2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本练习围绕抛物线标准方程，通过基础巩固、综合应用到拓展探究的分层设计，实现从概念理解到实际问题解决的知识进阶，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义与标准方程|以选择填空为主，直接考查准线、焦点等概念（如第1题求准线方程）| |提升层|几何性质与综合应用|结合几何图形与最值问题，如第4题正三角形与抛物线结合| |拓展层|实际情境与创新探究|设置大桥、铁路轨迹等实际问题（如第6题）及★标记题，深化应用能力|

2.7　抛物线及其方程 2.7.1　抛物线的标准方程 1.抛物线x2=-16y的准线方程为 (　 ) A.x=4 B.x=-4 C.y=-4 D.y=4 2.[2025·辽宁锦州高二期末] 已知P(1,m)为抛物线y2=8x上一点,F为抛物线的焦点,则|PF|= (　 ) A.3 B.4 C.8 D.9 3.已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=2,则点P的坐标为 (　 ) A.(2,±4) B.(±2,4) C.(±,2) D.(,±2) 4.[2026·江西九江高二期末] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,A为C上一点,B为l上一点.若△ABF是正三角形,则△ABF的边长为 (　 ) A.2 B.3 C.2 D.4 5.抛物线C:x2=4y的准线为l,M为C上的动点,则点M到l与到直线2x-y-5=0的距离之和的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·陕西咸阳高二期中] 如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图,该桥是世界首座地锚式回转缆悬索桥.大桥主跨OA长约500米,主塔AB高约100米,缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分,若F为抛物线C的焦点,则主塔端点B到焦点F的距离约为 (　 ) A.1350米 B.758米 C.725米 D.558米 7.(多选题)已知F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上的一点,|AF|=2,则下列说法正确的是 (　 ) A.焦点F的坐标为(1,0) B.准线方程为y=-1 C.点A的坐标为(1,2)或(1,-2) D.焦点到准线的距离为4 8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线-=1的右焦点,则p=　　　　.  9.已知点O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(8,y0)在C上,且M到C的准线的距离为10,则△OMF的面积为　　　　.  10.(13分)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点A(2,2),F是抛物线的焦点,O为坐标原点,∠OFM=120°且点M在抛物线上. (1)求抛物线的标准方程; (2)求|FM|. 11.[2025·安徽蚌埠高二期末] 已知圆心在x轴上移动的圆经过点M(-4,0),且与x轴,y轴分别交于A,B两个动点,过A,B分别作x轴,y轴的垂线,两条垂线的交点记为P,则点P的轨迹为 (　 ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ★12.(多选题)设拋物线C:y2=4x的焦点为F,M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是 (　 ) A.准线l的方程是x=-2 B.|ME|+|MF|的最小值为4 C.|ME|-|MF|的最大值为5 D.以线段MF为直径的圆与y轴相切 13.[2025·南昌高二期中] 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=4y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为　　　　.  14.(15分)如图,点A是东西和南北走向两条相互垂直的道路CD和MN的交点,假设一段铁路从点A出发,延曲线方向向东北无限延伸,铁路上任意点B到点A正东方向0.5千米处的一车站F与其到道路MN的距离之差均为0.5千米(道路与铁路的宽度均忽略不计). (1)试建立合适的平面直角坐标系,求铁路所在曲线AB的方程; (2)若在道路CD上位于点A正东方向t千米处有一仓库T(t为常数,t>0),B为铁路上任意一点,其到点T的距离为|BT|=d,求d的最小值,并求此时点B到道路MN的距离(单位:千米). 15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是 (　 ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 ★16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离. (1)求动点P的轨迹方程; (2)若过点F的直线l与动点P的轨迹交于A,B两点,且=2,求直线l的斜率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7　抛物线及其方程 2.7.1　抛物线的标准方程 1.D　[解析] 抛物线x2=-16y的准线方程为y=4.故选D. 2.A　[解析] 由题意可知,抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2.由P(1,m)为该抛物线上一点,根据抛物线的定义可得|PF|=1+2=3.故选A. 3.D　[解析] 因为抛物线C:y2=4x,所以=.由抛物线的定义得|PF|=xP+=xP+=2,得xP=,则yP=±=±2,所以点P的坐标为(,±2).故选D. 4.D　[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1.如图,∵△ABF是正三角形,∴|AB|=|AF|,由抛物线的定义知AB⊥l,则点B的横坐标xB=-1,又|FB|=|FA|,∴点F在AB的垂直平分线上,则=xF,即=1,∴xA=3,∴|AB|=xA+1=4,则△ABF的边长为4.故选D. 5.D　[解析] 抛物线的焦点为F(0,1).根据抛物线的定义可知,点M到l的距离等于|MF|,所以点M到l与到直线2x-y-5=0的距离之和即为|MF|与点M到直线2x-y-5=0的距离之和.|MF|与点M到直线2x-y-5=0的距离之和的最小值为焦点F(0,1)到直线2x-y-5=0的距离,所以最小值为=.故选D. 6.C　[解析] 如图,以O为原点,直线OA为x轴,过O且与主塔AB平行的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(500,100).设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则5002=2p×100,解得p=1250,因此抛物线C的焦点F的坐标为(0,625),准线方程为y=-625,由抛物线的定义得|BF|=100+625=725,则主塔端点B到焦点F的距离约为725米.故选C. 7.AC　[解析] 由y2=4x可知2p=4,即p=2,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A正确,B错误;由抛物线定义可知|AF|=xA-(-1)=2,即xA=1,代入抛物线方程可得=4,即yA=±2,所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2),故C正确;由抛物线方程可知,焦点到准线的距离为p=2,故D错误.故选AC. 8.6　[解析] 抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为.在双曲线-=1中,a2=5,b2=4,则c==3,故双曲线-=1的右焦点的坐标为(3,0),则=3,解得p=6. 9.8　[解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,因为M到C的准线的距离为10,所以8+=10,即p=4,则抛物线C:y2=8x,所以F(2,0),将M(8,y0)的坐标代入抛物线方程可得=64,即y0=±8,所以△OMF的面积为|OF|·|y0|=×2×8=8. 10.解:(1)把A(2,2)的坐标代入y2=2px得8=4p,所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x. (2)过M作MN垂直于准线,垂足为N,过F作FK⊥MN,垂足为K, 由抛物线定义知|MN|=|MF|,所以|MF|=|MK|+|KN|, 因为∠OFM=120°,所以|MK|=|MF|,又|KN|=2|OF|=2,所以|MF|=|MF|+2,所以|MF|=4. 11.D　[解析] 设圆心坐标为(a,0),则圆的方程为(x-a)2+y2=(a+4)2.令y=0,得x=-4或x=2a+4,则A(2a+4,0);令x=0,得y2=8a+16,则B(0,±),所以P(2a+4,±),所以y2=4x,所以点P的轨迹为抛物线.故选D. 12.BD　[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A错误;过点M作MA垂直于准线于点A,则|MF|=|MA|,则|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|AE|,当且仅当E,M,A共线时,|ME|+|MF|取得最小值,最小值为点E到准线的距离4,故B正确;由||ME|-|MF||≤|EF|=,可得-≤|ME|-|MF|≤,当且仅当E,F,M共线时取等号,故|ME|-|MF|的最大值为,故C错误;由M,得线段MF的中点坐标为,因为|MF|==+1,所以=,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选BD. [技巧点拨] 涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离的最值问题,都可以应用抛物线的定义将其进行转化,一般地,满足点共线时取得最值. 13.2　 [解析] 设A(0,b)(b>0),P(x,y)是抛物线上任一点,显然y≥0,由题得抛物线内以A为圆心的圆能过原点O且只有一个交点,则|PA|的最小值是|OA|.|PA|====,所以当y=b-2时,|PA|取得最小值.若b-2>0,则点P不可能是原点,即抛物线的顶点,不符合题意;若b-2≤0,即0<b≤2,当y=0时,|PA|min=|b|,此时圆A的半径为b,b的最大值是2.综上可得,清洁钢球的最大半径为2. 14.解:(1)如图,以A为原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则F.设点B到道路MN的距离为d2,由题得,|BF|-d2=,即点B到直线x=-的距离d1=|BF|, 根据抛物线的定义知,曲线AB的方程为y2=2x(y≥0). (2)由(1)得T(t,0),设B(x0,y0),则d===,x0≥0. 当t-1≥0,即t≥1时,dmin=,此时点B到道路MN的距离为(t-1)千米; 当t-1<0,即0<t<1时,dmin=t,此时点B到道路MN的距离为0千米. 15.B　[解析] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作PQ⊥AD,垂足为Q,则PQ⊥平面ADD1A1,过Q作QR⊥A1D1,垂足为R,连接PR,因为PQ∩QR=Q,所以A1D1⊥平面PQR,则PR为点P到直线A1D1的距离.连接PM,由题意得PR2-PQ2=RQ2=1,PR2-PM2=1,所以PQ=PM,即P到点M的距离等于P到AD的距离,根据抛物线的定义可得,点P的轨迹是抛物线,故选B. 16.解:(1)设P(x,y),则=|x+1|,整理得y2=4x,即动点P的轨迹方程为y2=4x. (2)由(1)得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1. 设A,B在准线上的投影分别为A1,B1,过B作BH⊥AA1于点H, 因为|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,=2,所以|AA1|=2|BB1|. 设|BB1|=x,则|AB|=3x,|AH|=x,所以|BH|=2x,所以tan∠BAH==2. 又直线l的倾斜角可能等于∠BAH,也可能等于∠BAH的补角,所以直线l的斜率为±2. [易错点] 本题容易忽略直线l的倾斜角是锐角还是钝角,而导致丢解. 学科网（北京）股份有限公司 $