2.7.1 抛物线的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到综合运用，覆盖抛物线标准方程核心知识点，通过概念理解、运算应用到实际建模，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础巩固|抛物线定义、标准方程、焦点准线关系|第1题直接考查准线求方程，第3题结合定义推导轨迹，夯实概念理解| |B级综合运用|抛物线与圆、最值、实际问题|第14题以公路建设为情境建模，第13题一题多解提升推理能力，深化综合应用|

2.7.1　抛物线的标准方程 1.抛物线的准线方程为x=－4，则抛物线方程为（　　） A．x2=16y　 B．x2=8y C．y2=16x　 D．y2=8x 2.已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，点M在C上，且|MF|=6，则点M到y轴的距离为（　　） A．6　 B．5 C．4　 D．4 3.在x轴的上方的动点M到定点（0，1）的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（　　） A．x2=2y　 B．y2=2x C．x2=4y　 D．y2=4x 4.已知抛物线y=x2上的点P到焦点F的距离为4，则△OPF的面积为（　　） A．2　 B．4 C．8　 D．16 5.〔多选〕已知抛物线C：y2=2px过点A（1，2），F为C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则（　　） A．C的准线方程为x=－2 B．△AFO的面积为1 C．存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2 D．存在点P，使得△POF为等边三角形 6.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　　． 7.已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2－=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=　　　　． 8.O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为　　　． 9.已知A，B是抛物线y2=4x上的动点，且满足|AB|=10，则AB中点M的横坐标x0的最小值为　　　　 　． 10.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为y=4； （2）顶点在原点，且过点（－3，2）； （3）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5. 11.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　） A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x 12.〔多选〕设抛物线y2=4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A．抛物线的准线方程是x=－1 B．焦点到准线的距离为4 C．若A（2，1），则|PA|＋|PF|的最小值为3 D．以线段PF为直径的圆与y轴相切 13.〔一题多解〕已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|=6，则C的准线方程为　　　　． 14.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电． （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； （2）问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 2.7.1　抛物线的标准方程 1.C　抛物线的准线为x=－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y2=2px（p＞0），则=4，p=8，抛物线方程为y2=16x．故选C． 2.D　由题意及抛物线定义，点M到C的准线x=－2的距离为6，所以点M到y轴的距离为6－2=4.故选D． 3.C　因为动点M（x，y）到定点（0，1）的距离比到x轴的距离多1，所以动点M（x，y）到定点（0，1）的距离与到直线y=－1的距离相等．根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线，并且其焦点为（0，1），准线为y=－1，所以其抛物线的方程为x2=4y．故选C． 4.B　由y= x2，可得x2=8y，焦点F（0，2），因为点P到焦点F的距离为4，故P点的纵坐标为2，可知P点的坐标为（－4，2）或（4，2），所以S△OPF=×2×4=4.故选B． 5.BC　由题意抛物线C：y2=2px过点A（1，2），可得p=2，所以抛物线方程为C：y2=4x，所以准线方程为x=－1，A错误；易知S△AFO=×1×2=1，B正确；当P（1，2）时，点P到C的焦点的距离为2，C正确；△POF为等边三角形，可知P的横坐标为，当x=时，纵坐标为±，则×=≠，则△POF为等腰三角形，不是等边三角形，D错误． 6.　解析：抛物线方程化为x2=y，准线为y=－，由于点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离也为1，所以点M的纵坐标为1－ =． 7.　解析：根据抛物线的定义得1＋=5，p=8.不妨取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得－×2=－1，故a=． 8.　解析：由y2=4x可得抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=－1，如图，过点P作准线x=－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|=|PF|=4，设P（x，y），则x－（－1）=4，解得x=3，将x=3代入y2=4x，可得y=±2，所以△POF的面积为|y|•|OF|=×2×1=． 9.4　解析：设抛物线y2=4x的准线为l，焦点为F，则l：x=－1，过点A作AA1⊥l于A1，过点B作BB1⊥l于B1，连接FA，FB（图略），则2（x0＋1）=|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|≥|AB|=10，得x0＋1≥5，解得x0≥4，所以x0的最小值为4. 10.解：（1）由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且=4，p=8， 故抛物线的标准方程为x2=－16y． （2）由题意知抛物线的焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=－2p′x（p′＞0），分别将（－3，2）代入，则9=4p，4=6p′，解得p=，p′=，故抛物线的标准方程为x2=y或y2=－x． （3）由抛物线的焦点在x轴上，且点A（3，m）在抛物线上， 得抛物线的焦点在x轴正半轴上， 则设抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点为（，0），准线方程为x=－，又因为抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5， 根据抛物线的定义，得3－（－）=5，p=4，故抛物线的标准方程为y2=8x． 11.C　抛物线的焦点F，设M（x，y），根据抛物线的定义可知|MF|=x＋=5，所以x=5－．圆心是MF的中点，根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为=，圆的半径为，所以该圆与y轴相切于点（0，2），所以圆心纵坐标为2，则M点的纵坐标为4，即M，代入抛物线方程得42=2p•，即p2－10p＋16=0，解得p=2或p=8，所以抛物线方程为y2=4x或y2=16x．故选C． 12.ACD　抛物线的准线方程为x=－=－1，故A正确；焦点到准线距离为p=2，故B错误；当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为（2，2），此点位于点A（2，1）的上面，故A在抛物线内部，当直线PA垂直准线时|PA|＋|PF|取最小值，即为xA＋=3，故C正确；根据题意，可得抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），设P（m，n），PF的中点为B（x1，y1），可得x1=（1＋m），过P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义，得|PF|=|PQ|=m＋1，则x1=|PF|，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确﹒ 13.x=－　解析：法一（通解）　由题易得|OF|=，|PF|=p，∠OPF=∠PQF，所以tan∠OPF=tan ∠PQF，所以=，即=，解得p=3，所以C的准线方程为x=－． 法二（优解）　由题易得|OF|=，|PF|=p，|PF|2=|OF|•|FQ|，即p2=×6，解得p=3或p=0（舍去），所以C的准线方程为x=－． 14.解：（1）如图所示，以过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2=2py（p＞0），则p=4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y． （2）要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小． 如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|=|MH|，所以|MA|＋|MB|=|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M． 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $