单元素养测评卷(二) 第2章 平面解析几何-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高二数学第二章解析几何单元卷，涵盖直线、圆、圆锥曲线等核心知识，结合2025-2026各地期中真题情境，通过基础到综合的梯度设计，考查几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线准线、直线平行条件、圆的切线|基础概念辨析，如第1题抛物线方程转化| |多选|3/18|直线方向向量、抛物线焦点弦性质|多维度能力考查，如第10题结合焦点弦长度与圆的位置关系| |填空|3/15|圆与直线相切、向量数量积、双曲线离心率|情境化问题设计，如第12题两圆相切与交点坐标综合| |解答|5/77|圆方程建立、双曲线与抛物线综合、轨迹方程推导|突出模型观念，如第15题航海暗礁问题，第18题轨迹方程推导体现数学思维|

单元素养测评卷(二)  第二章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线2y+3x2=0的准线方程为 (　　) A.x= B.x= C.y= D.y=- 2.[2026·安徽芜湖高二期中] 已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0.“k=3”是“l1∥l2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.过点(3,1)且与圆x2+y2-4x-6y+12=0相切的直线方程是 (　　) A.3x+4y-13=0 B.2x+3y-9=0或x=3 C.2x+3y-9=0 D.3x+4y-13=0或x=3 4.[2025·山东青岛高二期中] 若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-4)2+y2=16所截得的弦长为4,则双曲线C的离心率为 (　　) A. B. C. D.2 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上,Q(-1,0),且PF⊥PQ,则|PF|= (　　) A.-1 B.-2 C.2-3 D.4-8 6.[2025·江苏南通高二期末] 若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,2) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,1) 7.[2025·安徽阜阳高二期中] 已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,B是C的上顶点,BF的延长线交C于点A,若=4,则椭圆C的离心率是 (　　) A. B. C. D. 8.反比例函数y=(k≠0)的图象可以看作是由等轴双曲线绕原点经过旋转得到的,那么函数y=的图象的焦距为 (　　) A.2 B.4 C.4 D.6 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知直线l的倾斜角为120°,且直线l经过点(-1,2),则下列结论中正确的有 (　　) A.直线l的一个方向向量为u= B.直线l在x轴上的截距为 C.直线l与直线x-3y+2=0垂直 D.点(-1,0)到直线l上的点的最短距离是1 10.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=5,且|AF|>|BF|,则(　　) A.|BF|= B.直线AB的斜率为 C.以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 D.△ABO(O为坐标原点)的面积为 11.已知椭圆+y2=1,不经过原点O且斜率为k的直线l与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.直线AB与OM垂直 B.若点M的坐标为,则直线l的方程为x+2y-2=0 C.若直线l的方程为y=x+1,则点M的坐标为 D.若直线l的方程为y=x+2,则|AB|= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2026·福建龙岩高二期中] 如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O1,圆O2都与直线l:y=kx及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P(3,3),则直线l的方程为　　　　.  13.[2025·广西柳州高二期中] 已知点A(-1,0),B(3,0),若圆(x-m-1)2+(y-m+2)2=1上存在点P满足·=5,则实数m的取值范围是　　　　　　.  14.如图,在梯形ABCD中,已知|AB|=2|CD|,=,以A,B为焦点的双曲线过C,D,E三点,则该双曲线的离心率为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2026·黑龙江哈尔滨高二月考] 如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向20 km处,B岛在O岛的正东方向10 km处.已知在经过O,A,B三个点的圆形区域内有未知暗礁,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系. (1)写出暗礁所在区域边界的圆的方程; (2)现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛20 km处,正沿着北偏东45°行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险? 16.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线D:y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点(点A在点B下方),O为坐标原点,双曲线的离心率为,△ABO的面积为2. (1)求双曲线C的渐近线方程; (2)求p的值. 17.(15分)已知椭圆C1:+=1,椭圆C2以C1的短轴为长轴且与C1有相同的离心率. (1)求椭圆C2的方程; (2)设O为坐标原点,点A,B分别在C1,C2上,=2,求直线AB的方程. 18.(17分)[2026·辽宁大连高二期末] 在平面直角坐标系中,F(1,0),K(-1,0),P为平面内一点,在三角形PKF中,tan∠PKF=sin∠PFK,记点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)已知直线PK的斜率大于0,且直线PK被曲线E所截得的弦长为4,∠PFK为钝角,若PK交y轴于点G,求tan∠PFG的值. 19.(17分)[2026·江苏连云港高二期中] 已知椭圆E:+=1的长轴端点为A(-2,0),B(2,0),斜率为k的直线l与椭圆E交于M,N两点(与长轴端点不重合),记直线AM,AN,BM的斜率分别为k1,k2,k3,且满足kk1+kk2+2=0. (1)求证:k1k3为定值; (2)求证:直线l过定点; (3)判断直线AN,BM的交点P是否在一条定直线上,并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(二) 1.C　[解析] 抛物线2y+3x2=0,即x2=-y,所以抛物线的准线方程为y=.故选C. 2.A　[解析] ∵l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0和l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(k-3)(4-k),解得k=3或k=5.当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,则l1∥l2,满足题意;当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,则l1∥l2,满足题意.故“k=3”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A. 3.D　[解析] 由圆x2+y2-4x-6y+12=0,得该圆的圆心为(2,3),半径r=1.当切线斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意;当切线斜率存在时,设此切线的方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心(2,3)到切线kx-y+1-3k=0的距离d==1,解得k=-,则切线方程为-x-y+1-3×=0,即3x+4y-13=0.综上,所求切线的方程为x=3或3x+4y-13=0.故选D. 4.D　[解析] 由双曲线C:-=1(a>0,b>0)可得其渐近线为y=±x,依题意得圆(x-4)2+y2=16的圆心(4,0)到直线bx-ay=0的距离为=,可得=3,则离心率e=====2.故选D. 5.A　[解析] 由题意可得F(1,0),Q(-1,0),设P(x,y)(x>0),则=(1-x,-y),=(-1-x,-y),因为PF⊥PQ,所以·=x2-1+y2=0,又y2=4x,所以x2+4x-1=0,可得x=-2+,所以|PF|=-2++1=-1. 故选A. 6.A　[解析] 圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2,等价于以(a,1)为圆心,2为半径的圆与圆x2+y2=1相交,所以2-1<<2+1,解得-2<a<0或0<a<2,所以实数a的取值范围为(-2,0)∪(0,2).故选A. 7.D　[解析] 不妨设F,F'分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆的焦距为2c,连接BF',AF',则|BF|=|BF'|=a,由=4,可得|AF|=|BF|=a,|AF'|=2a-|AF|=a.在△ABF'中,由余弦定理得cos∠ABF'===-,结合∠ABF'=2∠FBO(O为坐标原点),可得1-2sin2∠FBO=-,可得sin∠FBO=,所以椭圆C的离心率e===sin∠FBO=.故选D. 8.B　[解析] 设函数y=的图象是由双曲线-=1(a>0)旋转得到的,函数y=的图象的对称轴为直线y=x和y=-x,y=的图象与直线y=x的交点是A(,),B(-,-),则点A到中心(原点)的距离为=2,所以a=2,则c==2,所以所求焦距为2c=4.故选B. 9.ACD　[解析] 对于A,因为直线l的倾斜角为120°,所以直线l的斜率k=tan 120°=-,所以直线l的一个方向向量为n=(1,-),因为u==-(1,-),所以u=-n,所以u=是直线l的一个方向向量,故A正确;对于B,因为l的斜率k=-,直线l经过点(-1,2),所以直线l的方程为y-2=-(x+1),当y=0时,x=-1,所以直线l在x轴上的截距为-1,故B错误;对于C,直线x-3y+2=0的斜率为,因为-×=-1,所以直线l与直线x-3y+2=0垂直,故C正确;对于D,因为点(-1,0)到直线l:x+y+-2=0的距离d==1,所以点(-1,0)到直线l上的点的最短距离是1,故D正确.故选ACD. 10.ACD　[解析] 根据对称性,不妨设直线AB的倾斜角为θ,由题知,准线l:x=-1,p=2,过点A作AM⊥l,AK⊥x,垂足分别为M,K,则|AF|=|AM|=|AF|cos θ+p,同理可得|BF|=p-|BF|cos θ,由|AF|=5,p=2,可得cos θ=,|BF|==,故A正确;sin θ==,则tan θ=,由抛物线的对称性知直线AB的斜率k=±,故B错误;设线段AB的中点为P,过B,P分别作准线l的垂线,垂足分别为N,Q,易知|PQ|===,所以以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,故C正确;S△ABO=|OF|·(|AF|sin θ+|BF|sin θ)=×1×=,故D正确.故选ACD. 11.BD　[解析] 当直线l的斜率存在且不为零时,直线l与椭圆+=1相交于不同的A,B两点,M为线段AB的中点,则kAB·kOM=-=-.对于A,当直线l的斜率k=0时,由椭圆的对称性可知线段AB的中点M在y轴上,直线AB与OM垂直,当直线l的斜率k≠0时,根据椭圆的中点弦的性质得kAB·kOM=-≠-1,故直线AB与OM不垂直,故A错误;对于B,由点M的横坐标、纵坐标都不在坐标轴上,可知直线l的斜率存在且不为零,又kAB·kOM=-,kOM=,所以kAB=-,则直线l的方程为y-=-(x-1),即x+2y-2=0,故B正确;对于C,若直线l的方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×(-2)=-2≠-,故C错误;对于D,由消去y,得5x2+16x+12=0,解得x1=-2,x2=-,所以|AB|==,故D正确.故选BD. 12.y=x　[解析] 设直线l的倾斜角为α,则k=tan α,则圆心O1,O2都在α的平分线上.令t=tan,则k=.由圆心O1,O2都在直线y=tx上,可设O1(m,mt),O2(n,nt),m,n,t>0,则☉O1:(x-m)2+(y-mt)2=(mt)2,☉O2:(x-n)2+(y-nt)2=(nt)2.因为交点P(3,3)在第一象限,所以即所以m,n是关于x的方程x2-(6+6t)x+18=0的两根,则mn=18.由mt·nt=2,得t2=,则t=,所以k==,则直线l的方程为y=x. 13.[1-,0]∪[2,1+]　[解析] 由题意可知圆(x-m-1)2+(y-m+2)2=1的圆心为N(m+1,m-2),半径r1=1.设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(3-x,-y),由·=x2+y2-2x-3=5,整理得(x-1)2+y2=9,所以点P在圆心为M(1,0),半径r2=3的圆上.由题可知两圆有公共点,则|r1-r2|≤|NM|≤r1+r2,即2≤≤4,解得1-≤m≤0或2≤m≤1+,所以实数m的取值范围是[1-,0]∪[2,1+]. 14.　[解析] 以AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),∵双曲线的左、右焦点分别是A,B,∴A(-c,0),B(c,0),把x=c代入-=1,可得y=±b,则C,∴=.设E(x,y),则=(x+c,y),∵=,∴(x+c,y)=,解得x=-c,y=b·,则E,代入双曲线的方程可得-=1,即e2-=,可得e=. 15.解:(1)∵A岛在O岛的北偏东45°方向20 km处,∴A(20,20). ∵B岛在O岛的正东方向10 km处,∴B(10,0). 设过O,A,B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 故圆的方程为x2+y2-10x-30y=0. (2)由圆的方程为x2+y2-10x-30y=0,得圆的圆心为(5,15),半径r=5. 设船起初所在的位置为C,则C(-10,-10),又该船航线所在直线的斜率为1,∴该船航线所在直线的方程为y+10=x+10,即x-y+10-10=0, 则圆心(5,15)到直线x-y+10-10=0的距离d==5<5,故该船若不改变方向,则有触礁的危险. 16.解:(1)因为双曲线的离心率为,所以==,可得=,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. (2)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由得所以A,同理可得B,所以|AB|=p, 所以△ABO的面积为×p×=2,可得p=2. 17.解:(1)由椭圆C1的方程为+=1,可知椭圆C1的短轴在x轴上,且短轴长为4,离心率为.设椭圆C2的方程为+=1(0<b<2),因为椭圆C2的离心率为,所以=,解得b2=1,所以椭圆C2的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2可知O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,所以可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1,得+(kx)2=1,所以=,将y=kx代入+=1,得+=1,所以=. 因为=2,所以(x1,y1)=2(x2,y2),即x1=2x2,所以=4,即=4×,则k2=1,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x. 18.解:(1)过点P作PM垂直于x轴,垂足为M. 则sin∠PFK=,tan∠PKF=,所以=,所以|PF|=|KM|,因为|KM|为点P到直线x=-1的距离,所以点P到直线x=-1的距离等于|PF|. 方法一:设P(x,y)(x≠0),则|x+1|=,化简可得曲线E的方程为y2=4x(x≠0). 方法二:点P在以F为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线上(不包括原点),设抛物线方程为y2=2px(p>0,x≠0),则=1,解得p=2, 所以曲线E的方程为y2=4x(x≠0). (2)设PK:x=ty-1,由得y2-4ty+4=0,由Δ=16t2-16>0,且t>0,得t>1.设直线PK与曲线E的交点为P(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,所以|PN|=|y2-y1|===4,可得t=2. 因为=t=2,所以tan∠PKF=,所以sin∠PFK=,又∠PFK∈,所以∠PFK=,由题可知,△GOK≌△GOF(O为坐标原点), 所以tan∠PKF=tan∠GFO=,所以tan∠PFG=tan(∠PFK- ∠GFK)===-. 19.解:(1)证明:设M(x1,y1),则k1=,k3=,k1k3=×=. ∵M(x1,y1)在椭圆+=1上,∴+=1, ∴=2-,∴k1k3===-,故k1k3为定值-. (2)证明:设斜率为k的直线l的方程为y=kx+m,∵M,N与长轴端点不重合,∴k≠0,k≠±.将y=kx+m代入+=1,得+=1, 整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,则Δ=32k2-8m2+16>0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 ∵M(x1,y1),N(x2,y2)在直线y=kx+m上,∴y1=kx1+m,y2=kx2+m, 则k1==,k2==, ∴k1+k2=+== == ==, ∵kk1+kk2+2=0,∴k(k1+k2)+2=0, ∴k+2=0,∴m2-3km+2k2=0, ∴(m-2k)(m-k)=0,∴m=2k或m=k. 当m=2k时,直线l的方程为y=kx+m=kx+2k=k(x+2), 此直线恒过点(-2,0),不满足题意,舍去; 当m=k时,直线l的方程为y=kx+m=kx+k=k(x+1),此直线恒过点(-1,0). 故直线l过定点(-1,0). (3)交点P在定直线x=-4上,证明如下: ∵A(-2,0),B(2,0),M(x1,y1),N(x2,y2),kAN=k2=,∴直线AN的方程为y=(x+2),kBM=k3=, ∴直线BM的方程为y=(x-2). 由y=(x+2)和y=(x-2),得(x+2)=(x-2),整理得=. 由(2)知,y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),代入=, 得===. 将y=k(x+1)代入+=1,得+=1, 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0, 则∴ ∴=,∴x1x2=(x1+x2)-4, ∴===, ∴x=-4,∴交点P在定直线x=-4上. 学科网（北京）股份有限公司 $