1.2子集全集补集 讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦子集、真子集、集合相等、全集与补集等核心知识点，从集合间包含关系入手，逐步延伸至补集运算，构建“概念理解-符号表示-性质应用”的学习支架，涵盖空集性质、子集个数计算及易混点区分。 资料通过Venn图与数轴直观呈现集合关系，培养几何直观（数学眼光），表格梳理重难点及突破策略，强化推理意识（数学思维），分知识点精练与综合应用助力符号语言表达（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后便于学生自学巩固，弥补知识盲点。

1.2 子集、全集、补集 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解子集、真子集、集合相等的概念，能准确判断两个集合之间的包含关系； 能用符号 ⊆、⊇、⫋、⫌、= 表示集合间的关系； 了解空集 ∅ 的性质，明确空集是任何集合的子集； 理解全集与补集的概念，能正确求一个集合在全集中的补集； 能借助 Venn 图和数轴分析集合间的包含与互补关系。 【重难点梳理】（表格） 类别 内容要点 突破策略 重点 子集、真子集、补集的概念及符号 借助 Venn 图直观理解 重点 全集的选取与补集的求解 先明确全集，再确定“不属于 A 但属于 U”的部分 难点 子集个数与真子集个数的计算 n 个元素的集合子集个数为 2^n 难点 空集在含参问题中的易漏讨论 涉及 A⊆B 且 A 含参数时，勿忘 A=∅ 易错 ∅ 与 {∅}、0 与 {0} 的区分 ∅ 不含元素；{∅} 含一个元素 ∅ 一、教材知识点盘点（请先独立填写，再对照第四节答案） 1. 子集 一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中___【1】___都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作___【2】___，读作“___【3】___”。 重要结论：任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A；空集是任何集合 A 的子集，即___【4】___。 若 A⊆B，且 B⊆A，则称集合 A 与 B 相等，记作___【5】___。 ▲ 图1：A⊆B 的 Venn 图表示 ▲ 图2：A=B 的 Venn 图表示 常用数集之间也存在包含关系，请补全：N*___【6】___N___【7】___Z___【8】___Q___【9】___R（填 ⊆ 或 ⫋）。 ▲ 图3：常用数集的包含关系示意 2. 真子集 如果 A⊆B，但存在元素 x∈B 且 x∉A，则称 A 是 B 的真子集，记作___【10】___，读作“___【11】___”。 空集是任何非空集合的真子集。若集合 A 含有 n 个元素，则 A 的子集个数为___【12】___，真子集个数为___【13】___，非空子集个数为___【14】___，非空真子集个数为___【15】___。 3. 全集与补集 在研究集合问题时，如果一个集合包含我们所研究的___【16】___，那么就称这个集合为全集，通常记作___【17】___。 设 U 是全集，A 是 U 的一个子集，则由 U 中所有___【18】___的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作___【19】___，读作“___【20】___”。 补集的基本性质（用文字或符号填空）：A 与 没有___【21】___元素；A 与 合在一起恰好是___【22】___；( )=___【23】___。 ▲ 图3： 的 Venn 图表示 ▲ 图4：A={x | －1≤x<2} 与 在数轴上的表示 二、随堂练习 1. 用适当的符号（∈、∉、⊆、⫋、=）填空： （1）{a}____{a, b}； （2）∅____{0}； （3）{1,2}____{2,1}； （4）0____∅。 2. 写出集合 A={1,2} 的所有子集和真子集。 3. 设全集 U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，求 。 4. 若 {1,2}⫋M⫋{1,2,3,4,5}，写出所有满足条件的集合 M。 5. 已知集合 A={x | －2≤x≤3}，全集 U=R，求 ，并在数轴上表示。 6. 满足 {1}⊆M⊆{1,2,3} 的集合 M 的个数是______。 7. 若 ∅⫋A⊆{1,2}，则集合 A 可以是______（写出所有可能）。 8. 设全集 U={1,2,3,4,5,6}，A={2,4,6}。求 ，并说明 A 中的元素是否可能同时属于 。 三、分知识点精练 知识点1：子集与真子集 1. 下列关系正确的是（　） A. 0⊆{0} B. ∅∈{0} C. {0}⊆{0} D. ∅={0} 2. 已知 A={x | x=2k, k∈Z}，B={x | x=4k, k∈Z}，则下列关系正确的是（　） A. A=B B. A⫋B C. B⫋A D. A∈B 3. 集合 A={x | 1<x<6, x∈N} 的真子集个数为（　） A. 32 B. 16 C. 15 D. 31 4. 写出满足 {1,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5} 的所有集合 M。 5. 若集合 A={x | x²+ax+b=0} 的子集只有 {1}，求实数 a,b 的值。 6. 已知 A={1,2}，B={x | x⊆A}，用列举法表示 B。 7. 已知集合 A 含有 3 个元素，则 A 的真子集个数为______，非空真子集个数为______。 8. 满足 {a}⊆M⫋{a,b,c} 的集合 M 有______个。 知识点2：集合相等 9. 下列各组集合中，表示相等集合的是（　） A. M={(1,2)}, N={1,2} B. M={x | x²－1=0}, N={－1,1} C. M={x | x=2k, k∈Z}, N={x | x 为偶数} D. M={y | y=x²}, N={x | y=x²} 10. 已知 A={1, a+b, a}，B={0, , b}，若 A=B，求 a,b 的值。 11. 若 A={x | x²－5x+6=0}，B={x | mx－1=0}，且 B⊆A，求实数 m 的值。 12. 已知集合 A={x|x²=4}，B={x|ax=2}，且 B⊆A，求实数 a 的取值集合。 知识点3：补集运算 13. 设全集 U={x∈N | x<10}，A={1,3,5,7,9}，则 =（　） A. {0,2,4,6,8} B. {2,4,6,8} C. {0,2,4,6,8,10} D. {2,4,6,8,10} 14. 全集 U=R，A={x | x≤－1 或 x>3}，则 =（　） A. {x | －1<x≤3} B. {x | －1≤x<3} C. {x | －1<x<3} D. {x | x≤3} 15. 已知全集 U=R，A={x | －1<x<2}，B={x | x≥1 或 x≤－2}，求 与 B，并说明它们的关系。 16. 设 U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,4}，B={3,5,6}，求 与 B，并说明它们的关系。 17. 设全集 U={x∈N | x≤10}，A={x | x 是质数}，则 中元素的个数为______。 18. 设全集 U=R，A={x | －2≤x≤1}，求 ，并在数轴上说明端点的开闭情况。 知识点4：综合应用 19. 若集合 A={x | x²－3x+2=0}，B={x | x²－ax+a－1=0}，且 B⊆A，求实数 a 的取值集合。 20. 已知集合 A={x | －2≤x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m－1}。若 B⊆A，求实数 m 的取值范围。 21. 定义：集合 A 的“补集思想”问题——某校高一共有 100 人参加数学竞赛，其中 70 人参加初赛，45 人参加复赛。已知每个学生至少参加其中一项，问只参加初赛的有多少人？（提示：用补集思想解决） 22. 已知集合 A={x|x²－4=0}，B={x|x²+ax+a²－12=0}。若 B⊆A，求实数 a 的取值集合。 四、答案与解析 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 任意一个元素（即“每一个元素”） 【2】 A⊆B（或写作 B⊇A） 【3】 A 包含于 B（或“B 包含 A”） 【4】 ∅⊆A　　解析：空集不含任何元素，“A 中每个元素都在 B 中”这一条件自动成立。 【5】 A=B 【6】 ⫋　【7】 ⫋　【8】 ⫋　【9】 ⫋ 解析：四处都是真包含。如 0∈N 但 0∉N*；－1∈Z 但 －1∉N；∈Q 但 ∉Z；√2∈R 但 √2∉Q。故每一层都存在“多出来”的元素。 【10】 A⫋B 【11】 A 真包含于 B 【12】 2ⁿ　【13】 2ⁿ－1　【14】 2ⁿ－1　【15】 2ⁿ－2 解析：每个元素都有“选入/不选入”两种可能，共 2ⁿ 个子集；真子集去掉集合自身，得 2ⁿ－1；非空子集去掉空集，得 2ⁿ－1；非空真子集把自身和空集都去掉，得 2ⁿ－2（n≥1）。 【16】 所有元素（即当前问题所涉及的全部对象） 【17】 U 【18】 不属于 A（即在 U 中但不在 A 中） 【19】 【20】 A 在 U 中的补集 【21】 公共　　解析：由定义，∁UA 中的元素都不在 A 中，所以两者不含相同元素。 【22】 全集 U　　解析：U 中任一元素要么在 A 中，要么不在 A 中（即在 ∁UA 中），二者必居其一。 【23】 A　　解析：补集的补集回到原集合，可用 Venn 图“挖两次”直观理解。 【随堂练习】 1. （1）⫋（或 ⊆）；（2）⫋；（3）=；（4）∉。 2. 子集：∅，{1}，{2}，{1,2}；真子集：∅，{1}，{2}。 3. ∁UA={1,3,5}。 4. {1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}。 5. ∁UA={x | x<－2 或 x>3}，数轴表示略（向左箭头从 －2 空心出发，向右箭头从 3 空心出发）。 6. 4。解析：M 可为 {1},{1,2},{1,3},{1,2,3}。 7. {1},{2},{1,2}。 8. 解：∁UA={1,3,5}；不可能，因为补集由 U 中不属于 A 的元素组成，所以 A 中的任何元素都不在 ∁UA 中（二者没有公共元素）。 【分知识点精练】 1. C　解析：A 错，元素与集合关系用 ∈；B 错，空集与集合关系用 ⊆；C 对；D 错，空集不含任何元素。 2. C　解析：B 中的元素都是 4 的倍数，必为偶数，但偶数不一定是 4 的倍数，故 B⫋A。 3. C　解析：A={2,3,4,5}，4 个元素，真子集个数为 2^4－1=15。 4. {1,3}，{1,2,3}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,3,4,5}，{1,2,3,4,5}。 5. 解：子集只有 {1}，说明 A={1}，方程有等根 x=1。由韦达定理 a=－2，b=1。 6. B={∅,{1},{2},{1,2}}。解析：B 的元素是 A 的所有子集。 7. 7；6。解析：3 个元素，子集 2^3=8，真子集 7，非空真子集 6。 8. 3。解析：M 可为 {a},{a,b},{a,c}。 9. BC　解析：A 中 M 是点集，N 是数集；D 中代表元素不同，M 是 y 的取值范围，N 是 x 的取值范围。 10. 解：由 A=B，且 B 含 0，得 a+b=0 或 a=0。若 a=0，则 无意义，舍去； 故 a+b=0，即 b=－a。此时 B={0,－1,－a}，A={1,0,a}。 由对应相等得 a=－1，b=1。检验 A={1,0,－1}=B={0,－1,1}，符合。 11. 解：A={2,3}。 当 B=∅ 时，m=0； 当 B≠∅ 时，x=1/m∈A，故 1/m=2 或 1/m=3，得 m= 或 m=。 综上，m∈{0, , }。 12. 解：A={－2,2}。 当 a=0 时，B=∅⊆A； 当 a≠0 时，x=，由 ∈{－2,2} 得 a=－1 或 a=1。 综上，a∈{－1,0,1}。 13. B　解析：U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∁UA={0,2,4,6,8}。 14. A　解析：∁UA={x | －1<x≤3}。 15. 解：∁UA={x | －1≤x<2}；∁UB={x | －2<x<1}。 二者没有包含关系，且 ∁UA 与 ∁UB 的公共部分为 {x | －1≤x<1}（此处仅说明关系，不要求写出符号运算）。 16. ∁UA={1,5,6}，∁UB={1,2,4}。两者没有包含关系，交集为 {1}。 17. 7。解析：U={0,1,2,…,10}；质数有 {2,3,5,7}；∁UA={0,1,4,6,8,9,10}，共 7 个。 18. 解：∁UA={x | x<－2 或 x>1}；数轴上 －2 处用空心圆点并向左画箭头，1 处用空心圆点并向右画箭头（－2 和 1 都不属于补集）。 19. 解：A={1,2}。 B 中方程可化为 (x－1)(x－(a－1))=0，故 B={1} 或 B={1, a－1}。 由 B⊆A，当 a－1=2 即 a=3 时，B={1,2}=A；当 a－1=1 即 a=2 时，B={1}。 因此 a 的取值集合为 {2,3}。 20. 解：当 B=∅ 时，m+1>2m－1 ⇒ m<2； 当 B≠∅ 时，需满足 m+1≤2m－1 且 m+1≥－2 且 2m－1≤5，解得 2≤m≤3。 综上，m≤3。 21. 解：把参加两项的人数看作集合的交集。参加初赛 70 人，未参加初赛即参加复赛的 100－70=30 人，这 30 人必在参加复赛的 45 人中，所以两项都参加的有 45－30=15 人。只参加初赛的有 70－15=55 人。 22. 解：A={－2,2}。B⊆A，分情况： ① B=∅，Δ=a²－4(a²－12)=48－3a²<0 ⇒ |a|>4； ② B={－2}，需 －2 是根且为重根：代入 x=－2 得 a²－2a－8=0 ⇒ a=4 或 －2，又 Δ=0 ⇒ a=±4，故 a=4； ③ B={2}，代入 x=2 得 a²+2a－8=0 ⇒ a=2 或 －4，Δ=0 ⇒ a=±4，故 a=－4； ④ B={－2,2}，由韦达 a=0 且 a²－12=－4 ⇒ a²=8 矛盾。 综上 a∈{a | |a|≥4}，即 a≤－4 或 a≥4。 学科网（北京）股份有限公司 $