2.6.1 双曲线的标准方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的标准方程核心知识点，以定义（平面内动点到两定点距离差的绝对值为定值且小于焦距）为起点，衔接标准方程（焦点在x轴、y轴的形式及a,b,c关系），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过随学随练即时巩固，分题型（定义理解、方程求解、综合应用）分层教学，结合青花瓷花瓶等实际案例培养数学眼光，练习题覆盖基础与素养提升，助力教师授课及学生查漏补缺，提升数学思维与语言表达能力。

第二章 平面解析几何 2.6.1　双曲线的标准方程 课标要点 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 学习重难点 重点： 双曲线的定义及标准方程． 难点： 双曲线标准方程的推导． 知识点一 双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 随学随练 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 2．（24-25高二上·山西晋中·阶段检测）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 特别提醒 　(1)在双曲线的标准方程中，c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，a，b的大小关系可能为a＝b，a<b，a>b，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”． (2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定量条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型． (3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件：ABC≠0，且AB<0.若AC>0，则焦点在x轴上；若AC<0，则焦点在y轴上． 随学随练 3．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为_____. 题型双曲线的定义 ▌例1（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 ▌对点练1-1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（   ） A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 题型求双曲线的标准方程 ▌例1（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为______． ▌对点练1-1（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型 双曲线的定义及标准方程的应用 ▌例1（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 基础通关 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段检测）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海闵行·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·山西·期中）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广西柳州·期中）（多选）某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线所围成的封闭区域面积等于 B．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C．曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 6．（25-26高二下·上海·期中）双曲线的焦距为__________. 7．（25-26高二上·上海·期末）已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 8．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 9．（24-25高二下·上海·阶段检测）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于________． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      素养提升 11．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 12．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知椭圆和双曲线焦点相同，则（   ） A．2 B．1 C． D． 13．（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 14．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 15．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知双曲线，点与点是双曲线上关于原点对称的两点，点在双曲线上且异于点与点，若直线和斜率均存在，则它们的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第8页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.6.1　双曲线的标准方程 课标要点 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 学习重难点 重点： 双曲线的定义及标准方程． 难点： 双曲线标准方程的推导． 知识点一 双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 随学随练 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 2．（24-25高二上·山西晋中·阶段检测）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 特别提醒 　(1)在双曲线的标准方程中，c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，a，b的大小关系可能为a＝b，a<b，a>b，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”． (2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定量条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型． (3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件：ABC≠0，且AB<0.若AC>0，则焦点在x轴上；若AC<0，则焦点在y轴上． 随学随练 3．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 4．（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为_____. 【答案】 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点 到点 的距离， 表示点 到点 的距离， 因此，方程可以理解为：， 根据双曲线的定义得：， ， 故双曲线方程为：， 又， 所以点在双曲线的上支上， 所以双曲线方程为：. 故答案为： 题型双曲线的定义 ▌例1（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. ▌对点练1-1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（   ） A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 【答案】B 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围求解即可. 【详解】由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：B 题型求双曲线的标准方程 ▌例1（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. ▌对点练1-1（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 题型 双曲线的定义及标准方程的应用 ▌例1（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 基础通关 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段检测）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 3．（25-26高二上·上海闵行·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】方程表示双曲线，即，解不等式即可判断. 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 因为或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（24-25高二上·山西·期中）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 5．（25-26高二下·广西柳州·期中）（多选）某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线所围成的封闭区域面积等于 B．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C．曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 【答案】ABD 【分析】先根据方程分象限讨论曲线的方程，其图形是四个圆的一部分圆弧组成图形，根据弧长公式及扇形面积公式可判断A，根据直线与圆的相交相切关系可判断BC，根据双曲线的定义可判断D. 【详解】对于A，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故A正确； 对于B，直线过原点，所以直线必和曲线有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离，化简得， 即当时直线与圆相切，且切点为，同理可分析其他各个象限，由图象可知当时，直线与曲线有唯一公共点，故B正确； 对于C.当直线与切线的距离为时，则，解得或； 故恰好存在3个不同点到直线的距离为C错误； 对于D，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上， 方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以D正确. 6．（25-26高二下·上海·期中）双曲线的焦距为__________. 【答案】 【分析】求出的值，即可得出双曲线的焦距. 【详解】在双曲线中，，，则. 故该双曲线的焦距为. 7．（25-26高二上·上海·期末）已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【分析】分别利用椭圆和双曲线的定义求出，的表达式，再由焦点相同，结合勾股定理计算即可得答案. 【详解】椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，， 由椭圆与双曲线的定义，得，解得， 因此，由椭圆、双曲线有相同焦点，得，， 即，则，即，， 所以是直角三角形. 故答案为：直角三角形 8．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海·阶段检测）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于________． 【答案】 【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长. 【详解】显然，将化为， 若该方程表示双曲线，则， 且双曲线的标准方程为， 即，虚轴长. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      【答案】 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，    由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 素养提升 11．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 12．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知椭圆和双曲线焦点相同，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆和双曲线焦点相同， 所以，解得. 13．（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 14．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    15．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 16．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 17．（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由方程表示双曲线，得或，则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 20．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知双曲线，点与点是双曲线上关于原点对称的两点，点在双曲线上且异于点与点，若直线和斜率均存在，则它们的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的对称性设出点坐标，然后表示出，然后根据双曲线的方程进行化简即可. 【详解】因为点与点是双曲线上关于原点对称的两点， 所以设，则. 设，若直线和斜率均存在，则. 所以则它们的斜率之积为. 因为在双曲线上， 所以，所以有， 化简得，所以. 故选：A. 试卷第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $