2.4 曲线与方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学“曲线与方程”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过概念辨析、性质探究、轨迹构建的递进路径，培养几何直观、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|曲线对称性、点与曲线关系、简单交点求法|选择填空为主，如第1题对称性判断、第3题交点坐标求解，夯实概念理解| |提升层|曲线分类讨论、性质综合分析|含★题与多选题，如第4题n∈Z的曲线形状判断、第7题曲线C多性质辨析，发展逻辑推理| |综合层|轨迹方程推导、圆的综合应用|解答题为主，如第10题重心轨迹、第14题圆的标准方程及切线问题，强化模型构建与数学表达|

2.4曲线与方程 1.下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y轴都对称的是 (　 ) A.x2+y2=1 B.y=x2 C.(x-1)2+y2=1 D.x-y+1=0 2.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D0,-中的 (　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.曲线y=x2与曲线x2+y2=2的交点坐标是 (　 ) A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,1),(-1,-1) D.(-1,1),(1,1) ★4.关于x,y的方程xn+yn=1(n∈Z)对应的曲线不可能是 (　 ) A B C D 5.点集Ω={(x,y)|(x+y-1)(y-)=0}表示的曲线的总长度为 (　 ) A.2π+2 B.π+4 C.π+2 D.π+ 6.已知方程x2+xy-6y2-20x-20y+k=0表示两条直线,则k的值为 (　 ) A.94 B.95 C.96 D.98 ★7.(多选题)[2026·郑州高二月考] 已知曲线C:|y-2|=-x,则 (　 ) A.曲线C不经过第一、四象限 B.曲线C关于直线y=-2对称 C.直线y=x与曲线C有两个交点 D.曲线C与直线x=-2围成一个面积为4的三角形 8.方程=表示的曲线的形状是　　　　.  9.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点M满足=2,则点M的轨迹方程为　　　　　　.  10.(13分)已知定点A(-2,0),B(2,0)和曲线y=x2+3上的动点C. (1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)若点G是△ABC的重心,求动点G的轨迹方程. 11.图中曲线(实线部分)的方程可以是 (　 ) A.(x+y-1)·(x2+y2-1)=0 B.·(x2+y2-1)=0 C.(x+y-1)·=0 D.·=0 12.(多选题)数学中有许多形状优美,寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列四个结论,其中正确的有 (　 ) A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C.曲线C上存在到原点的距离超过的点 D.曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 13.若曲线C:y=与曲线E:|x|+|y|=a(a>0)仅有4个公共点,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[2,2) B.(2,2) C.(,2) D.[,2] 14.(15分)[2026·北京朝阳区高二月考] 已知以点C(-1,2)为圆心的圆与直线x+y-3=0相切. (1)求圆C的标准方程; (2)若直线l过点(-2,0)且与圆C交于A,B两点,劣弧AB所对圆周角为45°,求直线l的方程; (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程. 15.笛卡尔、牛顿研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程表示的曲线有下列说法,其中正确的是 (　 ) A.该曲线关于y轴对称 B.该曲线关于原点对称 C.该曲线不经过第三象限 D.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数 16.(15分)已知圆C与y轴相切,圆心C在直线x-2y=0上且在第一象限内,圆C截直线y=x所得的弦长为2. (1)求圆C的方程; (2)已知线段MN的端点M的横坐标为-4,端点N在圆C上运动,线段MN与y轴垂直,求线段MN的中点H的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4曲线与方程 1.A　[解析] 对于A选项,x2+y2=1表示圆心为原点,半径为1的圆,显然该曲线关于x轴和y轴都对称,故A正确;对于B选项,y=x2表示开口向上,顶点在原点,关于y轴对称的抛物线,显然不关于x轴对称,故B错误;对于C选项,(x-1)2+y2=1表示圆心为(1,0),半径为1的圆,该曲线不关于y轴对称,故C错误;对于D选项,x-y+1=0表示经过点(-1,0),(0,1)的直线,显然不关于x轴和y轴对称,故D错误.故选A. 2.C　[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C. 3.D　[解析] 由消去x整理得y2+y-2=0,解得y=1或y=-2(舍去),所以或即两曲线的交点坐标为(1,1),(-1,1).故选D. 4.D　[解析] 当n=1时,方程为x+y=1,对应的曲线为选项A;当n=2时,方程为x2+y2=1,对应的曲线为选项B;当n=-1时,方程为x-1+y-1=1,则y===1+(x≠0且x≠1),对应的曲线为选项C;选项D中曲线是四条线段,没有方程xn+yn=1与之对应.故选D. [技巧点拨] 求解曲线方程问题要抓住两点:一是形,二是量.形要根据所给表达式或图形特点确定图形或细化图形特征;量要根据表达式特征抓住“绝对值,根式”等,细化变量范围,进而细化图形. 5.C　[解析] 由题意可知1-x2≥0,解得-1≤x≤1,因为(x+y-1)(y-)=0,所以x+y-1=0或y-=0.x+y-1=0且-1≤x≤1表示以(-1,2),(1,0)为端点的线段,此线段的长度为=2;由y-=0,整理得x2+y2=1(y≥0),其表示以O(0,0)为圆心,半径为1的上半圆,此半圆的长度为×2π×1=π.综上所述,点集Ω表示的曲线的总长度为π+2.故选C. 6.C　[解析] 因为x2+xy-6y2-20x-20y+k=0表示两条直线,所以该方程可分解为两个一次式的乘积.由x2+xy-6y2-20x-20y+k=0,可得(x-2y)(x+3y)-20x-20y+k=0,设二次方程为(x-2y+a)(x+3y+b)=0,整理得x2+xy-6y2+(a+b)x+(3a-2b)y+ab=0,则解得所以k=ab=96.故选C. 7.AD　[解析] 由|y-2|≥0,得-x≥0,所以x≤0,所以曲线C不经过第一、四象限,故A正确;当y-2≥0时,曲线C的方程为x+y-2=0,当y-2<0时,曲线C的方程为x-y+2=0,作出曲线C,如图①,由图可知,曲线C关于直线y=2对称,不关于直线y=-2对称,故B错误;由y=x及|y-2|=-x得|y-2|=-y,所以或 方程组无解,所以直线y=x与曲线C没有交点,故C错误;把x=-2代入|y-2|=-x得y=0或y=4,如图②,曲线C与直线x=-2围成以点(0,2),(-2,0),(-2,4)为顶点的三角形,其面积为×4×2=4,故D正确.故选AD. [技巧点拨] 找准图形的关键信息,比如对称性、交点、内接多边形是解决本题的关键. 8.两条线段　[解析] 方程两边平方得1-|x|=1-y,又1-y≥0,1-|x|≥0,∴y=|x|,|x|≤1,∴方程=表示的曲线是两条线段. 9.(x-4)2+y2=16　[解析] 设M(x,y),则==2,化简得x2+y2-8x=0,即(x-4)2+y2=16,故点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=16. 10.解:(1)线段AB的中点坐标为(0,0), 因为A,B在x轴上关于原点对称,所以线段AB的垂直平分线即为y轴,方程为x=0. (2)设G(x,y),C(x1,y1),则y1=+3,所以 代入y1=+3得3y=9x2+3,即y=3x2+1, 所以动点G的轨迹方程为y=3x2+1. 11.C　[解析] 由题图可知,曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y-1=0(x2+y2≥1).故选C. 12.ABD　[解析] 对于A,将x换成-x,方程不变,所以曲线C关于y轴对称,故A正确;对于C,当x>0时,由x2+y2=1+xy,可得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,所以≤,故曲线C上y轴右侧的点到原点的距离不超过,根据对称性可得,曲线C上任意一点到原点的距离都不超过,故C错误;对于B,当x=0时,代入方程可得y2=1,所以y=±1,即曲线C经过点(0,-1),(0,1),当x>0时,方程变为y2-xy+x2-1=0,易知x只能取整数1,当x=1时,y2-y=0,解得y=0或y=1,即曲线C经过点(1,0),(1,1),根据对称性,可得曲线C还经过点(-1,0),(-1,1),故曲线C一共经过6个整点,故B正确;对于D,如图,曲线C在x轴上方图形的面积大于矩形的面积1×2=2,在x轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积×2×1=1,所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故D正确.故选ABD. 13.B　[解析] 由y=得x2+y2=4,y≥0,其表示位于x轴上方(包括x轴上)的半圆,圆心为(0,0),半径r=2.曲线E:|x|+|y|=a(a>0)表示边长为a的正方形,如图所示.当a=2时,圆心(0,0)到曲线E的距离为2,即曲线E与曲线C相切,有2个公共点;当a=2时,曲线E的3个顶点在曲线C上,即曲线E与曲线C有3个公共点;当2<a<2时,曲线E与曲线C有4个公共点;当a∈(0,2)∪(2,+∞)时,曲线E与曲线C无公共点.∵曲线C:y=与曲线E:|x|+|y|=a(a>0)仅有4个公共点,∴2<a<2.故选B. 14.解:(1)由圆C的圆心为C(-1,2),且圆C与直线x+y-3=0相切,可得圆C的半径r==, 故圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2. (2)由劣弧AB所对的圆周角为45°,得劣弧AB所对的圆心角为90°,则|AB|=·r=2. 设圆心C到直线l的距离为d,则|AB|=2=2,可得d=1. 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=-2, 由解得或 即直线l与圆C的交点为(-2,1),(-2,3),故|AB|=2,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,则圆心C到直线l的距离d==1,解得k=,所以直线l的方程为3x-4y+6=0. 综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0. (3)如图,由题知PM为圆C的切线,连接MC,PC,则CM⊥PM, 所以△PMC为直角三角形,则|PM|2=|PC|2-|MC|2. 设P(x,y),由(1)知C(-1,2),|MC|=, 因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,化简得2x-4y+3=0, 故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0. 15.C　[解析] A选项中,当x=0时,显然等式不成立,故x≠0,所以y=,令f(x)=,则f(-x)==,所以f(-x)≠f(x),故A错误;B选项中,f(1)=0,f(-1)==24≠0,故B错误;C选项中,当x<0时,x-1<0,x-2<0,x-3<0,则f(x)=>0,所以该曲线不经过第三象限,故C正确;D选项中,f(x)===x2-6x-+11,当x=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6时,f(x)=x2-6x-+11的值为整数,故整数点有8个,故D错误.故选C. 16.解:(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b>0,r>0), 则圆心(a,b)到直线y=x的距离d=, 所以d2+=r2,即(a-b)2+28=2r2①. 因为圆C与y轴相切,所以r2=a2②, 又圆C的圆心在直线x-2y=0上,所以a-2b=0③, 联立①②③,解得故圆C的方程为(x-4)2+(y-2)2=16. (2)设点H的坐标为(x,y),点N的坐标为(x0,y0), 点M的坐标为(-4,y),因为H是线段MN的中点, 所以x=,y=y0,所以x0=2x+4,y0=y④. 因为点N在圆C上运动,所以(x0-4)2+(y0-2)2=16⑤, 把④代入⑤,得(2x+4-4)2+(y-2)2=16, 整理得4x2+(y-2)2=16. 故点H的轨迹方程为4x2+(y-2)2=16. 学科网（北京）股份有限公司 $