2.6.1双曲线的标准方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.6.1 双曲线的标准方程 教学目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界中的作用。 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。 教学重难点 1.重点 双曲线的定义及标准方程。 2.难点 （1）双曲线标准方程的推导； （2）双曲线中的轨迹方程问题。 知识点01 双曲线的定义 （1）定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。 （2）焦点：两个定点、。 （3）焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为。 （4）双曲线就是下列点的集合：。 （5）要点注意： ①若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； ②若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）； ③若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； ④若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线。 【即学即练】 （25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 知识点02 双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2. 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线： 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线。 （2）对于方程，当时表示双曲线： 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线。 （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 【即学即练】 （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 题型01 双曲线的定义 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 【变式1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 【变式2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【分析】先判断两圆外离，根据圆与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设与圆 （圆心 ，半径 ）和 圆 （即 ，圆心 ，半径 ） 都外切的圆的圆心为 ，半径为， 由题意得，消去 得， 这表示点P到两定点和的距离之差为常数，且， 由双曲线的定义知：点的轨迹为双曲线， 又由知：，因此点的轨迹为双曲线的一支. 故选： C 【变式4】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 题型02 利用双曲线定义求方程 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 【变式1】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 【变式4】（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 题型03 判断方程是否表示双曲线 【典例1】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. 【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）（多选）当时，方程表示的曲线形状可能是（   ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【分析】根据椭圆、双曲线的标准方程进行判断即可. 【详解】因为，所以. 当时，方程变为，即和. 和为两条平行的直线，A正确； 当时，方程变为. 因为，所以此方程表示为焦点在轴上的椭圆，C正确； 当时，方程变为. 所以此方程表示为焦点在轴上的双曲线，D正确； 故选：ACD. 题型04 根据方程表示双曲线求参数取值（范围） 【典例1】（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由方程表示双曲线，得或，则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C 题型05 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【典例1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 【变式1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 【变式2】（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【详解】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 题型6 利用双曲线定义求双曲线中线段和差的最值 【典例1】（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【变式1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式2】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 【变式3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 题型07 双曲线中的轨迹方程问题 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式1】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式3】（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 【变式4】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 题型08 双曲线中的焦点三角形问题 【典例1】（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 【变式1】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义和标准方程，结合余弦定理即可求解. 【详解】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 【变式4】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 1.（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．射线 【答案】D 【分析】根据所给方程的几何意义分析点的轨迹. 【详解】设，则. 由题可知，， 所以点的轨迹是射线. 故选：D. 3.（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 5．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，进而得到点的轨迹方程. 【详解】由点，，可得， 因为，即，可得点三点共线， 且点的轨迹方程为. 故答案为： 6．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 9．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 10．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若表示双曲线，则表明与的系数同号，即，解得，由充分必要条件的概念可得是的充分不必要条件. 【详解】若表示双曲线，则有，解得， 易得是的充分不必要条件， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解. 【详解】由方程表示双曲线，得，解得或， 所以的取值范围为. 故选：A 12．（25-26高二上·河北雄安·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在双曲线上，若，则（    ） A．4 B．16 C．5或13 D．4或14 【答案】C 【分析】根据双曲线定义，结合已知条件，即可容易求得结果. 【详解】由题意有，由双曲线的定义可知， 且，所以，所以或5. 故选：C． 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质来判断到左焦点的距离． 【详解】对于双曲线，可得，，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为、，由题意可知， 又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 14.（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 15．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【分析】由双曲线定义可得，从而求出，得到，求出答案. 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 16．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 17．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，由，解出，进而得，计算，进而求解. 【详解】不妨设. 双曲线方程化成标准方程为，可得， 因为的面积为4，所以，则， 又，则，故.所以，， 则，所以， 故. 故选：C. 18．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【详解】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 19.（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 20．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．直线上 B．圆上 C．双曲线的一支上（一部分） D．椭圆上 【答案】C 【分析】利用圆心到定点的距离差为定值及双曲线的定义可判断. 【详解】设动圆圆心为 ，半径为 ， 已知圆 ，圆心 ，半径 ， 圆 化为标准形式 ，圆心 ，半径 ， 由于动圆与两圆均外切，有，两式相减得 即动点 到两个定点 和 的距离之差为常数 ，且，显然两圆相交， 根据双曲线的定义，满足 的点 的轨迹是双曲线中靠近焦点 一支的一部分， 因此，动圆圆心在双曲线的一支上（一部分）. 故选 ：C. 2．（25-26高二上·湖南·期中）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．双曲线上 B．直线上 C．圆上 D．椭圆上 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义确定正确答案. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径为． ，圆心为，半径为． 设所求圆的圆心为，半径为， 则，，， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的椭圆． 故选：D．    3．（25-26高三上·上海·期中）若将方程化简为的形式，则_____ 【答案】 【分析】将方程两边取平方后整理成，再进行两边取平方，化简即得双曲线的轨迹方程，写出，计算即得答案. 【详解】由两边取平方， 可得， 整理得：， 两边再取平方，可得， 即，也即. 故，则. 故答案为：. 4.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 5.（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【答案】C 【分析】为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，利用三角形中位线定理得到，由求出，设直线交于点，由的角平分线为，得到，由是的角平分线得到，，结合求出和的值，从而求出的周长. 【详解】   ，，， ，， 为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点， ， ，， 设直线交于点， 点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为， ，，，， ，， ，， ，，， 是的角平分线， ，， 点为双曲线第一象限内的一点，， ，，， ，的周长为. 故选：C. 6．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 8．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 9．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【答案】 【详解】方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，， 依题意得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 则，， 所以，， 故曲线的方程为． 方法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 设双曲线的方程为，则有解得， 故曲线的方程为． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 12．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 【答案】 【分析】利用双曲线定义及勾股定理，结合切线的性质，列方程求解即可. 【详解】如图所示，设，则， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆半径为，圆心为， 则，，， 由勾股定理有，即， ， 其中， 解得 ， 故，， 故所求坐标为, 故答案为：.    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6.1 双曲线的标准方程 教学目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界中的作用。 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。 教学重难点 1.重点 双曲线的定义及标准方程。 2.难点 （1）双曲线标准方程的推导； （2）双曲线中的轨迹方程问题。 知识点01 双曲线的定义 （1）定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。 （2）焦点：两个定点、。 （3）焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为。 （4）双曲线就是下列点的集合：。 （5）要点注意： ①若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； ②若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）； ③若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； ④若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线。 【即学即练】 （25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 知识点02 双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2. 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线： 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线。 （2）对于方程，当时表示双曲线： 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线。 （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 【即学即练】 （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 题型01 双曲线的定义 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【变式1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【变式2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式4】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 题型02 利用双曲线定义求方程 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型03 判断方程是否表示双曲线 【典例1】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）（多选）当时，方程表示的曲线形状可能是（   ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 题型04 根据方程表示双曲线求参数取值（范围） 【典例1】（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【典例1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【变式1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式2】（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型6 利用双曲线定义求双曲线中线段和差的最值 【典例1】（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【变式1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式2】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 题型07 双曲线中的轨迹方程问题 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型08 双曲线中的焦点三角形问题 【典例1】（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 1.（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．射线 3.（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 6．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 9．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 10．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河北雄安·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在双曲线上，若，则（    ） A．4 B．16 C．5或13 D．4或14 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 14.（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 16．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 19.（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 20．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．直线上 B．圆上 C．双曲线的一支上（一部分） D．椭圆上 2．（25-26高二上·湖南·期中）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．双曲线上 B．直线上 C．圆上 D．椭圆上 3．（25-26高三上·上海·期中）若将方程化简为的形式，则_____ 4.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 5.（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 6．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 8．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 9．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 12．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $