滚动习题(五) [范围2.4～2.7] (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学同步练（2.4~2.7），45分钟/100分，通过基础-中档-拔高三层设计，覆盖圆锥曲线核心概念与性质，实现从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|双曲线焦点、抛物线焦半径、曲线对称性|单选1-3直接考查定义与运算，夯实概念理解| |中档|椭圆焦点三角形、抛物线向量应用、轨迹方程基础|多选7结合椭圆性质综合辨析，解答12动圆轨迹与距离问题，培养推理能力| |拔高|含参数曲线分类、轨迹方程推导、存在性问题|单选6向量与轨迹综合，解答14证明与探究，发展创新意识与应用意识|

滚动习题(五) [范围2.4~2.7] (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 1.已知双曲线-=1的一个焦点坐标是(0,2),则实数m的值是 (　 ) A.1 B.-1 C.- D. 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(3,0),P(2,t)是抛物线C上一点,则|PF|= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线,下列说法正确的是 (　 ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线y=x对称 D.关于原点中心对称 4.[2025·南京高二期末] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,PF1⊥PF2,则△PF1F2的内切圆的半径为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.5 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|FQ|= (　 ) A.4 B. C.2 D. 6.[2026·西安高二月考] 设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是 (　 ) A.3x2+y2=1(x>0,y>0) B.3x2-y2=1(x>0,y>0) C.x2-3y2=1(x>0,y>0) D.x2+3y2=1(x>0,y>0) 二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分. 7.已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A,B分别为椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有 (　 ) A.|PF2|∈[1,9] B.cos∠F1PF2的最小值为- C.+的最小值为 D.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为3 8.[2025·山西晋城高二期末] 已知曲线C:ax2+by2=(b+1)x+ay(a,b∈R),则 (　 ) A.曲线C不可能是一个圆 B.曲线C可能为一条直线 C.当a=0且b(b+1)≠0时,曲线C的准线方程为x=- D.当a≠0,b=0时,曲线C关于直线x=-对称 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 9.[2026·天津南开区高二月考] 已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,P为C上一点,若△POF的面积为4(O为坐标原点),则|PF|=　　　　.  10.[2026·济南高二月考] 如图,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　　　　.  11.如图,已知点B(2,-1),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点(不包括端点),MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,则点P的轨迹方程为　　　　　　.  四、解答题:本大题共3小题,共43分. 12.(13分)[2026·西安高二月考] 一动圆与直线x=-2相切,且过F(2,0),设动圆圆心轨迹为E. (1)求曲线E的方程; (2)试求曲线E上一动点P,使得P到直线l:2x-y+4=0的距离最小,并求出最小值. 13.(15分)已知椭圆E的中心在坐标原点O,两个焦点分别为A(0,-1),B(0,1),一个顶点为H(0,2). (1)求椭圆E的标准方程; (2)对于y轴上的点P(0,t),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围. 14.(15分)[2025·甘肃酒泉高二期末] (1)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=-p2,x1x2=. (2)若方程+=1表示双曲线,求m的取值范围,并说明该方程表示的双曲线有共同的焦点. (3)求到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0)的点P的轨迹方程,并指出轨迹方程表示什么曲线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(五) [范围2.4~2.7] 1.B　[解析] 由焦点坐标知焦点在y轴上,所以m<0,则该双曲线的标准方程为-=1.由a2+b2=c2可得-m-3m=4,所以m=-1.故选B. 2.B　[解析] 由焦点坐标可知=3,由抛物线定义可知|PF|=2+=5.故选B. 3.D　[解析] 对于A,用-y替换方程中的y,得x2-xy+2y2=4,方程发生变化,即曲线不关于x轴对称,故A错误;对于B,用-x替换方程中的x,得x2-xy+2y2=4,方程发生变化,即曲线不关于y轴对称,故B错误;对于C,用x替换y,y替换x,得2x2+xy+y2=4,方程发生变化,即曲线不关于直线y=x对称,故C错误;对于D,用-x替换x,-y替换y得x2+xy+2y2=4,方程没有发生变化,因此曲线关于原点对称,故D正确.故选D. 4.B　[解析] 椭圆C:+=1的长轴长2a=14,焦距2c=2=10,则|PF1|+|PF2|=2a=14,由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=100,可得|PF1||PF2|=48.设△PF1F2的内切圆的半径为r,由=(2a+2c)r=|PF1||PF2|,得(14+10)r=48,解得r=2.故选B. 5.D　[解析] 由抛物线方程得F(1,0),准线l的方程为x=-1,点P是l上一点,设P(-1,t),Q(x0,y0),则=(-2,t),=(x0-1,y0).因为=4,所以-2=4(x0-1),解得x0=,又Q是直线PF与C的一个交点,所以|FQ|=x0+1=.故选D. 6.D　[解析] 由题意得Q(-x,y).设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,因为=2,所以(x,y-b)=2(a-x,-y),解得a=x,b=3y.因为a>0,b>0,所以x>0,y>0,所以A,B(0,3y).因为·=1,所以(-x,y)·=1,即x2+3y2=1(x>0,y>0).故选D. 7.ABD　[解析] 由椭圆方程知a=5,b=3,c=4,则|PF2|∈[a-c,a+c]=[1,9],故A正确;cos∠F1PF2===-1,因为|PF1||PF2 |≤=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时等号成立,所以cos∠F1PF2≥-,故B正确;+==≥,故C错误;若∠F1PF2=60°,则cos∠F1PF2=-1=,可得|PF1||PF2|=12,所以△F1PF2的面积为|PF1||PF2|sin 60°=3,故D正确.故选ABD. 8.BC　[解析] 取a=b=1,则曲线C:x2+y2=2x+y,即(x-1)2+=,此时曲线C是一个圆,故A错误.取a=b=0,则曲线C的方程为x=0,是一条直线,故B正确.当a=0且b(b+1)≠0时,曲线C的方程为y2=x,曲线C为抛物线,则曲线C的准线方程是x=-,故C正确.当a≠0,b=0时,曲线C的方程为ax2=x+ay,即y=x2-x=-,则曲线C关于直线x=对称,故D错误.故选BC. 9.6　[解析] 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,则S△POF=|OF||yP|=4,所以|yP|=4,又=8xP,所以xP=4,所以|PF|=xP-(-2)=6. 10.35　[解析] 由题可得a=5,P4为椭圆的上顶点.根据椭圆的对称性知|P1F|+|P7F|=2a,|P2F|+|P6F|=2a,|P3F|+|P5F|=2a,|P4F|=a,故|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35. 11.x2=-4y(x∈(0,2))　[解析] 设M(m,n),则E(2,n),D(m,0).因为kOB=-,所以线段OB的方程为y=-(0≤x≤2).因为M(m,n)是线段OB上任意一点(不包括端点),所以m=-2n(0<m<2).因为kOE=,所以线段OE的方程为y=x,所以P,因为n=-,所以点P,即=-4yP,所以点P的轨迹方程是x2=-4y(x∈(0,2)). 12.解:(1)设动圆的圆心为点M. 由题意可知,点M到直线x=-2的距离等于到点F(2,0)的距离,则曲线E是以点F(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则=2,所以p=4, 所以曲线E的方程为y2=8x. (2)由(1)可设P,t∈R, 则P到直线l:2x-y+4=0的距离d===, 当t=2时,d取得最小值,最小值为, 所以点P的坐标为时,P到直线l的距离最小,最小值为. 13.解:(1)因为椭圆E的焦点为A(0,-1),B(0,1),在y轴上,所以椭圆E的方程可设为+=1(a>b>0).依题意得a=2,c=1,则b==, 所以椭圆E的标准方程为+=1. (2)设M(x0,y0),显然y0≠±2,由(1)知+=1,即=3-, 由P(0,t),H(0,2),得=(-x0,t-y0),=(-x0,2-y0),由MP⊥MH,得·=0, 则+(t-y0)(2-y0)=0,即3-+(t-y0)(2-y0)=0,整理得t(2-y0)=-+2y0-3, 又y0≠2,所以t=y0-,又-2<y0<2,所以-2<t<-1,故实数t的取值范围为(-2,-1). 14.解:(1)证明:由抛物线y2=2px(p>0),可得其焦点坐标为, 由题意可设直线AB的方程为x=my+, 由消去x得y2-2pmy-p2=0, 因为直线与抛物线有A,B两个交点,所以y1y2=-p2, 因为=2px1,=2px2,所以=4p2x1x2,所以x1x2===. (2)若方程+=1表示双曲线,则(9-m)(4-m)<0,解得4<m<9,所以m的取值范围为(4,9). 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线,则双曲线的半焦距c==, 若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,则双曲线的半焦距c==,不存在, 所以该方程表示的双曲线有共同的焦点,并且焦点在x轴上. (3)根据题意,设A(a,0)(a>0),B(0,0),P(x,y). 由=λ,得|PA|=λ|PB|, 即(x-a)2+y2=λ2(x2+y2),即(1-λ2)x2+(1-λ2)y2-2ax+a2=0①, 则点P的轨迹方程为(1-λ2)x2+(1-λ2)y2-2ax+a2=0. 当λ=1时,轨迹方程为-2ax+a2=0,即x=,此时轨迹方程表示线段AB的垂直平分线; 当λ≠1时,①式可化为x2+y2-+=0, 即+y2=,此时轨迹方程表示圆. 学科网（北京）股份有限公司 $