精品解析：湖南岳阳市华容县2025-2026学年下学期期末七年级数学试题

2025-2026学年度第二学期教学质量监测卷 七年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近日，“湘潮”号主题列车正式上线长沙地铁2号线，“湘潮”号地铁列车以“非遗潮起来”为主题，采用“锦灰堆”非遗设计风格，将长沙、汕头两地的非遗元素进行融合，打造了创意满满的沉浸地铁车厢场景，下列与“非遗”相关的图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数是无理数的是（　　） A. 0 B. C. D. 4. 下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列语句正确的有（　　） ①射线AB与射线BA是同一条射线； ②两点之间的所有连线中，线段最短； ③对顶角相等； ④欲将一根木条固定在墙上，至少需要2个钉子． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B. 为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C. 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D. 为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 7. 下列计算正确的是（　　） A. 2 B. C. D. 8. 对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ） A. 甲说得对，符合条件的x的值只有1 B. 乙说得对，还有另一个值2 C. 乙说得对，还有另一个值 D. 两人说得都不对，应有个不同值 9. 某文旅公司计划购进一批“山西古建文创钥匙扣”进行销售，每件的进价为40元，官方标价为60元．根据清明假期的旅游消费趋势，前期按标价售出了的库存；为了迎接五一假期旅游旺季，尽快清完剩余库存，商家决定在标价基础上打折进行促销．若要保证这批文创产品销售完毕后的总利润率不低于（假设无其他成本），则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______． 12. 不等式的解集是___________． 13. 如图，将长方形折叠，折痕为，的对应边与交于点M，若，则的度数为 _______． 14. 如图，在的网格纸中，格点（网格线的交点）三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是图中的________点． 15. 已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则_____________． 16. 下列各图中的与（n是正整数）平行． 第n个图中的____度． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） 18. 已知不等式：， （1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来； （2）试判断x=是否为此不等式的解． 19. 如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由． 解：． 理由如下： ∵（____ ①_____）， （已知）， ∴_____ ②______（同角的补角相等）． ∴． （2）与的位置关系如何？为什么？ ∵平分（已知）， ∴（_____ ③_____）． 又∵（已知），即， ∴______ ④___（_____ ⑤_____） ∴______⑥_______⑦_____（___⑧_______） 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上，请按要求画图： （1）在网格中画出向下平移个单位得到的，再画出关于直线l对称的； （2）在网格中画出绕点按逆时针方向旋转得到的； （3）求的面积． 21. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 22. 第四届湖南旅游发展大会成功在岳阳举办后，岳阳各景点的知名度得到了显著提升．为进一步提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取部分游客，调查他们对岳阳景点体验的满意度，比如风景特色，文化体验，服务质量，交通便利等，并将调查结果制作成了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的游客人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“不满意”部分占被调查总人数的百分比是 ； （4）在扇形统计图中，“满意”部分所对应扇形的圆心角度数是 ． 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用／万元 1 3 260 3 2 360 信息二 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价． （2）现该企业准备用不超过700万元购买，两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 24. 汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒． （1）当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直； （2）若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”） （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期教学质量监测卷 七年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近日，“湘潮”号主题列车正式上线长沙地铁2号线，“湘潮”号地铁列车以“非遗潮起来”为主题，采用“锦灰堆”非遗设计风格，将长沙、汕头两地的非遗元素进行融合，打造了创意满满的沉浸地铁车厢场景，下列与“非遗”相关的图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此计算即可． 【详解】解：， 故选B． 3. 下列实数是无理数的是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意 B、属于无理数，故本选项符合题意； C、是分数，是有理数，故本选项不符合题意； D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，熟记无理数的概念是解题的关键． 4. 下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 5. 下列语句正确的有（　　） ①射线AB与射线BA是同一条射线； ②两点之间的所有连线中，线段最短； ③对顶角相等； ④欲将一根木条固定在墙上，至少需要2个钉子． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据射线的表示，线段的性质，对顶角相等以及直线的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，不是同一条射线，故错误，不符合题意； ②两点之间的所有连线中，线段最短，正确，符合题意； ③对顶角相等，正确，符合题意； ④欲将一根木条固定在墙上，至少需要2个钉子，（根据两点确定一条直线）正确，符合题意； 综上所述，语句正确的有②③④共3个． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是两点之间，线段最短，两点确定一条直线，以及射线的表示，对顶角相等，解题关键是熟记概念与性质． 6. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B. 为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C. 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D. 为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，根据抽样调查和全面调查的特点即可判断求解，掌握抽样调查和全面调查的特点是解题的关键． 【详解】解：为了解某小区居民天然气安全情况，应选择全面调查，故选项符合题意； 为了解全国初中生每周做家务的时间，应选择抽样调查，故选项不符合题意； 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，应选择全面调查，故选项不符合题意； 为了解一批节能灯的使用寿命，应选择抽样调查，故选项不符合题意； 故选：． 7. 下列计算正确的是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方以及幂的乘方，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ） A. 甲说得对，符合条件的x的值只有1 B. 乙说得对，还有另一个值2 C. 乙说得对，还有另一个值 D. 两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 9. 某文旅公司计划购进一批“山西古建文创钥匙扣”进行销售，每件的进价为40元，官方标价为60元．根据清明假期的旅游消费趋势，前期按标价售出了的库存；为了迎接五一假期旅游旺季，尽快清完剩余库存，商家决定在标价基础上打折进行促销．若要保证这批文创产品销售完毕后的总利润率不低于（假设无其他成本），则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“总利润率不低于”的条件，分别表示出总销售额与符合要求的最低总售价，进而列出不等式. 【详解】解：设这批文创产品的总库存为单位1， 则总进价为，前期售出，销售额为，剩余打折销售，打折后每件售价为，对应销售额为， ∵总利润率不低于，即总售价不低于总进价的倍， ∴． 10. 如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确． 【详解】∵， ∴，， ∵BD平分，EF平分， ∴，， ∴， ， ∴， 故①②正确； ∴ 与不一定相等， 由题意可知， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴， 故④正确， ∴①②④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、绝对值的性质分别化简，再相加减即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．通过移项和系数化为1求解不等式即可． 【详解】解：移项，得 ，即 ， 系数化为1，得 故答案为： ． 13. 如图，将长方形折叠，折痕为，的对应边与交于点M，若，则的度数为 _______． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】本题主要考查根折叠的性质及平行线的性质， 由折叠可得，进而求得，再由平行线性质求得的度数． 【详解】解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在的网格纸中，格点（网格线的交点）三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是图中的________点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心即可． 【详解】解：如图，连接和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点的距离相等，且夹角都是， 同理，分别连接点和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点的距离不相等，因此格点不是所求的旋转中心； 因此格点就是所求的旋转中心． 故答案为： 15. 已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值． 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为2， 关于的方程的解是， ， ， 故答案为：2． 16. 下列各图中的与（n是正整数）平行． 第n个图中的____度． 【答案】 【解析】 【分析】对图②和图③作平行线，然后利用平行线的性质解决问题，根据计算的结果得到一般情况下的规律即可得解． 【详解】解：如图①，，则； 如图②，过点作， ∵ ∴， ，， ； 如图③，过点作，过点作， 同理可得， ，，， ， …… 观察发现，第n个图中． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 18. 已知不等式：， （1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来； （2）试判断x=是否为此不等式的解． 【答案】（1）数轴表示见解析；（2）不是这个不等式的解． 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等，注意负号的作用；在数轴上表示解集时，注意找准点，找准方向，区别实心点与空心点； （2）估算的值，再与比较大小，即可解题． 【详解】（1）解：去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 化系数为1： 原不等式的解集为： 表示在数轴上为： （2）不是此不等式的解，理由如下: 不等式的解集为 不是此不等式的解． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、不等式的解、估算无理数的大小等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19. 如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由． 解：． 理由如下： ∵（____ ①_____）， （已知）， ∴_____ ②______（同角的补角相等）． ∴． （2）与的位置关系如何？为什么？ ∵平分（已知）， ∴（_____ ③_____）． 又∵（已知），即， ∴______ ④___（_____ ⑤_____） ∴______⑥_______⑦_____（___⑧_______） 【答案】（1） ①邻补角的定义； ②； （2） ③角平分线的定义； ④； ⑤等量代换； ⑥； ⑦； ⑧内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查同角的补角相等、平行线的判定、角平分线定义、邻补角定义，熟练掌握平行线的判定是解答的关键． （1）利用“同角的补角相等”证明，由“同位角相等，两直线平行”证明结论． （2）利用角平分线和等量代换证明，再利用“内错角相等，两直线平行”证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上，请按要求画图： （1）在网格中画出向下平移个单位得到的，再画出关于直线l对称的； （2）在网格中画出绕点按逆时针方向旋转得到的； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】（）利用平移和轴对称的性质分别作图即可； （）利用旋转的性质作图即可； （）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求出的面积； 本题考查了基本作图——平移，旋转和轴对称，解题的关键是依据旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质正确画出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 21. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 22. 第四届湖南旅游发展大会成功在岳阳举办后，岳阳各景点的知名度得到了显著提升．为进一步提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取部分游客，调查他们对岳阳景点体验的满意度，比如风景特色，文化体验，服务质量，交通便利等，并将调查结果制作成了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的游客人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“不满意”部分占被调查总人数的百分比是 ； （4）在扇形统计图中，“满意”部分所对应扇形的圆心角度数是 ． 【答案】（1）200 （2） 补全条形统计图为： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，读懂统计图是解题的关键． （1）将“一般”的人数除以其百分比，即可解答； （2）将抽取的游客人数乘以“非常满意”的百分比，求出“非常满意”的人数，即可补全条形统计图； （3）将“不满意”的人数除以本次抽取的游客人数即可解答； （4）将乘以满意”部分的比例即可解答． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次被抽取的游客人数为200人． 故答案为：200 【小问2详解】 解：“非常满意”的人数为：（人） 【小问3详解】 解：， 在扇形统计图中，“不满意”部分占被调查总人数的百分比是． 故答案为： 【小问4详解】 解：， ∴“满意”部分所对应扇形的圆心角度数是． 故答案为： 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用／万元 1 3 260 3 2 360 信息二 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价． （2）现该企业准备用不超过700万元购买，两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元 （2）选择购买型智能机器人5台，购买型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握通过方程组求单价，用不等式限制购买数量是解题的关键． （1）设型单价为未知数，用代数式表示型单价，并用一元一次不等式约束单价为正数的实际意义，再结合另一组购买数据列方程求解，确保解的合理性； （2）设购买数量，用总费用限制列不等式求范围，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型智能机器人的单价为万元，由第一组购买数据，型单价为万元． 根据单价为正数的约束，列不等式： 结合第二组购买数据列方程： 则型单价为万元． 因此，型单价为80万元，型单价为60万元． 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台． 依题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴有种购买方案， 每天分拣快递万件，方案如下： ①购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ②购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ③购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ④购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ⑤购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）， ∵， ∴当时，每天分拣快递的件数最多，最多为万件， 所以选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 24. 汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒． （1）当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直； （2）若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”） （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行． 【答案】（1）25；55 （2）平行 （3）当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行 【解析】 【分析】（1）先根据题意和角平分线的定义求出，再求出转动时间即可；先求出，再求出转动时间即可； （2）先算出两个灯旋转90秒后旋转的角度，判断出90秒后A、B两灯发出的射线与、的关系，再利用平行线的判定和性质进行判断即可； （3）设A灯转动时间为x秒，根据A灯转动时间，分三种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴此时灯A转动时间为：（秒）； ∵， ∴， ∴， ∴此时灯A转动时间为：（秒）； 故答案为：25；55． 【小问2详解】 解：两灯同时转动，秒时，A灯转动的角度为：，B灯转动的角度为：， ∵， ∴此时A灯发出的射线，B灯发出的射线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即秒时，两束光线所在直线的位置关系是平行； 故答案为：平行． 【小问3详解】 解：设A灯转动x秒后，两灯光束互相平行； ①当时，根据题意得： ， 解得：； ②当时，根据题意得： ， 解得：； ③当时，根据题意得： ， 解得：（不合题意）； 综上分析可知，当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，用方程思想解决几何问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $