2.5 椭圆及其方程 2.5.2 椭圆的几何性质 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质综合应用，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从单一性质到实际情境应用的知识进阶，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（1-3题）|椭圆顶点、焦点、离心率基本计算|直接应用定义，如第1题求椭圆上顶点与动点距离| |中档（4-9题）|焦点三角形面积、距离和差最值|综合性质应用，如第6题结合角平分线与面积计算| |拔高（10-15题）|实际情境建模（油纸伞、嫁接）、动态问题|复杂推理与建模，如第2题阳光照射椭圆影子离心率计算|

第2课时　椭圆的几何性质的综合应用 1.[2025·河南南阳高二期中] 已知A为椭圆+y2=1的上顶点,P为椭圆上一点,则|PA|的最大值为 (　 ) A.2 B. C.3 D. 2.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为的圆,圆心到伞柄底端的距离为,阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,该地区的阳光与地面的夹角为60°),若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为 (　 ) A.2- B.-1 C.-1 D. 3.已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,动点P在椭圆上,当△PF1F2的面积最大时,·的值为 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.[2026·重庆荣昌区高二月考] 点P(x,y)为椭圆+=1上一点,F1是它的上焦点,A(1,0),则|PA|+|PF1|的最大值为 (　 ) A.6+ B.6- C.3 D.1+ 5.[2025·浙江绍兴高二期中] 已知M,N是椭圆C:+=1上关于原点对称的两点,F是椭圆C的右焦点,则|MF|2+8|NF|的取值范围为 (　 ) A.[51,76] B.[52,76] C.[64,80] D.[68,80] 6.已知点P为椭圆C:+=1上第一象限的一点,C的左、右焦点分别为F1,F2,∠F1PF2的平分线与x轴交于点M,过点F1作直线PM的垂线,垂足为H,O为坐标原点,若|OH|=,则△F1PF2的面积为 (　 ) A. B.3 C. D.3 7.(多选题)[2025·重庆渝中区高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,其中A是椭圆的上顶点,△F1AF2是面积为的正三角形,则下列说法正确的是 (　 ) A.△ABF2的周长为8 B.椭圆C的离心率为 C.线段BF2的长为 D.△BF1F2的面积为 8.已知椭圆C:+=1(m>1)的左、右焦点分别为F1,F2,若P在C上,且P,F1,F2三点不共线,△PF1F2的周长为4+2,则椭圆C的短轴长为　　　　.  9.已知椭圆C:+=1的左焦点为F,右顶点为A,点P是椭圆上任意一点,则·的最小值为　　　　.  10.(13分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,直线y=x-经过椭圆的一个焦点,△PF1F2的周长为4+2. (1)求椭圆的标准方程; (2)求|+|的最小值和最大值. 11.[2025·山东泰安高二期末] 已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上一点,且|PF1|=2|PF2|,|OP|=|F1F2|,则椭圆的离心率e= (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若方程mx+y+3m-4=0所表示的直线过定点M,点Q在以点M为圆心,椭圆C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的有 (　 ) A.椭圆C的离心率为 B.|PF1|·|PF2|的最大值为4 C.△PF1F2的面积可能为2 D.|PQ|-|PF2|的最小值为2-6 13.嫁接是一种营养生殖方式,是植物的人工繁殖方法之一,即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上,使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈,形成两个椭圆形截面,如图所示,其中AC,BD分别为两个截面椭圆的长轴,且A,C,B,D都位于圆柱的同一个轴截面上,AD是圆柱截面圆的一条直径.设上、下两个截面椭圆的离心率分别为e1,e2,若∠CAD=,∠ADB=,则的值是　　　　.  14.(15分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点A是椭圆C上一点,且满足AF2⊥x轴,∠AF1F2=30°,直线AF1与椭圆C相交于另一点B. (1)求椭圆C的离心率; (2)若△ABF2的周长为4,M为椭圆C上任意一点,O为坐标原点,求·的取值范围. 15.已知A是圆C:x2+y2=9上一点,点A在x轴上的射影为点B,点P满足=3.若点F1(-,0),F2(,0),则+的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　椭圆的几何性质的综合应用 1.B　[解析] 由题意可知,A(0,1).设P(x,y),由+y2=1可得x2=7-7y2,-1≤y≤1,则|PA|===,因为-1≤y≤1,所以当y=-时,|PA|取得最大值=.故选B. 2.A　[解析] 如图,由题得伞的伞沿与地面的接触点B是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点,对应的伞沿位置为C,O为伞沿所在圆的圆心,F为伞柄底端,即椭圆的左焦点.设椭圆的半长轴长为a,半焦距为c,由OF⊥BC,OF=OB=,得a+c=BF=2,∠FBC=45°,AB=2a,BC=2.在△ABC中,∠BAC=60°,则∠ACB=75°,sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=,由正弦定理得,=,解得a==1+,则c=1-,所以该椭圆的离心率e===2-.故选A. 3.B　[解析] 根据对称性,不妨设P(x,y),y>0,则△PF1F2的面积S=×|F1F2|×y=cy,当y=b时,△PF1F2的面积最大,此时P(0,).∵F1(-2,0),F2(2,0),∴=(-2,-),=(2,-),故·=-4+3=-1.故选B. 4.A　[解析] 设椭圆的下焦点为F2.由椭圆方程+=1知,a=3,F1(0,2),F2(0,-2),则|AF2|=.由椭圆的定义得|PF1|=2a-|PF2|,所以|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|≤2a+|AF2|=6+,当P是AF2的延长线与椭圆的交点时等号成立,所以|PA|+|PF1|的最大值为6+.故选A. 5.C　[解析] 设A是椭圆C的左焦点,连接AN,AM,如图.因为M,N关于原点对称,所以|AN|=|FM|,|AM|=|FN|.由|FM|+|AM|=|FN|+|AN|=2a=10,得|FM|+|FN|=10,故|FN|=10-|FM|,则|MF|2+8|NF|=|MF|2-8|MF|+80=(|MF|-4)2+64,又2≤|FM|≤8,所以|MF|2+8|NF|∈[64,80].故选C. 6.C　[解析] 如图所示,延长F1H,交PF2的延长线于点N.因为PH为∠F1PF2的平分线,PH⊥F1N,所以△PF1N为等腰三角形,即|F1P|=|PN|,H为F1N的中点.因为O为F1F2的中点,所以OH为△NF1F2的中位线,故|F2N|=2|OH|=1.设|F2P|=m,由椭圆的定义知,|F1P|=2a-|F2P|=4-m,由|F1P|=|PN|得4-m=m+1,解得m=,故|F2P|=,|F1P|=.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===,故sin∠F1PF2==,故=|F2P|·|F1P|sin∠F1PF2=×××=.故选C. 7.ACD　[解析] 因为△F1AF2是面积为的正三角形,所以=(2c)2=c2=,且a=2c,故c=1,b=,a=2.△ABF2的周长为4a=8,故A正确;椭圆C的离心率e==,故B错误;设|BF1|=x,则|BF2|=4-x,由∠AF1F2=得∠BF1F2=,由余弦定理得(4-x)2=4+x2-4xcos∠BF1F2,可得x=,所以|BF2|=4-=,故C正确;=|BF1||F2F1|sin=××2×=,故D正确.故选ACD. 8.2　[解析] 因为m>1,所以m2>m,所以△PF1F2的周长为2a+2c=2m+2=4+2.因为函数f(m)=2m+2(m>1)为增函数,且f(2)=4+2,所以m=2,故椭圆C的短轴长为2=2. 9.0　[解析] 设点P的坐标为(x0,y0),由题意得F(-1,0),A(2,0),则-2≤x0≤2,-≤y0≤,=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0).由+=1可得=3-,所以·=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2,故当x0=2时,·取得最小值0. 10.解:(1)显然椭圆C的焦点在x轴上,直线y=x-交x轴于点(,0), 则椭圆C的右焦点F2(,0),则半焦距c=, 因为△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,所以2a+2c=4+2,解得a=2,则b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设P(x0,y0),则+=1,即=1-,-2≤x0≤2, 令坐标原点为O,则O是线段F1F2的中点,所以|+|=|2|=2=2=,所以当x0=0时,|+|min=2, 当x0=-2或x0=2时,|+|max=4, 所以的最小值为2,最大值为4. 11.D　[解析] 因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=,|PF2|=.设|F1F2|=2c,则|OF1|=|OF2|=c.因为|OP|=|F1F2|,所以|OP|=c.在△PF1F2中,cos∠POF1+cos∠POF2=0,即+=0,则c2+3c2-+c2+3c2-=0,所以=,所以e===.故选D. 12.ABD　[解析] 对于选项A,由椭圆C的方程知a=2,b=,所以c=1,所以椭圆C的离心率e==,故选项A正确;对于选项B,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|≤=4,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,故选项B正确;对于选项C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为×2×=,故选项C错误;对于选项D,易知M(-3,4),则圆M:(x+3)2+(y-4)2=4,所以|PQ|-|PF2|=|PQ|-(4-|PF1|)≥|QF1|-4≥|MF1|-2-4=2-6,当M,Q,P,F1四点共线,且Q,P在点M,F1之间时取等号,故选项 D正确.故选ABD. 13.　[解析] 不妨设AB=1,则AD=CD=,AC=,BD=2,所以上截面椭圆的离心率e1===,同理可知e2==,所以=. 14.解:(1)在Rt△AF1F2中,∵∠AF1F2=30°,∴|AF1|=2|AF2|,|F1F2|=|AF2|. 由椭圆的定义得,2a=|AF1|+|AF2|=3|AF2|,2c=|AF2|,故椭圆C的离心率e====. (2)△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=4, 则a=,∵e==,∴c=1,∴b2=a2-c2=2, ∴椭圆C的标准方程为+=1.易得F1(-1,0),设M(x0,y0),则=(x0,y0),+=1. ∵=(x0+1,y0),∴·=x0(x0+1)+=+x0+2-=+, 又-≤x0≤,∴当x0=时,·取得最大值3+, 当x0=-时,·取得最小值,故·的取值范围是. 15.　[解析] 设P(x,y),则B(x,0).因为=3,所以A.将A的坐标代入x2+y2=9,可得+=1,则点P的运动轨迹为椭圆+=1,F1,F2为椭圆的焦点,所以+=====,易知a-c≤|PF1|≤a+c,即3-≤|PF1|≤3+.当|PF1|=3时,-(|PF1|-3)2+9最大,则+取得最小值;当|PF1|=3-或3+时,-(|PF1|-3)2+9最小,则+取得最大值.故≤≤,即≤+≤,所以+的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $