2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练习通过基础认知、技能应用、综合探究三层设计，覆盖双曲线定义、标准方程及综合应用，梯度衔接紧密，助力新授课知识巩固与推理能力、模型观念培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|双曲线定义及标准方程|以★标记题（如第1、13题）聚焦概念辨析，直接考查焦点位置条件等基础考点| |技能应用层|定义应用、几何性质及简单综合|如第2、4题应用双曲线定义求焦半径，第5题结合圆的切线与中点性质，培养几何直观| |综合探究层|轨迹方程推导、参数讨论|如第16题讨论含参数方程表示的曲线类型，第8、9题推导轨迹方程，发展推理意识与模型观念|

2.6　双曲线及其方程 2.6.1　双曲线的标准方程 1.A　[解析] -=1可变形为-=1,因为方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以解得m<-2.故选A. [易错点] 本题容易忽略焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点而致误. 2.A　[解析] 由题意得双曲线的焦距为|F1F2|=2c=2=10.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=6,所以|PF2|=13或|PF2|=1,又因为|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=13.故选A. 3.B　[解析] 由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且半焦距c=3,所以m<0,则a2=4,b2=-m,所以9=4+(-m),解得m=-5.故选B. 4.C　[解析] 由双曲线的方程可得a2=4,b2=9,则c2=a2+b2=13,则a=2,c=.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=4,因为|PF1|=9,所以|PF2|=5或13.当|PF2|=5时,|PF1|+|PF2|=14>2=2c,符合题意;当|PF2|=13时,|PF1|+|PF2|=22>2=2c,符合题意.故选C. 5.A　[解析] 由双曲线C:-=1,可得a2=16,b2=25,则a=4,b=5,所以c==.设F'是双曲线C的右焦点,连接PF',如图,因为M,O分别为FP,FF'的中点,所以|MO|=|PF'|.在Rt△OFT中,可得|FT|==5.由双曲线的定义,可得|PF|-|PF'|=2a=8,所以|MO|-|MT|=|PF'|-|MF|+|FT|=(|PF'|-|PF|)+|FT|=-4+5=1.故选A. 6.B　[解析] 由题意知||PF1|-|PF2||=4,|F1F2|=2.因为∠F1PF2=30°,所以cos∠F1PF2= =,则=,所以1-=,整理得|PF1|·|PF2|=4(2+),所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|sin 30°=2+.故选B. 7.ACD　[解析] 若C为椭圆,则解得m∈∪,故A中说法错误; 若C为双曲线,则(9+m)(16-m)<0,解得m>16或m<-9,故B中说法正确;由解得-9<m<,此时曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,焦距为2=2,不为定值,故C中说法错误;令解得m<-9,此时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,焦距为2=2,不为定值,故D中说法错误.故选ACD. 8.-=1(y<0)　[解析] 由题意得|CA|-|CB|=2×3=6<|AB|=8,所以C的轨迹是以A,B为焦点,且实轴长为6的双曲线的下支.由a=3,c=4,得b2=c2-a2=7,所以点C的轨迹方程为-=1(y<0). 9.-=1(y≠0)　[解析] 设M(x,y),x≠±2,则kAM·kBM=·==,整理可得-=1,所以点M的轨迹方程是-=1(y≠0). 10.解:(1)因为曲线C:-=1(m≠-3且m≠1)表示双曲线, 所以(3+m)(1-m)>0,解得-3<m<1,故m的取值范围是-3<m<1. (2)当m=0时,曲线C:-y2=1为双曲线.设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1. 因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,可得s=, 故点P的横坐标为. 11.C　[解析] 圆(x+2)2+y2=2的圆心为A(-2,0),半径为;圆x2+y2-4x=0的圆心为B(2,0),半径为2.如图所示,设所求圆的圆心为C,半径为r,由图及已知条件易得r>2,所以|AC|=r+,|BC|=r-2,则|AC|-|BC|=+2,由双曲线的定义知,圆心C在以A,B为焦点的双曲线的右支上.故选C. 12.ABD　[解析] 依题意知a=b=2,c=2.因为·=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=32.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=4①,等号两边平方得|PF1|2+-2|PF1|·|PF2|=16,即32-2|PF1|·|PF2|=16,解得|PF1|·|PF2|=8,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=4,故D正确.设P的纵坐标为h,则△PF1F2的面积为|F1F2|·h=4,解得h=,故A正确.由(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=32+16=48,可得|PF1|+|PF2|=4②,则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+4,故C错误.由得|PF1|=2+2,故B正确.故选ABD. 13.4+　[解析] 因为该双曲线的焦距为8,所以c=4,c2=16,即2m=16,则m=8,所以该双曲线的方程为-=1,所以a=2,F2(4,0).由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+|PF2|,则|PF1|+|PA|=4+|PF2|+|PA|,当P,A,F2三点共线(P在线段AF2上)时,|PF2|+|PA|取得最小值,最小值为|AF2|==,所以(|PF1|+|PA|)min=4+|AF2|=4+. [技巧点拨] |PF1|-|PF2|=2a具有转化功能,可将其变形为|PF1|=2a+|PF2|,进而将问题转化为与|PF2|有关的问题. 14.解:(1)设M(x,y).由题意得=,化简得-y2=1, 所以点M的轨迹方程是-y2=1. (2)圆F3的圆心为F3(-3,0),半径r3=3,圆F4的圆心为F4(3,0),半径r4=1. 因为|F3F4|=6>r3+r4,所以圆F3与圆F4外离. 设圆M的半径为R,由题意可得 所以|MF3|-|MF4|=2<|F3F4|, 所以圆心M的轨迹是以F3,F4分别为左、右焦点的双曲线的右支. 设圆心M的轨迹方程为-=1(x>0,a>0,b>0), 由题意可得2a=2,则a=1,则b2=32-a2=8, 所以圆心M的轨迹方程为x2-=1(x>0). 15.C　[解析] 由双曲线x2-=1,可得a=1,b=,则c==2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义,可得|m-n|=2a=2.在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2==,可得mn=.设点M的坐标为(xM,yM),则=mnsin∠F1MF2=×2c·|yM|.因为cos∠F1MF2=,所以sin∠F1MF2==,可得|yM|=2.由-=1,可得|xM|=,所以点M到y轴的距离为.故选C. 16.解:当k=1时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为2y2=4,解得y=±, 此时方程所表示的是两条平行直线. 当k=-时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为(1+)x2=4,解得x=±, 此时方程所表示的是两条平行直线. 当k=时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为(1-)x2=4,方程无解, 此时方程不表示任何曲线. 当k≠±且k≠1时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为+=1, 令解得-<k<-1或-1<k<1, 故当k∈(-,-1)∪(-1,1)时,方程所表示的曲线是椭圆. 令解得k=-1,故当k=-1时,方程所表示的曲线是圆. 令·<0,解得k<-或1<k<, 故当k∈(-∞,-)∪(1,)时,方程所表示的曲线是双曲线. 令解得k>,故当k∈(,+∞)时,方程不表示任何曲线. 综上,当k=1或k=-时,方程所表示的是两条平行直线; 当k∈(-,-1)∪(-1,1)时,方程所表示的曲线是椭圆; 当k=-1时,方程所表示的曲线是圆; 当k∈(-∞,-)∪(1,)时,方程所表示的曲线是双曲线; 当k∈[,+∞)时,方程不表示任何曲线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6　双曲线及其方程 2.6.1　双曲线的标准方程 ★1.若方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-2,-1) C.(-2,2) D.(-1,1) 2.[2025·江苏常州高二期末] 已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,|PF1|=7,则|PF2|= (　 ) A.13 B.10 C.1 D.13或1 3.[2026·重庆两江新区高二月考] 已知双曲线+=1的一个焦点的坐标为(3,0),则m的值为 (　 ) A.5 B.-5 C. D.- 4.已知P为双曲线-=1上一点,F1,F2分别为该双曲线的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|的值为 (　 ) A.5 B.7 C.5或13 D.7或11 5.[2025·湖南长沙高二期中] 如图,过双曲线C:-=1的左焦点F引圆x2+y2=16的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则 |MO|-|MT|= (　 ) A.1 B. C. D.2 6.[2026·河北张家口高二期末] 已知F1,F2分别为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=30°,则△PF1F2的面积为 (　 ) A.2- B.2+ C. D. 7.(多选题)已知方程+=1所表示的曲线为C,下列说法错误的是 (　 ) A.若C为椭圆,则-9<m<16 B.若C为双曲线,则m>16或m<-9 C.若C为椭圆,则焦距为定值 D.若C为双曲线,则焦距为定值 8.如图,已知A(0,4),B(0,-4),从点C同时出发的两个质点M,N均以每秒2个单位的速度做匀速直线运动,M从C运动到A,N从C运动到B,且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒,则点C的轨迹方程为　　　　　　　　.  9.设点A(-2,0),B(2,0),M为动点,已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值,则点M的轨迹方程为　　　　.  10.(13分)[2025·浙江绍兴上虞中学高二期中] 已知曲线C:-=1(m≠-3且m≠1). (1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围; (2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标. 11.与圆(x+2)2+y2=2外切,且与圆x2+y2-4x=0内切的圆的圆心在 (　 ) A.直线上 B.圆上 C.双曲线的一支上 D.椭圆上 12.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P是C上一点,且位于第一象限,·=0,则 (　 ) A.P的纵坐标为 B.|PF1|=2+2 C.△PF1F2的周长为4+4 D.△PF1F2的面积为4 ★13.已知双曲线-=1(m>0)的焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,点A的坐标为(1,2),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|+|PA|的最小值为　　　　.  14.(15分)[2025·吉林延边高二期末] (1)在平面直角坐标系xOy中,已知动点M到点F(2,0)的距离是到直线x=的距离的倍,求点M的轨迹方程. (2)若动圆M与圆F3:(x+3)2+y2=9、圆F4:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 15.[2025·河北保定高二期末] 已知F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,O为坐标原点,M为双曲线上一点,且cos∠F1MF2=,则点M到y轴的距离为 (　 ) A.2 B. C. D. 16.(15分)试讨论方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4(k∈R)所表示的曲线. 学科网（北京）股份有限公司 $