2.5.2 椭圆的几何性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，通过“天宫一号”轨迹等情境导入，衔接椭圆定义与方程，以问题支架引导学生从实际问题过渡到数学知识，系统学习标准方程、范围、顶点、离心率等核心内容。 其亮点在于数形结合与分层教学，通过表格对比焦点位置不同的椭圆性质，典例研析涵盖几何性质、离心率求法等题型并总结规律方法，结合卫星轨道等实际应用培养数学眼光与思维。学生能提升直观想象和运算能力，教师可直接用于课堂教学与分层练习。

2.5　椭圆及其方程 2.5.2　椭圆的几何性质 第二章　平面解析几何 1 课标要求 1.掌握椭圆的简单几何性质（直观想象）. 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常 出现. 【问题】　你知道椭圆有什么样的性质吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ⁠ ⁠ 范围 ⁠ ⁠ ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0） －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 轴长 长轴长＝ ，短轴长＝ ⁠ 对称性 对称轴 ，对称中心 ⁠ 离心率 e＝ ⁠ A1（－a， 0）， A2（a，0），　 B1（0，－ b）， B2（0，b）　 A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－ b，0），B2（b，0）　 2a　 2b　 x轴和y轴　 （0，0）　 （0＜e＜1）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 提醒：椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 能用a，b表示椭圆离心率e吗？ 提示：能，e＝ . 2. 椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的 距离最远. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a. （　×　） （2）椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ . （　×　） （3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是 （－10，0），则焦点坐标为（0，± ）. （　√　） （4）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大 值为a＋c，最小值为a－c. （　√　） × × √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 椭圆 ＋ ＝1的长轴长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 4 解析：　由 ＋ ＝1，可得a＝4，所以长轴长为2a＝8.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 椭圆x2＋4y2＝4的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：　∵x2＋4y2＝4⇒ ＋y2＝1，∴a2＝4，b2＝1.∴c2＝a2－b2＝ 3，e＝ ＝ .故选D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为 ⁠ ⁠. ＋ ＝1 或 ＋ ＝1　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：设椭圆的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1（a＞b＞0），由题意可 得 解得 若椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的标准 方程为 ＋ ＝1，若椭圆的焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　椭圆的几何性质 角度1　由椭圆方程研究几何性质 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m（m＞0）的离心率为 ，试求椭圆的长轴 长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 解：椭圆方程可化为 ＋ ＝1（m＞0）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝ ，c＝ ， ∴e＝ ＝ ＝ ， ∴m＝3，∴b＝ ，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2 ，焦点坐标为F1（－1，0），F2 （1，0），顶点坐标为A1（－2，0），A2（2，0），B1（0，－ ），B2 （0， ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ②当m＞4时，a＝ ，b＝2，∴c＝ ， ∴e＝ ＝ ＝ ，解得m＝ ， ∴a＝ ，c＝ ， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为 ，4，焦点坐标为F1（0，－ ），F2 （0， ），顶点坐标为A1（0，－ ），A2（0， ），B1（－2， 0），B2（2，0）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质. 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 〔多选〕已知椭圆 ＋ ＝1与椭圆 ＋ ＝1有相同的长轴，椭圆 ＋ ＝1的短轴长与椭圆 ＋ ＝1的短轴长相等，则（　　） A. a2＝25 B. b2＝25 C. a2＝9 D. b2＝9 解析：　因为椭圆 ＋ ＝1的长轴长为10，且椭圆 ＋ ＝1的短轴 长为6，所以椭圆 ＋ ＝1中，a＝5，b＝3，即a2＝25，b2＝9.故选 A、D. √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知椭圆C： ＋ ＝1的长轴长为4，则C的焦距为 ⁠. 解析：因为椭圆C： ＋ ＝1的长轴长为4，所以2 ＝4，解得m＝ 4，所以c2＝4－3＝1，即c＝1，故C的焦距为2c＝2. 2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 角度2　椭圆离心率的求法 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2， 短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率 为 . 解析：因为｜BF1｜＝｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由题意知a＝2c，所 以e＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 （变条件）〔一题多解〕若本例条件变为“已知椭圆C： ＋ ＝1（a ＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是 等边三角形（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为 ⁠. 解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形，所以A （ ， c），代入椭圆方程得 ＋ ＝1　①，又a2＝b2＋c2　②，联 立①②得c2＝（4－2 ）a2，即c＝（ －1）a，则椭圆C的离心率e ＝ ＝ －1. －1　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　连接AF1，则∠AF1O＝∠OAF1＝ ，所以∠F1AF2＝ ，所以｜ AF1｜＝ ｜AF2｜＝ c，又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即 c＋c＝ 2a，所以e＝ ＝ ＝ －1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可 借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系 式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程 或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求 得e的值或范围. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 设椭圆C1： ＋y2＝1（a＞1），C2： ＋y2＝1的离心率分别为e1， e2，若e2＝ e1，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意知e1＝ ，e2＝ ＝ ，因为e2＝ e1，所以 ＝ × ，得a＝ .故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知椭圆 ＋ ＝1的焦点在x轴上，则离心率e的最大值 为 ⁠. 解析：由题意得5a＞4a2＋1，∴ ＜a＜1，∴椭圆的离心率e＝ ＝ ≤ ＝ （当且仅当4a＝ ，即a ＝ 时取等号），∴椭圆的离心率的最大值为 . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　利用几何性质求标准方程 （链接教科书第141页练习A2题）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是 ； 解：设椭圆的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）或 ＋ ＝1（a＞b＞0）. 由已知得2a＝10，a＝5. 又∵e＝ ＝ ，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：依题意可设椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）. 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的 中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其 步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种 标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方 程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知椭圆一个焦点（2，0），离心率为 ，则椭圆的标准方程（　　） A. ＋ ＝1 B. x2＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 解析：　因为椭圆一个焦点（2，0），所以椭圆的焦点在横轴上，且c＝ 2，又因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ＝ ⇒a＝4，所以b2＝a2－c2＝ 16－4＝12，因此椭圆的方程为 ＋ ＝1，故选D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），椭圆上的点到左焦点的最大 值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 解析：　设椭圆焦距为2c，由题意得 解得 则b＝ ＝ ，所以椭圆方程为 ＋ ＝1. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　椭圆的实际应用问题 （链接教科书第140页例4）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨 道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A（离地 面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行 的轨道方程（精确到1 km）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上， F2为椭圆右焦点（记F1为左焦点）， 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）， 则a－c＝｜OA｜－｜OF2｜＝｜F2A｜＝6 371＋439＝6 810， a＋c＝｜OB｜＋｜OF2｜＝｜F2B｜＝6 371＋2 384＝8 755， ∴a＝7 782.5≈7 783.∴b＝ ＝ ＝ ≈7 721， ∴卫星运行的轨道方程是 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 解决椭圆的实际问题的基本步骤 （1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； （2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； （3）利用椭圆知识及其他相关知识求解. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　嫦娥六号月球探测器于2024年5月3日搭载长征五号遥八运载火箭在中国 文昌航天发射场成功发射，8日顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆 形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月 点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆 有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3 988公里；③两焦点 坐标约为（0，±150）；④离心率约为 . 则上述结论正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　依题意 ⇒ ⇒ 2c＝300，①正确；2a＝3 976，②错误；焦点坐标为 （0，±150），③正确；离心率e＝ ＝ ＝ ，④正确.所以正确的 为①③④.故选C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　　 1. 椭圆C： ＋y2＝1，下列结论不正确的是（　　） A. 离心率e＝ B. 长轴长为4 C. 焦距为2 D. 短轴长为1 解析：　因为椭圆C： ＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝ ，因此离 心率e＝ ，故A正确；长轴长为2a＝4，故B正确；短轴长为2b＝2，故 D错误；焦距为2c＝2 ，故C正确.故选D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的方程（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 解析：　由已知得a＝9，2c＝ ×2a，∴c＝ a＝3，b2＝a2－c2＝72. 又焦点在x轴上，∴椭圆方程为 ＋ ＝1. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 〔多选〕已知椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（m＞0），并且焦距为6， 则实数m的值可能是（　　） A. 4 B. C. 6 D. 解析：　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准 方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞ 0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2 ＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝ .综上可 知，实数m的值为4或 . √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 若椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则实数k的值为 　－ 或10　. 解析：当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝ ，c＝ ＝ ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ，解得k＝10；当椭圆的焦点在y轴 上时，则a＝3，c＝ ＝ ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ， 解得k＝－ .综上可得实数k的值为－ 或10. － 或10　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 42 1. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（　　） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 解析：　椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以2a＝10，2c＝8，可得a＝ 5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，可得b＝3，所以该椭圆的短轴长 2b＝6，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 过点（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 解析：　由3x2＋8y2＝24化简可得 ＋ ＝1，焦点为（± ，0）在x 轴上，同时又过（3，2）点，设 ＋ ＝1，有 解得a2＝ 15，b2＝10，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知F1，F2分别为椭圆 ＋ ＝1的左，右焦点，A为上顶点，则 △AF1F2的面积为（　　） A. 6 B. 15 C. 6 D. 3 解析：　由椭圆方程 ＋ ＝1得A（0，3），F1（－ ，0），F2 （ ，0），∴｜F1F2｜＝2 .∴ ＝ ｜F1F2｜·｜yA｜＝ ×2 ×3＝3 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭 圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外 轮廓均为椭圆.已知图①，②，③中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为 ， ， ，设图①，②，③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则 （　　） A. e1＞e2＞e3 B. e1＞e3＞e2 C. e2＞e1＞e3 D. e2＞e3＞e1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　椭圆的短轴长与长轴长的比值为 ＝ ，椭圆的离心率公式为e ＝ ＝ ＝ ＝ ，故e1＝ ，e2＝ ， e3＝ ，故e1＞e2＞e3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 设F1，F2分别是椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2 的直线交椭圆于A，B两点，且 · ＝0， ＝4 ，则椭圆E的 离心率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设｜BF2｜＝x，因为 ＝4 ， 则｜AF2｜＝3x，由椭圆的定义可得｜AF1｜ ＝2a－3x，｜BF1｜＝2a－x，因为 · ＝0， 即∠F1AF2＝ ，在Rt△F1AB中，则｜AF1｜2＋｜AB｜2＝｜BF1｜2，即 （2a－3x）2＋（4x）2＝（2a－x）2，解得x＝ ，可得｜AF1｜＝｜ AF2｜＝a，在Rt△AF1F2中，可得｜AF1｜2＋｜AF2｜2＝｜F1F2｜2，即a2 ＋a2＝（2c）2，整理得a2＝2c2，所以椭圆E的离心率为e＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 〔多选〕设F1，F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，P是椭圆上一点， 且｜PF1｜－｜PF2｜＝2，则下列说法中正确的是（　　） A. ｜PF1｜＝3 B. △PF1F2的周长为6＋2 C. △PF1F2的面积为4 D. 点P在圆x2＋y2＝5上 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　由 ＋ ＝1，得a2＝9，b2＝4，则a＝3，b＝2，c＝ ＝ ，因为P是椭圆上一点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝ 6，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，故A错 误；△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2 ，故B正确；因为｜PF1｜2＋ ＝｜F1F2｜2，所以△PF1F2为直角三角形，PF2⊥PF1，所以 ＝ ×2×4＝4，故C正确；因为△PF1F2为直角三角形，所以｜ OP｜＝ ｜F1F2｜＝ ，故点P在圆x2＋y2＝5上，故D正确.故选B、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 若椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴长为4，则椭圆的 标准方程为 ⁠. 解析：由题意可知e＝ ＝ ，2b＝4，得b＝2，所以 解得 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. ＋ ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 如图，把椭圆 ＋ ＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦 点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝ . 35　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜ ＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜ P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜ ＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为 .若A，B 分别是椭圆的上、下顶点，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上 任意一点，且 · ＝－ ，则△PF1F2的面积为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：因为 所以a＝2，b＝1，c＝ ，所以椭圆方程为 ＋x2＝1，设P（x0，y0），椭圆的上、下顶点分别为A（0，2），B （0，－2），所以 ＝（－x0，2－y0）， ＝（－x0，－2－y0），且 ＋ ＝1，所以 · ＝ ＋ －4＝ ＋4－4 －4＝－ ，所以 ＝ ，即得 ＝ ｜F1F2｜×｜x0｜＝ ×2c× ＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 如图，焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1（b＞0）的离心率e＝ ，F， A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求 · 的最 大值和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：设P点的坐标为（x0，y0）. 由题意知a＝2，因为e＝ ＝ ，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆方程为 ＋ ＝1.所以－2≤x0≤2，－ ≤y0≤ . 又F（－1，0），A（2，0）， ＝（－1－x0，－y0）， ＝（2－ x0，－y0）， 所以 · ＝ －x0－2＋ ＝ －x0＋1＝ （x0－2）2. 当x0＝2时， · 取得最小值0， 当x0＝－2时， · 取得最大值4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 〔多选〕已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，长轴长 为6，F，F'分别是椭圆的左、右焦点，A（1，1）是一个定点，P是椭圆 E上的动点，则下列说法正确的是（　　） A. ｜PF｜＋｜PF'｜＝6 B. 椭圆E的标准方程为 ＋ ＝1 C. ｜AF'｜＝2 D. ｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意可知： 解得 ∴｜PF｜＋｜PF'｜ ＝2a＝6，A选项正确；∴b2＝a2－c2＝5，∴椭圆E： ＋ ＝1，B选项 正确；∵F'（2，0），∴｜AF'｜＝ ＝ ，C选项错误；｜PA｜ ＋｜PF｜＝｜PA｜＋2a－｜PF'｜≤2a＋｜AF'｜＝6＋ ，当且仅当F' 在A，P之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的焦点分别为F1（0，－c），F2 （0，c），过椭圆外一点P（0，3c）和右顶点M的直线交椭圆于另一点 N，若MF1∥NF2，则椭圆的离心率为 ⁠. 解析：因为F1（0，－c），F2（0，c），P（0，3c），可得F2为F1P的 中点，又MF1∥NF2，所以N是PM中点，因为M（b，0），则N（ ， ），代入椭圆方程可得 ＋ ＝1，所以 ＝ ，所以 ＝ ，则离心 率e＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0） （c＞0）.若过F1的直线和圆（x－ c）2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象 限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率 是 ⁠. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A（ c，0），则｜AM｜＝ c，｜AF1｜＝ c，所以｜MF1｜＝ c，所以该直线的斜率k＝ ＝ ＝ .因为PF2⊥x轴，所以｜PF2｜＝ ，又｜F1F2｜＝2c，所以 k＝ ＝ ＝ ＝ ，得e＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ ，并且经过定点 P . （1）求椭圆E的方程； 解：设椭圆E的半焦距为c， 则 解得 所以椭圆方程为 ＋y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）设椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，M（x0，y0）为E上的一点， 若△MF1F2为直角三角形，求y0的值. 解：由（1）得F1（－ ，0），F2（ ，0）， 若MF1⊥F1F2，则M（－ ，y0），代入椭圆方程得 ＋ ＝1，得y0＝ ± ；若MF2⊥F1F2，则M（ ，y0），代入椭圆方程得 ＋ ＝1，得y0＝± ； 若MF2⊥MF1，则 · ＝ －3＋ ＝0，又 ＋ ＝1，解得 所以y0＝± ，综上，y0＝± 或y0＝± 满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $