加一个兴趣小组的有多少人？ （2）两个小组都不参加的有多少人？ 22. 某网店第一天售出商品种类集合为 A，第二天售出商品种类集合为 B。若 A 有 120 种，B 有 150 种，两天都售出的有 60 种。问这两天共售出多少种不同商品？ 23. 高一(1)班 45 人，参加合唱 20 人，参加舞蹈 18 人，两项都参加 8 人。求： （1）至少参加一项的人数；（2）两项都不参加的人数。 24. 对 100 位顾客调查，买过甲品牌的有 60 人，买过乙品牌的有 50 人，两个品牌都买过的有 30 人。问： （1）至少买过一个品牌的有多少人？（2）两个品牌都没买过的有多少人？ 四、答案与解析 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 A∩B　　【2】 A 交 B 【3】 {x | x∈A 且 x∈B}　　解析：关键词是“且”，即必须同时属于两个集合。 【4】 A　　解析：A 与自身的公共元素就是 A 的全部元素。 【5】 ∅　　解析：空集不含元素，与任何集合都没有公共元素。 【6】 A　　解析：A⊆B 时 A 的元素全在 B 中，公共部分即 A。 【7】 A∪B　　【8】 A 并 B 【9】 {x | x∈A 或 x∈B}　　解析：关键词是“或”，只要属于其中一个即可；重复元素只计一次。 【10】 A　　【11】 A 解析：A∪A 未增加新元素仍为 A；并上空集不增加任何元素，仍为 A。 【12】 B　　解析：A⊆B 时 A 的元素已全部包含在 B 中，合并后仍是 B。 【13】 (∁UA)∪(∁UB)　　解析：“不同时属于 A 和 B”等价于“不属于 A 或不属于 B”。 【14】 (∁UA)∩(∁UB)　　解析：“既不属于 A 也不属于 B”等价于“不属于 A 且不属于 B”。可结合图4 的阴影验证。 【随堂练习】 1. A∩B={3,4}，A∪B={1,2,3,4,5,6}。 2. A∩B={x | 1<x<4}，A∪B=R。 3. A∩B={x | 0<x≤2}，A∪B={x | －1≤x≤3}，∁U(A∩B)={x | x≤0 或 x>2}。 4. 作图略（A∩B 画两圆重叠部分，A∪B 画两圆整体区域）。 5. A={－2,2}，B={－1,2}，所以 A∩B={2}，A∪B={－2,－1,2}。 6. A∩B=∅；A∪B=Z（全体整数集）。 7. 解：A∩B={x|1<x≤2}；A∪B={x|x≥0}；∁U(A∩B)={x|x≤1 或 x>2}。 【分知识点精练】 1. C　解析：公共元素为 2,4。 2. C　解析：A={x | x>－1}，B={x | x<2}，交集为 －1<x<2。 3. 解：A={－1,1}。由 A∩B=B 知 B⊆A。 当 B=∅ 时，a=0； 当 B={1} 时，a=1； 当 B={－1} 时，a=－1； B 不可能有两个元素因为方程 ax=1 最多一解。 综上，a∈{－1,0,1}。 4. a=2。解析：数轴分析，A∩B 左端点为 2，说明 a=2，验证符合。 5. 解：联立 y=x+1 与 y=－x+3 得 x=1,y=2，故 A∩B={(1,2)}。 6. {(2,2)}。解析：联立 x+y=4 与 x－y=0 得 x=2,y=2。 7. {2}。解析：A={2,3}，B={2}，公共元素为 2。 8. B　解析：并集包含所有出现过的元素。 9. A　解析：A∪B 为 x≤3 或 x>4。 10. A={2,3}，B={－1,2}，A∪B={－1,2,3}。 11. 解：A∪B=A 等价于 B⊆A。区间 B=[a,a+2] 必须完全落在 A 内， 故 a+2<－2 或 a>3，即 a<－4 或 a>3。 12. 解：A∪B=B 等价于 A⊆B。A=（－1,3），B=（－∞,a），所以 a≥3。 13. {x|x<0 或 x>1}。 14. {－3,1,2,3}。解析：B={－3,3}。 15. C　解析：A∪B={1,2,3,4,5,7}，∁U(A∪B)={6,8}。 16. 解：A=[1,2]，∁UA=(－∞,1)∪(2,+∞)。B=(－∞,a)。 由 (∁UA)∩B=∅，需 a≤1。 17. 解：A=[－2,3]，B=(－∞,－1)∪(5,+∞)。 A∩B=[－2,－1)；∁UB=[－1,5]，A∪(∁UB)=[－2,5]。 18. 解：A={0,－4}。 （1）A∩B=B 即 B⊆A。 当 B=∅ 时，Δ=4(a+1)²－4(a²－1)<0 ⇒ a<－1； 当 B={0} 时，代入 x=0 得 a²－1=0 且 Δ=0，无解； 当 B={－4} 时，代入 x=－4 并联立 Δ=0，解得 a=1 或 a=7，检验均不成立； 当 B={0,－4} 时，由韦达定理 a=1。 综上，a≤－1 或 a=1。 （2）A∪B=B 即 A⊆B，则 0,－4 都是 B 的根，由（1）知 a=1。 19. {x|0<x<2}。解析：∁UA={x|x>0}，与 B 的公共部分为 0<x<2。 20. 解：∁UA={0,4,5,6,7,8}，∁UB={0,1,3,5,7,8}，A∩B={2}，A∪B={1,2,3,4,6}。 21. 解：设参加数学小组的学生集合为 A，物理小组为 B。 （1）|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|=30+25－10=45（人）。 （2）都不参加人数为 50－45=5（人）。 22. 解：|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|=120+150－60=210（种）。 23. 解：(1) 20+18－8=30（人）；(2) 45－30=15（人）。 24. 解：(1) 60+50－30=80（人）；(2) 100－80=20（人）。 学科网（北京）股份有限公司 $