2.5.2 椭圆的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

椭圆的几何性质 2.5.2 作者编号：、32200 1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质. 2.能用椭圆的几何性质求椭圆的方程. 3.能用椭圆的几何性质分析解决有关问题． 【学习目标】 作者编号：、32200 “天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的. 椭圆在我们的生活中经常出现，那椭圆有什么性质呢？ 【新课导入】 作者编号：、32200 问题：观察椭圆(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； 对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 【新课讲授】 作者编号：、32200 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ___________________ ___________________ 图形     焦点 _________________ ____________________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 知识梳理 作者编号：、32200 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦距 |F1F2|＝___ 对称性 对称轴： _ ，对称中心：_____ 范围 x∈ ，y∈________ x∈________，y∈________ 顶点 _____________________ _____________________ ______________________ ____________________ 轴长 长轴长|A1A2|＝ ，短轴长|B1B2|＝___ 2c x轴和y轴 (0，0) [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 2a 2b 作者编号：、32200 a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长.它们反映了参数a，b的几何意义. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 由于b2=a2-c2，a，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义. 【新课讲授】 作者编号：、32200 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 可以发现利用离心率e=刻画椭圆的扁圆程度. 【新课讲授】 作者编号：、32200 思考：（1）根据椭圆离心率的定义，椭圆离心率的取值范围是什么？ 因为a>c>0，所以 ，即椭圆的离心率0<e<1 . 因为 ， x O y （0，b） （a，0） 反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆. 这说明e越趋近于1，则 的值越小，因此椭圆越扁； （2）椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系？并尝试证明. 【新课讲授】 作者编号：、32200 当固定a不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来. 即e越趋近于1，椭圆越扁； 越趋近于0，椭圆就越接近于圆. 【新课讲授】 作者编号：、32200 例1 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形. 解：把原方程化成标准方程，得 于是 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 两个焦点坐标分别 F1(-4,0)和F2(4,0)， 离心率 四个顶点坐标分别是 【新课讲授】 作者编号：、32200 例1 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形. 将方程变形为 用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图). ∴在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y)，如表(y的值精确到0.1). x 0 1 2 3 4 5 y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0 由 【新课讲授】 作者编号：、32200 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P(-6,0)和Q(0,8). (2)椭圆过点，离心率； (3)经过点 <m></m> ，且与椭圆 <m></m> 有相同的离心率. 由椭圆的几何性质可得，b=6，a=8， ∴椭圆的标准方程为 解：(1)短轴、长轴分别在x轴和y轴上，设椭圆的标准方程为 【新课讲授】 作者编号：、32200 (2)椭圆过点，离心率； （2）若焦点在 <m></m> 轴上，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，<m</m> ， ∴椭圆的标准方程为 <m></m> . 若焦点在 <m></m> 轴上，则 <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> ， ∴椭圆的标准方程为 <m></m> ， ∴所求椭圆的标准方程为 <m></m> 或 <m></m> . 【新课讲授】 作者编号：、32200 (3)经过点 <m></m> ，且与椭圆 <m></m> 有相同的离心率. （3）（法一）由题意知 <m></m> ，所以 <m></m> ，即 <m></m> ， 设所求椭圆的方程为 <m></m> 或 <m></m> . 将点 <m></m> 的坐标代入椭圆方程得 <m></m> 或 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> . 故所求椭圆的标准方程为 <m></m> 或 <m></m> . （法二）设所求椭圆的方程为 <m></m> 或 <m></m> ， 将点 <m></m> 的坐标代入可得 <m></m> 或 <m></m> ，解得 <m></m> ， <m></m> ， 故所求椭圆的标准方程为 <m></m> 或 <m></m> . 【新课讲授】 作者编号：、32200 1.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． 【归纳总结】 作者编号：、32200 2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)． 【归纳总结】 作者编号：、32200 例3 酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送人到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km，远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km)，求椭圆轨道的标准方程.(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线) 解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2,A1,A2三点都在x轴上， 【新课讲授】 作者编号：、32200 设所求椭圆方程为 |F2A2|=a-c=200+6371，① |A1F2|=a+c=350+6371.② 联立①②解得a=6646，c=75， 从而b2=a2-c2=44163691. ∴椭圆轨道的标准方程为 【新课讲授】 作者编号：、32200 解决和椭圆有关的实际问题的思路： (3)用解得的结果说明原来的实际问题. (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. 【归纳总结】 作者编号：、32200 【课堂总结】 作者编号：、32200 1.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) CD 【课堂练习】 作者编号：、32200 2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为__________. 3.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是 米. 32 ＝1 【课堂练习】 作者编号：、32200 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 $$