2.6 双曲线及其方程 2.6.2 双曲线的几何性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|渐近线方程、离心率计算|选择填空为主，直接应用公式，强化概念理解| |技能应用|焦点三角形、几何性质综合|结合花瓶情境（第5题），发展几何直观与空间观念| |综合提升|最值问题、跨知识综合|含椭圆与双曲线综合题（第12题），培养推理能力与模型观念|

2.6.2　双曲线的几何性质 1.已知双曲线C:-=1(m>0)的一条渐近线的方程为y=-x,则m的值为 (　 ) A. B. C. D. 2.已知双曲线经过点(,-6),且渐近线方程为y=±3x,则该双曲线的标准方程是 (　 ) A.-x2=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 3.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 4.[2025·南京高二期末] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 (　 ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.2x±y=0 5.[2026·贵州毕节高二月考] 如图①是一个落地青花瓷,其中底座和瓶口的直径相等,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面,如图②.若该花瓶横截面圆的最小直径为10 cm,最大直径为20 cm,双曲线的离心率为2,则该花瓶的高为 (　 ) A.30 cm B.40 cm C.50 cm D.60 cm 6.双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和C2:-=1(a2>0,b2>0)的离心率分别为e1和e2,若e1>e2,则下列说法正确的是 (　 ) A.C1的渐近线斜率的绝对值较大,C1的开口较开阔 B.C1的渐近线斜率的绝对值较大,C1的开口较狭窄 C.C2的渐近线斜率的绝对值较大,C2的开口较开阔 D.C2的渐近线斜率的绝对值较大,C2的开口较狭窄 7.(多选题)设双曲线C:-x2=1的上、下焦点分别为F1,F2,则下列说法正确的是 (　 ) A.|F1F2|=2 B.C的渐近线方程为x±y=0 C.C的离心率为 D.若点M在双曲线C上且线段F1M的中点为N,|ON|=2,则|MF1|=6 8.已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的一个点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　.  ★9.已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,cos∠MF2F1=,则E的离心率为　　　　.  10.(13分)(1)若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程. (2)求满足下列条件的双曲线的标准方程. ①中心在原点,两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分; ②渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6. ★11.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围为 (　 ) A.(1,2] B.(1,3] C.[2,3] D.[3,+∞) 12.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线D:x2-=1有相同的焦点F1,F2,且它们的离心率互为倒数,P是C与D的一个公共点,则 (　 ) A.|PF1|-|PF2|=|F1F2| B.|PF1|+|PF2|=2|F1F2| C.△PF1F2为直角三角形 D.C上存在一点Q,使得QF1⊥QF2 13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线上且异于点A,B,若直线PA,PB的斜率之积为8,则双曲线的率心率为　　　　.  14.(15分)[2026·安徽六安一中高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0,其虚轴长为2,P为双曲线C上任意一点. (1)求证:点P到两条渐近线的距离之积为定值,并求出此定值; (2)若双曲线C的左顶点为A1,右焦点为F1,求·的最小值. 15.在x轴上方作圆与x轴相切,切点为D(,0),分别过点A(-2,0),B(2,0)作该圆的切线AM和BM,两切线相交于点M,则点M的横坐标的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-]∪[,+∞) C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-∞,-]∪[,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6.2　双曲线的几何性质 1.D　[解析] 因为双曲线C:-=1(m>0)的一条渐近线的方程为y=-x,所以=,解得m=.故选D. 2.A　[解析] 由双曲线的渐近线方程为y=±3x,可设该双曲线的方程为9x2-y2=λ(λ≠0).将点(,-6)的坐标代入双曲线的方程可得λ=9×3-36=-9,所以双曲线的方程为9x2-y2=-9,则双曲线的标准方程为-x2=1.故选A. 3.A　[解析] 由题得==,则=1,又双曲线的渐近线方程为y=±x,所以其渐近线方程为y=±x,故选A. 4.B　[解析] 由题意得==2,则b2=3a2,所以-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x=±y,即x±y=0.故选B. 5.A　[解析] 由该花瓶横截面圆的最小直径为10 cm,得a=5,又双曲线的离心率为2,所以c=10,所以b=5,则双曲线的方程为-=1.当x=10时,y=±15,故该花瓶的高为30 cm.故选A. 6.A　[解析] 由题得e1====,同理可得e2=.因为双曲线C1的渐近线方程为y=±x,双曲线C2的渐近线方程为y=±x,e1>e2,所以>,即>,即>,所以C1的渐近线斜率的绝对值较大,又离心率越大,双曲线开口越开阔,所以C1的开口较开阔.故选A. 7.AC　[解析] 由题意可知,a=,b=1,c==,则|F1F2|=2c=2,C的渐近线方程为y=±x,离心率e==,故A,C正确,B错误;对于D,当M位于x轴上方时,有|MF2|=2|ON|=4,则|MF1|=|MF2|-2a=4-2=2,故D错误.故选AC. 8.16　[解析] 因为∠F1PF2=60°,所以cos∠F1PF2==,则+-=|PF1|·|PF2|,所以(|PF1|-|PF2|)2-=-|PF1|·|PF2|,则|PF1|·|PF2|=64,所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=16. 9.　[解析] 由可得y=±,所以|MF1|=,又M在双曲线左支上,所以|MF2|-|MF1|=2a,所以|MF2|=2a+,则cos∠MF2F1===,即=,整理得3ac=a2+c2,则e2-3e+=0,解得e=或e=(舍去),故e的离心率为. [易错点] 本题容易忽略点M在双曲线的左支,而导致定义式应用错误,进而导致结果错误. 10.解:(1)因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上, 所以(2)2m-4×102+4m=0,解得m=25, 则双曲线的方程为25y2-4x2+100=0, 即-=1,所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29, 则实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=2,焦点坐标为(,0),(-,0),顶点坐标为(-5,0),(5,0),离心率e==,渐近线方程为y=±x. (2)①由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6, 所以b2=c2-a2=62-32=27. 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. ②设双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即-=1(λ≠0),由题意得a=3. 当λ>0时,=9,解得λ=36,故双曲线的方程为-=1; 当λ<0时,=9,解得λ=-81,故双曲线的方程为-=1. 综上可得,所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. 11.B　[解析] 由题知|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=2a+|PF2|,所以==+4a+|PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取得等号.设P(x0,y0)(x0≥a),则|PF2|==ex0-a=2a,则ex0=3a,所以e=≤3,又双曲线的离心率e>1,所以e∈(1,3].故选B. [技巧点拨] 涉及双曲线的最值问题,常常可应用均值不等式或二次函数求最值的方法进行求解,具体问题中涉及范围问题要考虑双曲线上点的坐标的范围,即x,y的范围,和焦半径范围的应用. 12.BC　[解析] 设F1(-c,0),F2(c,0),双曲线D的半实轴长a1>0,半虚轴长b1>0,椭圆C的离心率为e,双曲线D的离心率为e1.由双曲线的方程可知a1=1,b1=,则c==2,e1==2,则F1(-2,0),F2(2,0),椭圆C的离心率为,则解得对于A,由双曲线定义可知||PF1|-|PF2||=2=|F1F2|,故A错误;对于B,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=8=2|F1F2|,故B正确;对于C,不妨设P在第一象限,则解得故|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以PF2⊥F1F2,所以△PF1F2为直角三角形,故C正确;对于D,若QF1⊥QF2,则点Q在以F1F2为直径的圆x2+y2=4上,因为无解,所以C上不存在点Q,使得QF1⊥QF2,故D错误.故选BC. 13.3　[解析] 由题得A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则kPA·kPB=·=,因为点P在双曲线上,所以y2=,则kPA·kPB==8,故双曲线的离心率e==3. 14.解:(1)由题意可得解得 所以双曲线C的方程为-=1,渐近线方程为x±2y=0. 设P(x0,y0),则5-4=20, 点P到两条渐近线的距离之积为·==,为定值. (2)由双曲线方程得A1(-2,0),F1(3,0),因为点P(x0,y0)(x0≥2或x0≤-2)在双曲线上,所以=-5, 所以·=(-2-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=-x0-6+=-x0-6+-5=-x0-11(x0≥2或x0≤-2), 因为y=x2-x-11的图象的对称轴为直线x=, 所以当x0=2时,·取得最小值-4. 15.A　[解析] 设直线AM,BM分别与圆相切于点E,F.当M在第一象限时,如图①,由题可知|ME|=|MF|,|AE|=|AD|,|BF|=|BD|,又|AM|=|AE|+|ME|,|BM|=|BF|+|MF|,所以|AM|-|BM|=|AE|+|ME|-(|BF|+|MF|)=|AD|-|BD|=2<|AB|,根据双曲线的定义可知,此时M在以A,B为焦点的双曲线的右支上(不包括顶点),所以xM>;当M在第三象限时,如图②,同理可得|MA|-|MB|=(|ME|-|AE|)-(|MF|-|BF|)=|ME|-|MF|+|BF|-|AE|=|BD|-|AD|=-2,根据双曲线的定义可知,此时M是以A,B为焦点的双曲线的左支上的点(不包括顶点),所以xM<-.综上,点M的横坐标的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $