阶段素养测评卷(二) -【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本卷为高二数学第二章2.4-2.8单元复习测评卷，150分120分钟，全面覆盖圆锥曲线核心知识，融合基础巩固与创新应用，适配单元复习检测，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|抛物线方程、椭圆焦点、曲线对称性|结合2026年各地期末真题，基础与能力题梯度分布| |填空题|3/15|切线方程、双曲线位置关系、新定义“优美双曲线”|引入创新情境，考查数学抽象与模型意识| |解答题|5/77|抛物线轨迹、椭圆与双曲线综合、直线与圆锥曲线位置关系|注重逻辑推理与运算能力，如第19题双曲线面积最小值问题|

阶段素养测评卷(二)  第二章2.4~2.8 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点为(4,0),那么该抛物线的方程为 (　　) A.y2=-16x B.y2=12x C.y2=16x D.y2=-12x 2.[2026·四川绵阳高二期末] 若关于x,y的方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 (　　) A.(1,3) B.(2,3) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(-∞,2)∪(3,+∞) 3.[2026·辽宁大连高二期末] 已知曲线C的方程为x2+y2+x|y|=2026,则曲线C关于(　　) A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 4.已知△ABC的顶点均在抛物线C:y2=4x上,F为抛物线C的焦点,若++=0,则||+||+||= (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 5.已知椭圆C的中心为坐标原点,右焦点为F(2,0),过F的直线l与椭圆C交于A,B两点.若线段AB的中点为M,则椭圆C的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 6.[2026·四川眉山高二期末] 已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,使得·=3c2,则椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 7.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,直线x-my-4=0(m∈R)与抛物线C交于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值是 (　　) A.40 B.36 C.28 D.24 8.已知点A,B为椭圆+y2=1上的两点,且OA⊥OB,其中O为坐标原点,则|OA|·|OB|的最小值为 (　　) A. .2 C. D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一动点,点A,B(3,3),则 (　　) A.|PF|-|PA|≤ B.|PF|+|PB|≥4 C.|PA|-|PB|≤ D.|PA|+|PB|≥ 10.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作直线l与x轴垂直,且交抛物线C于A,B两点,若△OAB的外接圆与x轴的一个交点为D(5,0),则 (　　) A.p=1 B.p=2 C.四边形OADB的面积为5 D.四边形OADB的面积为10 11.[2026·内蒙古巴彦淖尔高二期末] 已知曲线C:(x2+y2+4y+2)(x2+y2-4x+2)=0,直线l经过点A(0,-4),则下列结论正确的是 (　　) A.曲线C的周长为4π B.存在过原点且倾斜角为钝角的直线与C没有公共点 C.若l与C有公共点,则l的倾斜角的取值范围为 D.若l与C仅有3个公共点,则l的斜率为3或7 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2026·新疆喀什高二期末] 过点(1,3)与曲线y=2x2-x+2相切的直线方程为　　　　　.  13.[2026·北京丰城区高二期末] 若直线l:y=k(x-1)与双曲线C:-y2=1只有一个公共点,则k的值为　　　　;若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,则k的取值范围为　　　　.  14.若双曲线的同一支上存在两点A,B,使得△OAB(O为坐标原点)为等边三角形,则称双曲线为“优美双曲线”.已知双曲线C是“优美双曲线”,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在平面直角坐标系xOy中,A,B分别为直线x+y=2与x,y轴的交点,C为线段AB的中点.若抛物线Γ:y2=2px过点C. (1)求抛物线Γ的方程; (2)求焦点F到直线AB的距离. 16.(15分)[2025·重庆高二月考] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,y0)在抛物线C上,且|AF|=4. (1)求抛物线C的方程; (2)过点T(2,0)的直线l与抛物线C交于M,N两点,若点B(-1,-1)满足·=1,求直线l的方程. 17.(15分)[2026·天津滨海新区高二月考] (1)已知曲线C:x2=y+1,点A的坐标为(3,1),B为曲线C上任意一点,点P在线段AB上且|BP|∶|PA|=1∶2,当点B在曲线C上运动时,求点P的轨迹方程. (2)已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2,双曲线的顶点在x轴上,与椭圆有公共焦点,且椭圆的半长轴长比双曲线的半实轴长大4,椭圆的离心率与双曲线离心率之比为3∶7,求椭圆和双曲线的标准方程. 18.(17分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,M是椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,P是直线x=2上任意一点,证明:2kPF=kPA+kPB. 19.(17分)已知O为坐标原点,双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点F2的直线与双曲线的右支交于P,Q两点,且|PQ|的最小值为6. (1)求双曲线的方程; (2)求△F1PQ的面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段素养测评卷(二) 1.C　[解析] 由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),因为=4,所以p=8,故抛物线的方程为y2=16x.故选C. 2.B　[解析] 由题意可得m≠1且m≠3,则(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)可化为+=1,因为曲线是焦点在y轴上的椭圆,所以解得2<m<3,故m的取值范围为(2,3).故选B. 3.A　[解析] 在曲线C上任取一点P(x,y).对于A,点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y),因为x2+(-y)2+x·|-y|=x2+y2+x|y|=2026,所以点P1在曲线C上,所以曲线C关于x轴对称,故A正确;对于B,点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y),当x≠0时,因为(-x)2+y2-x|y|=x2+y2-x|y|≠x2+y2+x|y|=2026,所以点P2不在曲线C上,故曲线C不关于y轴对称,故B错误;对于C,点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y),当x≠0时,(-x)2+(-y)2-x|-y|=x2+y2-x|y|≠x2+y2+x|y|=2026,故点P3不在曲线C上,故曲线C不关于原点对称,故C错误;对于D,点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P4(y,x),不妨取x>0,y<0,因为y2+x2+y|x|=x2+y2+y|x|≠x2+y2+x|y|=2026,所以点P4不在曲线C上,故曲线C不关于直线y=x对称,故D错误.故选A. 4.C　[解析] 由题意知,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则||=x1+1,||=x2+1,||=x3+1,所以||+||+||=x1+x2+x3+3,因为++=0,所以x1-1+x2-1+x3-1=0,所以x1+x2+x3=3,所以||+||+||=6.故选C. 5.A　[解析] 由题意可知椭圆C的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),易知直线AB的斜率kAB=kFM==.设A(x1,y1),B(x2,y2),则M,所以x1+x2=1,y1+y2=-1.由两式相减可得=-=-=-1,即=1,即a2=3b2,因为右焦点为F(2,0),所以c=2,所以a2-b2=3b2-b2=c2=4,所以b2=2,a2=6,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选A. 6.B　[解析] 设P(x0,y0),则+=1,可得=b2-,因为=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以·=-c2+=3c2,即+=4c2,即+b2-=4c2,所以=4c2-b2=5c2-a2,因为x0∈[-a,a],所以0≤≤c2,所以0≤5c2-a2≤c2,即4c2≤a2≤5c2,所以≤≤,所以≤≤,故椭圆C的离心率的取值范围为.故选B. 7.B　[解析] 方法一:由题知点F(4,0)在直线x-my-4=0上.设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AF|=x1+4,|BF|=x2+4.由得x2-(16m2+8)x+16=0,由根与系数的关系得x1x2=16,所以|AF|+4|BF|=x1+4+4(x2+4)=x1+4x2+20≥2+20=36,当且仅当x1=4x2时取等号,所以|AF|+4|BF|的最小值为36.故选B. 方法二:由题知点F(4,0)在直线x-my-4=0上,所以+==,所以+=1,所以|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)=4+++16≥20+2=36,当且仅当|AF|=2|BF|时取等号,所以|AF|+4|BF|的最小值为36.故选B. 8.C　[解析] 由题知,a=,b=1.当点A,B分别是长、短轴的一个端点时,OA⊥OB,此时|OA|·|OB|=.当点A,B不是长、短轴的端点时,设lOA:y=kx(k≠0),由得(1+2k2)x2=2,所以=,=,将k换成-,得=,=,所以|OA|2·|OB|2=(+)(+)====2-.因为2k2++5≥2+5=9,当且仅当2k2=,即k2=1时等号成立,所以≤2-<2,所以≤|OA|·|OB|<.综上可知,≤|OA|·|OB|≤,所以|OA|·|OB|的最小值为.故选C. 9.ABD　[解析] 根据题意可知点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1,因为A,所以|PF|-|PA|≤|AF|=,当且仅当P,A,F三点共线且P在第一象限时等号成立,易知直线AF的方程为y=(x-1),由可得P,故A正确;设点P在抛物线C的准线上的射影为H,因为B(3,3),所以|PF|+|PB|=|PH|+|PB|≥|BH|≥4,当且仅当B,P,H三点共线时等号成立,故B正确;|PA|-|PB|≤|AB|=,当且仅当P,B,A三点共线且A在P,B之间时等号成立,故C错误;由A,B选项可知|PA|+|PB|=-(|PF|-|PA|)+(|PF|+|PB|)≥-+4=,当且仅当点P的坐标为时等号成立,故D正确.故选ABD. 10.BD　[解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,因为直线AB过点F且与x轴垂直,所以点A,B的横坐标均为,不妨设A,B,结合三角形OAB的对称性可知,∠OAD=,所以|AF|2=|OF||DF|,即p2=,可得p=2.四边形OADB的面积为|AB||OD|=×4×5=10.故选BD. 11.ACD　[解析] 由(x2+y2+4y+2)(x2+y2-4x+2)=0,得x2+y2+4y+2=0或x2+y2-4x+2=0,方程x2+y2+4y+2=0表示以C1(0,-2)为圆心,r1=为半径的圆,方程x2+y2-4x+2=0表示以C2(2,0)为圆心,r2=为半径的圆,又|C1C2|=2=r1+r2,所以曲线C是相外切的两个圆C1,C2组合而成,设圆C1,C2的切点为P,如图.对于A,圆C1,C2的周长均为2π,所以曲线C的周长为4π,故A正确;对于B,由图知,过原点且倾斜角为钝角的直线与曲线C始终有公共点,故B错误;对于C,当直线l与圆C1或C2相切时,直线l的斜率存在,设切线方程为y=kx-4,当直线l与圆C1相切时,由=,解得k=±1,切线方程为y=x-4与y=-x-4,其倾斜角分别为,,当直线l与圆C2相切时,由=,解得k=1或k=7,切线方程为y=x-4与y=7x-4,所以曲线C夹在直线y=x-4与y=-x-4之间,因此若l与C有公共点,则l的倾斜角的取值范围为,故C正确;对于D,由解得即P(1,-1),当直线l过点P时,l与C仅有3个公共点,其斜率为3,由图知直线y=7x-4与C仅有3个公共点,因此当l与C仅有3个公共点时,l的斜率为3或7,故D正确.故选ACD. 12.3x-y=0　[解析] 由题可知切线的斜率存在,设切线方程为y-3=k(x-1),由消去y整理得2x2-(k+1)x+k-1=0,令Δ=(k+1)2-4×2(k-1)=0,即k2-6k+9=0,解得k=3,所以过点(1,3)的切线方程为y-3=3(x-1),即3x-y=0. 13.±,±　-<k<　[解析] 由消去y整理得(1-4k2)x2+8k2x-4k2-4=0,若直线l与双曲线C只有一个公共点,则1-4k2=0或解得k=±或k=±.若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则解得-<k<. 14.　[解析] 因为双曲线C是“优美双曲线”,所以双曲线C的同一支上存在两点A,B,使得△OAB为等边三角形,不妨设A,B均在双曲线C的右支上.由双曲线的对称性可得∠AOx=∠BOx=30°,所以>tan 30°=,所以双曲线C的离心率e=>=,所以双曲线C的离心率的取值范围是. 15.解:(1)在x+y=2中,令y=0,得x=2,令x=0,得y=2,所以A(2,0),B(0,2), ∵C为线段AB的中点,∴C(1,1),∵抛物线Γ:y2=2px过点C,∴12=2p×1,解得p=,∴抛物线Γ的方程为y2=x. (2)∵抛物线Γ的方程为y2=x,∴焦点F的坐标为, ∵直线AB的方程为x+y=2,即x+y-2=0, ∴点F到直线AB的距离d==. 16.解:(1)易知抛物线C的准线方程为x=-.因为点A(3,y0)在抛物线C上,且|AF|=4,所以|AF|=3+=4,解得p=2,则抛物线C的方程为y2=4x. (2)若直线l⊥y轴,则直线l与抛物线C有且只有一个交点,不符合题意. 设直线l的方程为x=my+2,设点M(x1,y1),N(x2,y2), 由整理得y2-4my-8=0,则Δ=16m2+32>0, 由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-8.因为=(x1+1,y1+1)=(my1+3,y1+1),=(x2+1,y2+1)=(my2+3,y2+1),所以·=(my1+3)(my2+3)+(y1+1)(y2+1)=1,即(m2+1)y1y2+(3m+1)(y1+y2)+9=0,即-8(m2+1)+4m(3m+1)+9=0,即4m2+4m+1=0,解得m=-,因此,直线l的方程为x=-y+2,即y=-2x+4. 17.解:(1)设B(m,n),P(x,y),因为点P在线段AB上,且|BP|∶|PA|=1∶2,所以=2,又A(3,1),所以(3-x,1-y)=2(x-m,y-n),可得m=x-,n=y-(*),因为点B为曲线C:x2=y+1上任意一点,所以m2=n+1, 将(*)代入上式,可得=y-+1,化简得y=x2-3x+. 故点P的轨迹方程为y=x2-3x+. (2)因为双曲线的顶点在x轴上,所以双曲线的焦点在x轴上,因为椭圆与双曲线有相同的焦点,所以椭圆与双曲线的焦距都为2c=2, 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),双曲线的方程为-=1(m>0,n>0), 由已知得解得所以a2=49,b2=a2-c2=36,m2=9,n2=c2-m2=4,所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1. 18.解:(1)由题意知=,所以a2=2c2,所以b2=c2, 又+=1,所以b2=1,a2=2,故椭圆的标准方程为+y2=1. (2)证明:设P(2,t),由(1)知F(1,0).当直线AB的斜率不存在时,其方程为x=1,可设A(1,y),则B(1,-y),所以kPA+kPB=+=2t,kPF==t,所以kPA+kPB=2kPF. 当直线AB的斜率存在时,其方程可设为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以x1+x2=,x1x2=, 所以kPA+kPB=+=t-, 因为+====2,所以+=k=k=k=0,所以kPA+kPB=2t,又因为kPF==t,所以kPA+kPB=2kPF. 综上可知,2kPF=kPA+kPB. 19.解:(1)依题意得,当PQ⊥x轴时,|PQ|取得最小值,不妨设此时P(c,y), 则-=1,解得y=±,所以=6,即b2=3a,由=2,得c=2a. 由可得所以双曲线的方程为x2-=1. (2)由(1)得F2(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+2, 因为双曲线的渐近线方程为y=±x,且直线PQ与双曲线的右支交于P,Q两点,所以>3,即>3,即0≤m2<. 由得(3m2-1)y2+12my+9=0,所以y1+y2=-,y1y2=,所以=|F1F2||y1-y2|=2=. 设t=,t∈,则==,令y=-3t,t∈,易得y=-3t在上单调递减,所以y=-3t≤-3×1=1,所以≥12.故△F1PQ的面积的最小值为12. 学科网（北京）股份有限公司 $