2.5 椭圆及其方程 2.5.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的几何性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，分层设计从基础概念到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度训练，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|标准方程、离心率计算|单一知识点直接应用，如第1-5题考查方程求解与离心率基础计算| |提升层|焦点关系、几何量综合|多考点结合，如第6-10题涉及斜率、向量与椭圆性质的综合应用| |拓展层|存在性问题、最值探究|情境化综合应用，如第13、15题通过外接内切圆、向量垂直探究离心率范围|

2.5.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 1.B　[解析] 由题意可得可得故该椭圆的方程为+=1.故选B. 2.B　[解析] 椭圆9x2+4y2=36的标准方程为+=1,可知椭圆+=1的焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±).设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=.又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,故所求椭圆的标准方程为+x2=1,故选B. 3.D　 [解析] 若椭圆的焦点在x轴上,则离心率e==,解得a2=12,此时半焦距c1==3;若椭圆的焦点在y轴上,则离心率e==,解得a2=,此时半焦距c2==.所以该椭圆的半焦距为3或.故选D. 4.A　[解析] 因为椭圆+=1的焦距为2,所以2c=2,即c=1,所以|m-4|=c2=1,解得m=5或m=3.当m=5时,a=,此时椭圆的离心率为==;当m=3时,a=2,此时椭圆的离心率为=.所以椭圆的离心率为或.故选A. 5.B　[解析] 由题意可得F(-c,0),P(0,-b),设M(x,y),由2=,可得2(-c-x,-y)=(c,-b),即将其代入椭圆方程可得+=1,即a2=3c2,所以椭圆的离心率为.故选B. 6.A　[解析] 设M(x,y),N(x,-y)(-a<x<a),不妨设点A是椭圆长轴的左端点,则k1=,k2=.因为椭圆的离心率e=,所以==,所以|k1|+|k2|=+≥2==1,当且仅当x=0时,等号成立.故选A. 7.ACD　[解析] 对于A,椭圆+=1的离心率e1==,椭圆+=1的离心率e2==,e1=e2,故A中结论正确.对于B,F1(-4,0),F2(4,0)分别为椭圆+=1的左、右焦点,E1(0,-4),E2(0,4)分别为椭圆+=1的下、上焦点.当点P为两个椭圆的交点时,点P到四点的距离之和为20;当点P的坐标为(0,3)时,点P到四点的距离之和为10+8=18.因此距离之和不为定值,故B中结论错误.对于C,两个椭圆关于直线y=x,y=-x对称,则曲线C关于直线y=x,y=-x对称,故C中结论正确.对于D,椭圆+=1的上、下顶点坐标分别为(0,3),(0,-3),椭圆+=1的左、右顶点坐标分别为(-3,0),(3,0),曲线C在两组平行直线y=±3,x=±3所围正方形上及其内部,而该正方形的边长为6,因此曲线C所围区域的面积小于36,故D中结论正确.故选ACD. 8.　[解析] 因为AF2⊥F1F2,所以|AF2|=,因为|F1O|=|F2O|,OB∥AF2,所以OB是三角形AF1F2的中位线,则|OB|=|AF2|=. 9.　[解析] 如图,连接PF2,QF2.由|PQ|=|F1F2|,且O为线段F1F2,PQ的中点,得四边形PF1QF2为矩形,则|F2P|=|F1Q|.因为|F1P|=2|F1Q|,所以|F1P|+|PF2|=|F1P|+|QF1|=2|QF1|+|QF1|=3|QF1|=2a,所以|F1Q|=,|F1P|=.在Rt△PF1F2中,利用勾股定理得,+=(2c)2,则=,故椭圆C的离心率为. 10.解:由x2+(m+3)y2=m(m>0)可得+=1. 因为m>0,所以m+3>1,所以0<<1,故<m, 所以椭圆的焦点在x轴上,则a2=m,b2=, 所以c2=a2-b2=m-=. 因为e==,所以=,即4c2=3a2,即4×=3m,可得m=1, 所以该椭圆的方程为x2+=1,a2=1,b2=,c2=,则a=1,b=,c=, 所以m=1,该椭圆的长轴长2a=2,焦距2c=,焦点坐标为,,顶点坐标为(-1,0),(1,0),,. 11.B　[解析] 因为|MN|+|NF2|=2|MF2|,MF2⊥NF2,所以可设|NF2|=m-d,|MF2|=m,|MN|=m+d(m>0,d>0),所以(m-d)2+m2=(m+d)2,可得m=4d.因为|NF2|+|MF2|+|MN|=4a=3m,所以|NF2|=a,|MF2|=a,|MN|=a,所以cos∠F2MN==.在△MF1F2中,|F1F2|=2c,|MF1|=2a-|MF2|=a,由cos∠F2MF1==,可得a2=5c2,则椭圆C的离心率e==.故选B. 12.ACD　[解析] 对于A,将点N的坐标(0,2)代入椭圆C的方程+=1(a>b>0)中,可得=1,∴b=2,∵|F1F2|=2c=4,∴c=2,∴a2=b2+c2=4+4=8,∴a=2,∴椭圆C的离心率e==,故A正确;对于B,∵点M(2,1)在椭圆C的内部,∴b>1,∴短轴长大于 2,故B错误;对于C,当a=4时, |NF1|+|NF2|=2a=8,则 |NF1|+|NM|=8-|NF2|+|MN|=8+(|MN|-|NF2|),∵|MN|-|NF2|≤|MF2|=1,当N,F2,M三点共线且点N在第四象限时取等号,∴|MN|-|NF2|的最大值为1,∴|NF1|+|NM|的最大值为9,故C正确;对于D,由题意得+<1,∵b2=a2-4,∴+<1,化简得a4-9a2+16>0,即(a2-4)2-a2>0,∴(a2-4)2>a2,即a2-4>a,即a2-a-4>0,可得a>,∴2a>1+, ∴椭圆C的长轴长的取值范围是(+1,+∞),故D正确.故选ACD. 13. 　[解析] 方法一:∵·=0,∴⊥,∴△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,∵||+||=2a,||=2c,∴(||+||)2=4a2≤2(||2+||2)=2||2=8c2,即a≤c,当且仅当||=||时,等号成立,∴e=≥,又0<e<1,∴e∈. 方法二:设椭圆C与y轴的两个交点为B1,B2,因为·=0,所以∠F1PF2=90°,因为∠F1PF2≤∠F1B1F2,所以∠F1B1F2≥90°,所以∠OB1F1≥45°(O为坐标原点),所以e=sin∠OB1F1∈. [技巧点拨] 若P为椭圆上的任一点,F1,F2为焦点,B1,B2为短轴端点,则满足∠F1PF2≤∠F1B1F2,∠F1B1F2=2∠OB1F1(O为坐标原点).在三角形OB1F1中,sin∠OB1F1=,一些关于离心率的问题可以应用此种关系进行求解. 14.解:(1)依题意可得|AF1|=|AF2|=a,|F1F2|=2c, 又∠F1AF2=60°,所以△F1AF2为等边三角形,则a=2c,故e==. (2)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m. 在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos 120°, 即(2a-m)2=m2+a2+am,则m=a, 所以=×|AF1|×|AB|×sin 60°=×a××=40, 所以a=10(负值舍去),所以c=5,b==5, 故椭圆C的标准方程为+=1. 15.b2　　[解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,则m+n=2a.在△PF1F2中,∠F1PF2=,由余弦定理得=cos,整理得m2+n2-4c2=mn,即(m+n)2-2mn-4c2=mn,整理得4a2-4c2=3mn,又b2=a2-c2,所以mn=,则=mnsin =××=.依题意可知(2a+2c)r==,即r=,即r=,又2R=,所以R=c,则c=6×,则e==. 16.解:(1)由已知得2c=2,则c=,所以F1(-,0),F2(,0), |MF1|===, |MF2|===, 所以2a=|MF1|+|MF2|=4,则a=2,所以b==1, 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设P(x,y)(x>0,y>0),因为点P在椭圆C上,所以+y2=1. =(--x,-y),=(-x,-y), 所以·=-(3-x2)+y2≤,即-(3-x2)+1-≤,整理得3x2≤9, 所以0<x≤,即点P的横坐标的取值范围是(0,]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 1.已知椭圆+=1(a>b>0)过点M,且椭圆的短轴长为2,则该椭圆的方程为(　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为 (　 ) A.+=1 B.+x2=1 C.+y2=1 D.+=1 3.若椭圆+=1(a>0)的离心率为,则该椭圆的半焦距为 (　 ) A. B. C.3或 D.3或 4.[2026·长春高二月考] 已知椭圆+=1的焦距为2,则其离心率的值为 (　 ) A.或 B.或 C.或 D.或 5.已知椭圆+=1(a>b>0)上有一点M,点F为椭圆的左焦点,点P为椭圆的下顶点,且2=,则该椭圆的离心率为 (　 ) A. B. C. D.2 6.已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)的长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0).若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为 (　 ) A.1 B. C. D. 7.(多选题)[2026·天津和平区高二期中] 如图所示,将椭圆+=1与椭圆+=1的内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,则下列结论正确的是 (　 ) A.两个椭圆的离心率相等 B.P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值 C.曲线C关于直线y=x,y=-x对称 D.曲线C所围区域的面积小于36 8.已知O为坐标原点,点F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,A为椭圆C上的一点,且AF2⊥F1F2,AF1与y轴交于点B,则|OB|=　　　　.  9.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点的直线交椭圆于P,Q两点.若|PQ|=|F1F2|,|F1P|=2|F1Q|,则椭圆C的离心率为　　　　.  10.(13分)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及该椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标及顶点坐标. 11.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点.若|MN|+|NF2|=2|MF2|,且MF2⊥NF2,则椭圆C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=4,点M(2,1)在椭圆C的内部,点N在椭圆C上,则下列说法正确的有 (　 ) A.若点N的坐标为(0,2),则椭圆C的离心率为 B.椭圆C的短轴长可能为2 C.当a=4时,|NF1|+|NM|的最大值为9 D.椭圆C的长轴长的取值范围是(+1,+∞) ★13.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,满足·=0,则椭圆C的离心率e的取值范围是　　　　.  14.(15分)如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆C的离心率; (2)已知△AF1B的面积为40,求椭圆C的标准方程. 15.设椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为　　　　(用含a或b的式子表示即可);若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,则当R=6r时,椭圆的离心率为　　　　.  16.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若点P在第一象限,且·≤,求点P的横坐标的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $