2.4 曲线与方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.4 曲线与方程 教学目标 1.了解曲线与方程的对应关系，领会曲线的方程与方程的曲线的概念。 2.熟练求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质。 3.掌握求动点轨迹方程的方法。 教学重难点 1.重点 （1）曲线与方程的概念； （2）求动点的轨迹方程。 2.难点 （1）分析、判断曲线与方程的关系； （2）求动点的轨迹方程。 知识点01 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 【即学即练】 （2026·高二·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 知识点02 求解动点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 求解动点的轨迹方程的步骤： 1．设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2．写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； 3．化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 求轨迹常见的方法——相关点法： 已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点． 求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 【即学即练】 （2026·高二·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为______． 题型01 曲线与方程的概念 【典例1】（25-26高二上·全国·课堂例题）已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【变式3】（26-27高二上·全国·课前预习）若以方程的解为坐标的点都在曲线C上，则方程即为曲线C的方程 ( ) 题型02 点与曲线的位置关系 【典例1】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线的方程为，则下列各点中，在曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）下列所给点中，在方程表示的曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·高二·全国·单元测试）已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【变式3】（2026·高二·北京延庆·期末）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 题型03 由方程求曲线的图形 【典例1】（25-26高二下·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，已知定点、，设动点满足，其中 ，. 命题（1）：当 时，点 对应的曲线大致图像如下图①. 命题（2）：当时，点 对应的曲线大致图像如下图②. 下列判断正确的是（    ） A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题 【变式1】（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【变式3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 题型04 由方程研究曲线的性质 【典例1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（    ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期末）（多选题）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线．给出下列四个结论，其中正确的结论为（   ） A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 【变式2】（2026·河南·模拟预测）能将曲线上所有的点都包含进去的最小的圆（点可以在圆上）的半径为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为“孤立曲线组”，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为“孤立曲线组”；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为“孤立曲线组”.则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 题型05 两曲线的交点问题 【典例1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【变式1】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（多选题）已知曲线C：，则（   ） A．不经过第一、四象限 B．关于直线对称 C．直线与有两个交点 D．与直线围成一个面积为4的三角形 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段检测）关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线既关于原点对称，又关于直线对称； ②曲线是封闭图形，且该封闭图形的面积大于； ③曲线不是封闭图形，且它与圆有公共点； ④曲线与曲线恰有四个公共点，且这四点恰为某正方形的四个顶点. 其中所有正确结论的序号是__________. 【变式3】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 题型06 求平面轨迹方程 【典例1】（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【变式2】（25-26高一上·北京·期末）已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）求与抛物线相切于，两点，且过点的圆锥曲线的方程． 题型07 立体几何中的轨迹问题 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，已知点在棱长为4的正方体的表面上运动，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若点满足，则点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）（多选题）如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）.则下列选项中正确的是（   ） A．该五面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．若，则点的轨迹长度为 【变式2】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是：______．（填上你认为所有正确的结论序号） 【变式4】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 1．（第八单元曲线与方程）（多选题）已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选题）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选题）下列关于曲线的描述正确的是（　　） A．曲线关于原点对称 B．曲线关于直线对称 C．曲线上只有两个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．曲线所围成的图形的面积小于16 4．（2025·湖北·模拟预测）（多选题）设曲线C：，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线C关于直线对称 C．若点在曲线C上，则 D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1 5．（2025·安徽安庆·二模）已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江金华·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线关于原点对称 B．对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C．曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D．若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 7．（25-26高二下·上海·期末）关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 8．（2025届高三数学信息检测原创卷（三））（多选题）符号“”是数学中表示无穷大的数学符号，如图所示，其对应的曲线过坐标原点且上的点到，的距离之积等于，已知点是曲线上的一点，则（    ） A． B．点在曲线上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．当点在上时， 9．（2026高三下·全国·竞赛）单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 11．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 12．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 13．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 1．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）（多选题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（     ） A． B．点在上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在上时， 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）（多选题）平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（   ） A．曲线经过点 B．曲线是中心对称图形 C．的最大值为 D．为定值 3.（25-26高二下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 4．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选题）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（    ） A．曲线E围成图形的面积为 B．曲线E的长度为 C．曲线E上的点到原点的最小距离为 D．曲线E上任意两点间最大距离为 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）（多选题）设曲线：，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形的面积大于5 C．曲线的周长为 D．曲线上的两点之间距离不大于 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）（多选题）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线围成的图形面积为 C．的最大值为 D．的最小值为 7．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选题）已知曲线的方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．对任意实数，曲线的图象是中心对称图形 B．时，曲线上只有4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．时，若点在曲线上，则最大值为 D．时，曲线表示两条互相平行的直线 8．（2026·北京·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是________． ①方程，表示的曲线在第一和第三象限； ②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过1； ③曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于π； ④曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． 9．（25-26高二上·北京平谷·期中）关于曲线：有下列结论：①曲线表示的图形是圆；②曲线是以原点为中心的对称图形；③曲线位于直线，围成的矩形区域内；④曲线围成的图形的面积等于.则正确命题的序号是______. 10．（25-26高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，曲线的方程为，点在曲线上，给出以下四个结论: ①； ②存在点，使； ③对任意的点，其关于原点的对称点都在曲线上； ④曲线在平面内围成的封闭图形面积大于. 其中正确结论的序号是______. 11．（24-25高二上·河北保定·期末）（多选题）当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线.如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是（    ） A．点在曲线的外部 B．曲线所围成的封闭区域的面积小于128 C．曲线上的点到原点的距离最小值为4 D．直线与曲线有三个交点 12．（25-26高三上·陕西·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）． A．曲线E是中心对称图形 B．曲线E与直线仅有一个公共点 C．曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D．若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 13．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（    ） A．当时，与只有1个公共点 B．当时，与有3个公共点 C．椭圆与有6个公共点 D．当抛物线与有5个公共点时， 14．（26-27高三上·北京·开学考试）对于曲线，给出下列四个命题： ①曲线与坐标轴没有公共点； ②曲线关于坐标原点对称； ③曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于； ④曲线与曲线恰有四个不同的公共点． 其中，所有正确结论的序号为_________． 15．（24-25高二上·山东泰安·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，曲线上的点到点的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则下列结论正确的是（   ） A．点在曲线上 B．的取值范围为 C．曲线的方程为 D．的最大值为4 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）（多选题）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹．我们称其为卡西尼卵形线（Cassinni Ocal）．在平面直角坐标系中，设定点为、，点为坐标原点，动点满足．下列四个命题中，正确的有（   ） A．点的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C．的最大值为 D．的周长的取值范围为 17．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两定点，动点满足，动点的轨迹为曲线E.下列说法正确的是（    ） A．曲线E的方程为 B．曲线关于轴对称 C．的取值范围是 D．的取值范围是 18．（25-26高二上·山西阳泉·期末）（多选题）数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线的两定点为和，常数为（）.则给出下列四个结论正确的是（   ） A．曲线一定过原点 B．曲线一定关于坐标轴对称 C．当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点 D．曲线上存在点使得的面积大于 19．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 20．（25-26高二上·山东·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 曲线与方程 教学目标 1.了解曲线与方程的对应关系，领会曲线的方程与方程的曲线的概念。 2.熟练求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质。 3.掌握求动点轨迹方程的方法。 教学重难点 1.重点 （1）曲线与方程的概念； （2）求动点的轨迹方程。 2.难点 （1）分析、判断曲线与方程的关系； （2）求动点的轨迹方程。 知识点01 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 【即学即练】 （2026·高二·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【解析】由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线. 故选：D 知识点02 求解动点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 求解动点的轨迹方程的步骤： 1．设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2．写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； 3．化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 求轨迹常见的方法——相关点法： 已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点． 求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 【即学即练】 （2026·高二·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】曲线是以原点O为圆心，3为半径的圆，在圆内， 设中点为，如图所示， 因为，，所以， 所以，化简得. 即的轨迹方程为. 故答案为：. 题型01 曲线与方程的概念 【典例1】（25-26高二上·全国·课堂例题）已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可反驳，对C显然根据两者命题之间关系知其正确. 【详解】对ABD，根据题意可以举例方程为， 曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分， 则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误； 坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误； 不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误； 对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确． 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据方程判断其中的范围及化简后关系式是否相同，即可得答案. 【详解】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B 【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可. 【详解】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言， 不满足，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误. 故选：B. 【变式3】（26-27高二上·全国·课前预习）若以方程的解为坐标的点都在曲线C上，则方程即为曲线C的方程 ( ) 【答案】错误 【分析】利用曲线方程的定义判断即得. 【详解】以方程的解为坐标的点都在曲线上，当曲线C上存在点不是方程的解时， 方程不能称为曲线C的方程，命题错误. 故答案为：错误 题型02 点与曲线的位置关系 【典例1】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线的方程为，则下列各点中，在曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要判断点是否在曲线上，只需检验点的坐标是否满足曲线的方程，即是否为方程的解，若是，则点在曲线上；若不是，则点不在曲线上. 【详解】将四个选项中点的坐标分别代入曲线的方程的左边代数式， 对于A，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上； 对于B，，是曲线的方程的解，即点在曲线C上； 对于C，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上； 对于D，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）下列所给点中，在方程表示的曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点坐标代入曲线方程检验即可得答案. 【详解】因为曲线方程， 对于选项A：代入，有，即点不在曲线上，故A错误； 对于选项B：代入，有，即点不在曲线上，故B错误； 对于选项C：代入，有，即点在曲线上，故C正确； 对于选项D：代入，有，即点不在曲线上，故D错误； 故选：C. 【变式2】（2026·高二·全国·单元测试）已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】将点坐标代入曲线方程求解即可. 【详解】因为点在曲线上， 所以， 即，解得或． 故选：C 【变式3】（2026·高二·北京延庆·期末）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时可得 所以方程表示的曲线经过的一点是， 且其它点都不满足方程， 故选：C 题型03 由方程求曲线的图形 【典例1】（25-26高二下·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，已知定点、，设动点满足，其中 ，. 命题（1）：当 时，点 对应的曲线大致图像如下图①. 命题（2）：当时，点 对应的曲线大致图像如下图②. 下列判断正确的是（    ） A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题 【答案】A 【分析】由向量模长公式得到曲线方程，对于命题（1）通过对称性判断，对于命题（2）通过特殊点判断即可. 【详解】由题意， 又， 由模长公式得： ， 平方整理得曲线方程：， 命题（1）：当 时，，（双纽线，图象横卧的8字）， 当时，可得，即图象过原点， 当时，可得， 将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称， 将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称， 将换成，换成，上式成立，即点对应的曲线关于原点对称， 图①符合，故命题（1）是真命题， 命题（2）：当时，令， 得：，关于的方程无解， 即点对应的曲线与轴没有交点，图②不符合，命题（2）是假命题. 【变式1】（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 【变式2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【答案】C 【分析】由题可得,解方程即可判断. 【详解】方程,则,解得：,所以方程表示的图形是点； 故选：C 【变式3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 【答案】B 【分析】将方程两边平方可知是圆，再结合的取值范围即可判断． 【详解】， 表示的是以为圆心，为半径的圆， 又 ， 故方程表示的曲线是轴下方的半圆， 故选：B． 题型04 由方程研究曲线的性质 【典例1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（    ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别讨论，，和四种情况，去掉绝对值，可得曲线的方程，作出其图象，可判断①的正误；根据图象的对称性及特殊值，可判断②的正误；根据面积公式，代入求解，可判断③的正误；根据圆的性质及图象，分析可得曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，代入数据，即可判断④的正误；根据点到直线距离公式，变形整理，结合直线与圆的位置关系，即可判断⑤的正误. 【详解】当时，曲线， 整理化简可得，表示圆心为半径为的半圆， 同理可得当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 作出曲线图形如图所示， 对于①，由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②，当时，曲线，则过点， 同理曲线还过，共个整数点，故②正确； 对于③，曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④，曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤，因为点到直线的距离， 所以，当最小时，易得点在曲线的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确， 综上所述总共有个正确. 故选： 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期末）（多选题）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线．给出下列四个结论，其中正确的结论为（   ） A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用曲线对称性质判断；对于B，直接求出曲线过四个整点，即可判断；对于C，先判断出与坐标轴围成的面积为，再判断出在内部,即可判断；对于D，表示出距离.令,利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，在曲线中,以替换,以替换,方程不变,则曲线关于原点成中心对称，故A正确； 对于B，当时,令,得；令,得.曲线总过四个整点，故B正确； 对于C，当时,由，得：，且等号不同时成立， ∴.又与坐标轴围成的面积为， 且在内部，则曲线围成图形的面积小于2，故C错误. 对于D，当时,曲线的方程为：，不妨令均大于0，曲线化为， 即，则，令， 则，当且仅当且， 即时等号成立，结合对称性可知，曲线上点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】（2026·河南·模拟预测）能将曲线上所有的点都包含进去的最小的圆（点可以在圆上）的半径为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先分析曲线对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，再将曲线变为，再借助基本不等式进行放缩得到，进而求出答案. 【详解】将点代入方程， 发现均满足方程，则曲线C关于x轴、y轴、原点、直线和对称， 因此最小的圆圆心必在坐标原点，从而最小的圆的半径为曲线上点到原点距离最大值， 因为， 所以，又因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得，所以所求的最小的圆的半径为. 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为“孤立曲线组”，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为“孤立曲线组”；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为“孤立曲线组”.则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】C 【分析】结合图像判断即可. 【详解】命题①，若双曲线和双曲线没有公共点，结合双曲线弯曲的方向，则有如图两种情况，总存在双曲线使得为“孤立曲线组”，①正确； 命题②，若抛物线和抛物线没有公共点，结合抛物线弯曲的方向，则有如图两种情况，总存在抛物线使得为“孤立曲线组”，②正确. 题型05 两曲线的交点问题 【典例1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】C 【分析】将代入曲线的方程验证可知A错误；根据曲线图象的对称性可知B错误；利用可知C正确；将直线与曲线方程联立可确定不等关系求得D错误. 【详解】对于A，将关于原点对称的点代入曲线的方程可得：， 即，满足曲线方程， 在曲线上，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，将代入曲线方程知：曲线经过坐标原点，， 由A知：曲线的图象关于原点对称， 曲线经过的整点关于原点对称，又曲线经过整点， 曲线经过的整点个数必为奇数个，B错误； 对于C，当时，由得：， 曲线上的点到原点的距离（时也成立）， 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过，C正确； 对于D，由得：， 必为与曲线的一个交点，有且仅有一个实根或无实根， ，解得：或， 即实数的取值范围为，D错误. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（多选题）已知曲线C：，则（   ） A．不经过第一、四象限 B．关于直线对称 C．直线与有两个交点 D．与直线围成一个面积为4的三角形 【答案】AD 【分析】根据绝对值的含义得即可判断A；去掉绝对值画出曲线图象即可判断B；解方程判断交点个数即可判断C；求出交点坐标，利用几何法求面积判断D. 【详解】由，得，所以，所以曲线不经过第一、四象限，故A正确； 当时，的方程为，当时，的方程为， 作出曲线C的图象，如图， 可知关于直线对称，不关于直线对称，故B错误； 由及得，所以或， 故方程组无解，所以直线与没有交点，故C错误； 把代入得或， 如图，与直线围成以，，为顶点的三角形， 其面积为，故D正确． 故选：AD 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段检测）关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线既关于原点对称，又关于直线对称； ②曲线是封闭图形，且该封闭图形的面积大于； ③曲线不是封闭图形，且它与圆有公共点； ④曲线与曲线恰有四个公共点，且这四点恰为某正方形的四个顶点. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【分析】根据对称判断①、根据封闭图形的定义判断②、通过联立方程是否有解来判断③④即可. 【详解】若点在曲线上，则满足，将点代入得，故曲线关于原点对称； 点关于直线的对称点是，代入得，故曲线关于直线对称；①正确； 因为，所以，所以，故曲线是无界的，不是封闭图形，②错误； 联立曲线与圆的方程可得，化简得，解得，对应的， 所以曲线与圆有公共点，③正确； 联立曲线与曲线的方程得，化简得，解得， 所以，对应的，所以曲线与曲线恰有四个公共点，坐标为 . 由于，所以， 所以这四个公共点不是正方形的四个顶点，④错误； 故答案为：①③. 【变式3】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据题意可求出点的轨迹方程，将分别替换为看曲线方程是否仍成立可判断①；联立与曲线方程得到方程组，根据方程组解的情况可判断②；曲线上的点到原点的距离，消参后由基本不等式可得距离的最小值，从而可判断③；直线与曲线只有一个交点，从而可判断④． 【详解】由题意知直线的斜率均存在，故可设， 由得，去分母后可得， 即点的轨迹（曲线）方程为. 对于①，将分别替换为得，方程不变， 故曲线关于原点中心对称，①正确. 对于②，联立与得， 解得，但需满足，即， 由得， 所以当时，曲线与直线有交点； 当时，曲线与直线没有交点， 故②错误. 对于③，曲线上的点到原点的距离， 由得，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，此时，即曲线上的点到原点的距离的最小值不是，所以③错误. 对于④，因为曲线的方程可转化为， 取直线，将代入得， 即存在直线与曲线有且仅有一个交点，故④正确． 题型06 求平面轨迹方程 【典例1】（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，根据为的中点，表示出点坐标，根据点在直线上，得到点的轨迹方程. 【详解】设，，因为为的中点，所以，所以 所以，由点在直线上，得， 化简得，故的方程为. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 【变式2】（25-26高一上·北京·期末）已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）求与抛物线相切于，两点，且过点的圆锥曲线的方程． 【答案】 【分析】先写出两切点的直线方程，由曲线系方程我们可设圆锥曲线的方程，代入即可解出答案. 【详解】过和两切点的直线方程是， 设所求的曲线方程是（*）， ∵曲线过点，代入上式得． 再代入（*），化简整理得所求的圆锥曲线的方程是． 题型07 立体几何中的轨迹问题 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，已知点在棱长为4的正方体的表面上运动，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若点满足，则点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系可得点在以为球心，3为半径的球上，再根据点在正方体的表面上运动，从而可得点的轨迹，即可得轨迹长度. 【详解】由可知，点在以为球心，3为半径的球上， 因为点在正方体的表面上， 所以点的轨迹长为3个半径为3的四分之一的圆， 所以轨迹长为. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）（多选题）如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）.则下列选项中正确的是（   ） A．该五面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BD 【分析】通过作辅助线将五面体分割成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥求体积即可；利用面面平行的判定定理证明平面平面，由此判断即可；作出点的对称点，再结合三角形三边关系判断；判断点轨迹求解. 【详解】对于A选项，取中点，作，垂足分别为 ，作,分别交于，交于，可将五面体拆分成直三棱柱，四棱锥和四棱锥，如图所示. ，为中点，， 四边形为正方形，，又， 平面平面， 又平面，. 平面，平面， 同理可得，平面，. ， 则. ， ， ，故错误. 对于选项，取中点，连接. 分别为中点，四边形为正方形， ，平面，平面， 平面，平面，又平面， 平面平面， 则当时，平面，此时平面，所以正确. 对于选项，作点关于平面的对称点，连接， 关于平面对称，， （当且仅当三点共线时取等号）， 到平面的距离为，，又， ，则， 即不存在点，使得，故错误 .对于选项，因为点到平面的距离 所以，则点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部（含边界）的部分，作出正方形的平面图如下所示， 所以点的轨迹长度为，故正确. 故选：. 【变式2】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 【答案】 【分析】判断出点的轨迹，结合球的有关性质计算，求得面积即可. 【详解】已知，所以，进而点在以为直径的球面上. 因为在平面内，因此满足条件的点围成的区域是该球面被平面截得的圆形区域， 面积即为截面圆的面积. 正四棱柱底面是边长为的正方形，因此底面对角线， 球的半径，球心为的中点. 在正四棱柱中，，因此四点共面，即平面， 故到平面的距离. 因为平面，且平面，故平面平面，交线为. 在中，， 到的距离就是到平面的距离. 是中点，直线上中点到平面的距离为两端点距离的平均值，. 所以，因此区域面积为. 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是：______．（填上你认为所有正确的结论序号） 【答案】②③④ 【分析】根据半径的长度，确定动点P的位置，再求出相应圆弧的半径及圆心角，即可求解. 【详解】①表示时，点的轨迹长度，如图， 三段相同的四分之一个圆心为A､半径为的圆弧长组成，因此； ②表示时，点的轨迹长度，如图， 三段相同的四分之一个圆心为A､半径为1的圆弧长组成，因此； ③表示时，点的轨迹长度，如图， 三段相同弧长组成，不妨考虑弧，其中，同理，所以，所以，同理， 所以弧对应圆心角为，半径为，因此； ④表示时，点的轨迹长度，如图， 三段相同的四分之一个圆心分别为B，D，，半径为1的圆弧长组成，因此. 故答案为：②③④ 【变式4】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 【答案】/ 【详解】过点作于点，交于点， 则点在平面上的射影落在线段上. 在中，，，则， 由等面积法得. 翻折的过程中，动点满足， 则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧. 易得，，，所以， 则，如图（2），在圆中，，， 所以点的轨迹是，且，则， ， 从而点的轨迹长度为. 1．（第八单元曲线与方程）（多选题）已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 【答案】ABD 【分析】举例判断ABD,利用反证法可判断C. 【详解】根据题意可以令方程为，曲线为单位圆， 可知方程表示的曲线为曲线的一部分，不正确. 假设命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为假命题， 则存在不在上的点，其坐标满足方程， 由题干可知“坐标满足方程的点都在曲线上” 即点在曲线上，与假设矛盾，故假设不成立， 即命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为真命题，C正确. 故选：ABD. 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选题）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选题）下列关于曲线的描述正确的是（　　） A．曲线关于原点对称 B．曲线关于直线对称 C．曲线上只有两个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．曲线所围成的图形的面积小于16 【答案】AD 【分析】利用原点对称和关于直线对称的坐标表示， 判断A,B；确定曲线上的整点数，判断C；作出曲线对应的图形分析曲线所围成的封闭图形的面积，判断D. 【详解】把曲线中的换成，方程仍为，所以曲线关于原点对称，故A正确； 把曲线中的换成，方程变为，所以曲线不关于直线对称，故B错误； 曲线上的整点有，故C错误； 由可得，所以所以曲线所围成的图形的面积小于，故D正确． 故选：AD． 4．（2025·湖北·模拟预测）（多选题）设曲线C：，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线C关于直线对称 C．若点在曲线C上，则 D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1 【答案】BCD 【分析】由原点在曲线上判断A；由关于直线对称的特点判断B；借助基本不等式求出范围CD. 【详解】对于A，显然曲线C经过坐标原点O，而坐标原点不在任一象限内，A错误； 对于B，对曲线上任意一点，则也满足， 也满足，即均在曲线上，曲线关于直线对称，B正确； 对于C，依题意，得， 若，则，，此时，满足；若， 则，，当时，，有，矛盾，因此，C正确； 对于D，由选项C知，曲线有两条渐近线，分别为及， 若直线与曲线没有交点，则与渐近线平行或重合，则的斜率为1，D正确. 故选：BCD 5．（2025·安徽安庆·二模）已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线与曲线联立，得出方程，然后韦达定理得出，分类讨论即可得出答案. 【详解】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 6．（25-26高二上·浙江金华·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线关于原点对称 B．对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C．曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D．若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 【答案】AC 【分析】对于选项A，可通过判断点关于原点对称点是否在曲线上来确定；对于选项B，联立方程求解判断；对于选项C，根据曲线的性质和正方形的特点进行分析；对于选项D，可通过联立方程并结合图形进行分析. 【详解】设曲线上任意一点，其关于原点的对称点为， 将其代入曲线方程左边可得， 所以曲线关于原点对称，A选项正确； 对于选项B，联立直线与曲线的方程， 得，即， 进一步变形为，当时，方程变为，方程无解，即直线与曲线无公共点，B选项错误； 对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是， 这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时， 根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确； 对于选项D，当圆与相切时，最小， 由，得； 当圆与曲线相切时，最大， 由，得，即， 令，得，由，得， 结合图象知圆与曲线恰有4个公共点，则. 故选项D错误. 故选：AC 7．（25-26高二下·上海·期末）关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 【答案】①④ 【分析】以替换，以替换方程不变判断①；根据方程求出的范围判断②；由两曲线的对称性判断③；联立方程组判断④． 【详解】以替换，以替换，得，即， 所以曲线关于原点对称，故①正确； 由，得， 所以，解得，. 故②不正确. 当时，可化为. 由，得，. 所以当且仅当时，. 此时，所以方程组无解， 即曲线与曲线在第一象限无交点， 又曲线与坐标轴无交点，且曲线与曲线均关于轴和轴对称， 所以曲线与曲线无交点，故③不正确. 由，得，. 所以曲线是不封闭图形. 由，得，即， 显然方程无解，所以曲线与圆无公共点. 故④正确. 8．（2025届高三数学信息检测原创卷（三））（多选题）符号“”是数学中表示无穷大的数学符号，如图所示，其对应的曲线过坐标原点且上的点到，的距离之积等于，已知点是曲线上的一点，则（    ） A． B．点在曲线上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．当点在上时， 【答案】ABD 【分析】建立关于的方程求出，判断A；将点的坐标代入曲线的方程，检验点在曲线上，判断B；化简的关系式运用二次函数性质，判断C；化简的关系式，结合二次函数性质，判断D． 【详解】对于A，由题意得， 因为曲线过坐标原点，所以，解得，故A正确；对于B，当时，，将点的坐标代入得，所以点在曲线上，故B正确； 对于C，由，得， 得，故C错误；对于D，因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故D正确， 故选：ABD． 9．（2026高三下·全国·竞赛）单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 【答案】（，） 【分析】先设圆上动点 的参数方程，写出过 的切线方程，再与两条固定切线（）联立求出 的坐标，接着联立梯形对角线 与 的方程求得交点，得到交点坐标关于参数的表达式，最后消去参数，得到轨迹方程，注意排除与 重合情形. 【详解】设单位圆上点 坐标为，，， 当时，直线的斜率为，为坐标原点， 故过点的切线斜率为， 所以过点的切线方程为， 当时，， 若，切线方程为，满足关系， 若，切线方程为，满足关系， 则 点切线方程为， 与两条竖直切线 、 的交点分别为 、, 所以直线方程为：， 直线方程为：， 设交点的坐标为， 联立两直线方程可解得， 因为不与重合，所以，所以， 所以，， 所以， 即交点的轨迹方程为（，）. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，结合已知条件用点的坐标表示出点的坐标，再利用点与圆的关系，即可求解． 【详解】如图，设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标是，且是线段的中点，所以，． 于是有，， 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．    ② 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为． 11．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）利用中点公式表示的坐标，代入曲线的方程求解即可. 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 12．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设出点和点的坐标，因为是的中点，所以利用中点坐标公式建立与的坐标关系；又因为在圆上，将的坐标代入圆的方程，即可得到点的轨迹方程。 （2）先求出圆与点的轨迹的交点、，利用圆系方程，设出过两点的圆系方程，再将点的坐标代入求出参数，得到所求圆的方程. 【详解】（1）设点，， 因为点是的中点，所以，所以， 因为点在圆上，所以， 化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为， 圆的一般方程为， 设经过两点的圆的方程为， 化简得， 将点代入得， 所以， 所以经过三点的圆的方程， 化简得，   故过三点的圆的方程为. 13．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 【答案】 【分析】由题可得，由，化简即可求得点的轨迹的方程. 【详解】，，动点关于轴的对称点为， 所以得，且， ，， 直线与的斜率之积为. 所以， 整理得曲线. 1．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）（多选题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（     ） A． B．点在上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在上时， 【答案】ABD 【分析】设为曲线上任意一点，则.原点代入等式，结合，求解参数；把点代入等式判断等式是否成立；根据等式求出，根据点在曲线上，得到，特殊值（）代入，求得，判断曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1；根据等式求出，结合曲线方程中距离的非负性，对距离表达式进行放缩推导即可. 【详解】设为曲线上任意一点，则. 对于A，由曲线过坐标原点，得，解得，故A正确； 对于B，由得；当，时，， 点在上，故B正确； 对于C，由得. 由曲线在第一象限，得. 点在上，. 取，得，解得； 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误； 对于D，由点在上，得； ，，即，故D正确. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）（多选题）平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（   ） A．曲线经过点 B．曲线是中心对称图形 C．的最大值为 D．为定值 【答案】ABD 【分析】设点，根据题意求出点的轨迹方程，利用点与曲线的位置关系可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；设，则直线的方程为，与直线方程与曲线方程联立，可求出的取值范围，可判断C选项；由三角函数的定义结合曲线方程可判断D选项. 【详解】设点，则， 整理可得，即， 即曲线的方程为. 对于A选项，因为，即曲线经过点，A对； 对于B选项，在曲线上取点，则点关于原点的对称点为， 则， 所以，曲线关于原点中心对称，B对； 对于C选项，令，则直线的方程为， 联立可得， 可得，则，解得， 所以，没有最大值，C错； 对于D选项，由题意可知，且， 则为定值，D对. 故选：ABD. 3.（25-26高二下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 4．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选题）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（    ） A．曲线E围成图形的面积为 B．曲线E的长度为 C．曲线E上的点到原点的最小距离为 D．曲线E上任意两点间最大距离为 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线的图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故其面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，由图可得曲线上点到原点距离最小值为2，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）（多选题）设曲线：，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形的面积大于5 C．曲线的周长为 D．曲线上的两点之间距离不大于 【答案】ABD 【分析】将点关于直线对称的点代入曲线的方程判断A；当，得曲线为圆心为，半径为的圆在第一象限的半圆部分，讨论不同象限的符号可画出曲线图形，结合图形利用圆的几何性质可判断BCD. 【详解】A选项，将点关于直线对称的点代入曲线：得， 即点满足曲线方程，故曲线：关于直线对称，A正确； C选项，当时，满足曲线：，故原点在曲线上， 当，得曲线：， 对应的图形为圆心为，半径为的圆在第一象限的半圆部分，此圆弧的长度为，同理可得， 曲线在第二象限的图形为圆心为，半径为的圆在第二象限的半圆部分； 曲线在第三象限的图形为圆心为，半径为的圆在第三象限的半圆部分； 曲线在第四象限的图形为圆心为，半径为的圆在第四象限的半圆部分； 曲线：对应的图形如下： 故曲线的周长为，C错误； B选项，曲线围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆， 故曲线围成的图形的面积为，故B正确； D选项，其中圆心与，直线与曲线交于点，， 则即为曲线上的两点之间距离的最大值， 其中， 故曲线上的两点之间距离不大于，D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）（多选题）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线围成的图形面积为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】讨论的符号研究曲线的性质并画出示意图，数形结合判断A、B、C，利用的几何意义是曲线上点与点所成直线斜率，，由直线与圆的切线斜率最小，联立方程求参数判断D. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 且曲线过原点，曲线围成的图形是四个全等的弓形组成， 令，有，又各圆半径为，则每个弓形圆弧是圆弧， 所以曲线的图形如下图示，    由图知，显然对称轴只有轴，A错； 曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，面积为，B对； 由上分析，易知的最大值为，C对； 由表示曲线上点与点所成直线斜率，结合图知， 当过的直线与圆右上方相切时斜率最小， 令直线为且，联立圆得， 所以， 则，整理得， 所以，可得（正值舍），D对. 故选：BCD 7．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选题）已知曲线的方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．对任意实数，曲线的图象是中心对称图形 B．时，曲线上只有4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．时，若点在曲线上，则最大值为 D．时，曲线表示两条互相平行的直线 【答案】ACD 【分析】代入可判断A；代入特殊值可得B错误；结合距离公式和基本不等式可得C；变形方程可判断D. 【详解】对于A，，故对任意实数，曲线的图象是中心对称图形，正确； 对于B，时，曲线的方程为， ；； 或；或，所以最少有6个整点，错误； 对于C，时，曲线的方程为， 令，由基本不等式可得当且仅当时取等号， 所以，即，所以时， 若点在曲线上，则最大值为，正确； 对于D，时，曲线表示， 即或，表示两条平行线，故正确. 8．（2026·北京·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是________． ①方程，表示的曲线在第一和第三象限； ②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过1； ③曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于π； ④曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． 【答案】②③ 【分析】对于①，由表示，异号，对应第二、四象限，从而得到结论；对于②，设点在曲线上，求出到原点的距离，结合基本不等式可以得到，从而得到结论；对于③，曲线上所有点都在以原点为圆心，半径为1的圆内（含边界），求出单位圆的面积，而玫瑰线仅由四片花瓣组成，未填满整个圆，因此其面积小于单位圆的面积，从而得到结论；对于④，整点即，且（由②）,可能的点为,，，将这些点分别代入方程中，检验是否成立，从而得到结论. 【详解】对于①，方程中， 表示，异号， 对应第二、四象限，第一、三象限满足，因此①错误； 对于②，设点在曲线上，到原点的距离， 即 ，由基本不等式：， 代入曲线方程： ，即 ， 因，两边除以（）得，即， 当且仅当时取等号，因此②正确； 对于③，由②知，曲线上所有点都在以原点为圆心，半径为1的圆内（含边界）， 单位圆的面积为，而玫瑰线仅由四片花瓣组成，未填满整个圆， 因此其面积小于，③正确； 对于④，整点即，且（由②）, 可能的点为,将其代入方程，得到成立； 将代入方程，左边为，右边为，不成立； 将代入方程，左边为，右边为，不成立； 因此仅1个整点，④错误. 结论：正确的是②③. 9．（25-26高二上·北京平谷·期中）关于曲线：有下列结论：①曲线表示的图形是圆；②曲线是以原点为中心的对称图形；③曲线位于直线，围成的矩形区域内；④曲线围成的图形的面积等于.则正确命题的序号是______. 【答案】②④ 【分析】根据方程分析对称性，根据圆的方程结合对称性作出曲线，结合曲线逐项分析判断即可. 【详解】曲线中， 将用代替，可得，即， 则曲线关于轴对称， 将用代替，用代替，可得，即， 则曲线关于对称， 将用代替，用代替，可得，即， 则曲线关于原点对称， 当时，， 即为， 表示圆心为，半径为的圆的一部分，结合对称性，可知曲线的图形如图所示： 对于①：曲线表示的图形不是圆，故①错误； 对于②：曲线是以原点为中心的对称图形，故②正确； 对于③：曲线不位于直线，围成的矩形区域内，故③错误； 对于④：曲线围成的图形的面积等于，故④正确； 故答案为：②④. 10．（25-26高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，曲线的方程为，点在曲线上，给出以下四个结论: ①； ②存在点，使； ③对任意的点，其关于原点的对称点都在曲线上； ④曲线在平面内围成的封闭图形面积大于. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【分析】将方程整理为，解不等式可求得①正确；假设存在点，将代入可解得，知②错误；将点关于原点的对称点坐标代入曲线方程可知③错误；讨论曲线方程及其与圆的位置关系，进而做出平面图形，结合图象可确定④正确. 【详解】对于①，由曲线方程得：， 在曲线上，，又， ，即，解得：（舍）或， 综上所述：，①正确； 对于②，若存在点，使得，则， ，即，解得：（舍）或， 与矛盾，不存在点，使，②错误； 对于③，点关于原点的对称点为， 代入曲线方程得：，与原方程不同， 点关于原点的对称点不都在曲线上，③错误； 对于④，当时，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，， 当时，； 由此可作出曲线与圆的图象如下图所示， 则曲线在平面内围成的封闭图形面积大于圆的面积， 即曲线在平面内围成的封闭图形面积大于，④正确. 故答案为：①④. 11．（24-25高二上·河北保定·期末）（多选题）当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线.如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是（    ） A．点在曲线的外部 B．曲线所围成的封闭区域的面积小于128 C．曲线上的点到原点的距离最小值为4 D．直线与曲线有三个交点 【答案】BC 【分析】A选项，代入得到，故点在曲线的内部，A错误；B选项，求出，数形结合得到曲线所围成的封闭区域面积小于128；C选项，由题意得到为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，数形结合得到最小值为，D选项，先求出和，进而得到点和在两侧，数形结合得到交点个数. 【详解】A选项，，故点在曲线的内部，A错误； B选项，如图所示，其中，连接， 则， 故曲线所围成的封闭区域，位于第一象限的部分面积小于32， 由对称性可知，曲线所围成的封闭区域面积小于128，B正确； C选项，根据题意可知为半径为2的小圆在圆心为原点， 半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，其中两圆的切点为， 数形结合可知，当三点共线，在之间时， 曲线上的点到原点的距离最小，此时为小圆直径， 故最小值为， 曲线上的点到原点的距离最小值为4，C正确； D选项，由C选项和对称性可知，与直线垂直， 故中点坐标为，故直线， 所以，解得，负值舍去， 故， 将代入中得，， 故点在左侧， 将代入中得，， 故点在右侧， 数形结合，直线与曲线有四个交点，D错误. 故选：BC 12．（25-26高三上·陕西·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）． A．曲线E是中心对称图形 B．曲线E与直线仅有一个公共点 C．曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D．若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A：根据奇函数的性质、结合函数图象变换的性质进行判断即可；B：通过解方程组进行求解判断即可；C：根据分式的性质进行求解判断即可；D：根据函数的图象的对称性，结合基本不等式进行求解判断即可. 【详解】对于A，方程可化为， 则曲线E可由函数的图象向右和向上各平移1个单位长度得到， 而是奇函数，其图象关于原点中心对称， 所以曲线E关于点中心对称，故A正确； 对于B，将代入中， 得，解得，则， 故曲线E与直线仅有一个公共点，故B正确； 对于C，在方程中，要使x，y均为整数， 只有或， 故曲线E只经过2个横坐标和纵坐标均为整数的点，分别为，，故C错误； 对于D，设，，其中， 当有最小值时，M，N关于点对称， 则令，则，原式， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD    13．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（    ） A．当时，与只有1个公共点 B．当时，与有3个公共点 C．椭圆与有6个公共点 D．当抛物线与有5个公共点时， 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到或，得出曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，结合选项，结合直线与圆的位置关系，以及曲线与曲线的位置关系的判定方法，联立方程组，逐项计算，即可求解； 【详解】由方程，可得，所以或， 则曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，如图所示， 又由直线的斜率为，且过点， 可得直线的方程为，即， 对于A，当直线与圆相离时，则圆心到直线的距离大于半径， 即，解得，所以或， 所以当时，直线与圆没有公共点， 又由直线与轴只有一个公共点， 所以时，直线与曲线只有一个公共点，所以A正确； 对于B，当时，直线的方程为， 则直线与轴的交点为，点恰好在圆上， 所以时，直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 即直线与圆的交点为， 此时直线与曲线只有两个公共点，所以B不正确； 对于C，由椭圆的方程，令，可得，解得， 所以椭圆与轴有两个交点，即为和， 联立方程组，解得，对应4个交点， 综上可得，椭圆与曲线共有6个公共点，所以C正确； 对于D，由抛物线与轴的交点为，即抛物线与轴有一个交点， 当时，显然与圆没有公共点，不符合题意，所以， 联立方程组，整理得， 令，方程即为， 要使得抛物线与有5个公共点，则满足方程有2个正根，设为， 则满足，解得，所以D正确. 故选：ACD. 14．（26-27高三上·北京·开学考试）对于曲线，给出下列四个命题： ①曲线与坐标轴没有公共点； ②曲线关于坐标原点对称； ③曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于； ④曲线与曲线恰有四个不同的公共点． 其中，所有正确结论的序号为_________． 【答案】①②③ 【分析】根据曲线定义域判断①，根据对称性定义判断②，利用基本不等式判断③，结合对称性分析第一象限交点个数判断④. 【详解】命题①：曲线的方程可化为，要使方程有意义，需满足且， 因此曲线与轴、轴均无公共点，故①正确； 命题②：将曲线中的换成，将换成，方程不变， 所以曲线关于原点对称，并且关于轴和轴对称，②正确； 命题③：设曲线上任一点为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于，故③正确； 命题④：将曲线中的换成，将换成，方程不变， 所以曲线关于原点对称，并且关于轴和轴对称， 并且将换成，将换成，方程不变，所以曲线关于直线对称. 曲线中，且， 将曲线中的换成，将换成，方程不变， 所以曲线也关于直线对称. 当，时，联立，得， 当，时，曲线可化为， 当时，函数单调递减， 因为，所以点在直线的下方， 如图，曲线与曲线在第一象限有个交点， 根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是个交点，则共有个交点，故④错误. 15．（24-25高二上·山东泰安·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，曲线上的点到点的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则下列结论正确的是（   ） A．点在曲线上 B．的取值范围为 C．曲线的方程为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】利用曲线经过坐标原点可得，利用两点距离公式及条件化简整理可判断C；将点代入曲线方程可判断A；利用的面积转化得，通过检验可判定B；根据已知条件利用平面向量基本定理及余弦定理可判断D． 【详解】对于C，因为曲线经过坐标原点，所以． 因为点为曲线上一点，所以， 所以，整理得， 所以曲线的方程为，所以C选项正确； 对于A，点的坐标满足方程，所以A选项正确； 对于B，的面积， 所以，存在使得，取最大值， ，由题意，为原点也符合题意，故，B选项错误； 对于D，因为，则， 即①， 根据余弦定理可得， 即②， 联立①②可得，即， 当P点位于的两侧且在x轴上时“=”成立， 即的最大值为4，所以D选项正确. 故选：BCD． 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）（多选题）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹．我们称其为卡西尼卵形线（Cassinni Ocal）．在平面直角坐标系中，设定点为、，点为坐标原点，动点满足．下列四个命题中，正确的有（   ） A．点的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C．的最大值为 D．的周长的取值范围为 【答案】ABD 【分析】求出点的轨迹方程，利用曲线的对称性可判断A选项；对点的轨迹方程变形得出，可求得，再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；求出的取值范围，结合三角形的面积公式可判断B选项；求出，结合函数的单调性可求出周长的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知的轨迹方程为， 则关于轴对称的点的横纵坐标满足 ， 同理关于轴对称的点， 关于原点对称的点均满足轨迹方程 ， ， 即的轨迹关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称，故A正确； 对于C选项，将轨迹方程平方得 整理得，解之得， 所以， 则，故C错误； 对于B选项，因为，故， 当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于D选项，由， 而， 根据对称性，只需分析从的变化过程， 对于在上单调递增，即， 所以，此时在上单调递增， 所以，故D正确． 故选：ABD． 17．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两定点，动点满足，动点的轨迹为曲线E.下列说法正确的是（    ） A．曲线E的方程为 B．曲线关于轴对称 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用两点间距离公式结合已知条件得出曲线方程，判断选项A；将代入方程后方程形式不变，说明曲线关于轴对称，判断选项B；采用换元法，利用判别式约束求出的取值范围，判断选项C；对曲线方程进行变形，求出的取值范围，进而求出的取值范围． 【详解】，即， 化简得，故A正确； 把换为，则， 曲线关于轴对称，故B正确； ，化简整理得， 设，方程化为， 整理得， 二次方程若有非负实根，则， 解得，则，即，故C错误； ， ，解得， ，化简可得， ，故D正确. 故选：ABD． 18．（25-26高二上·山西阳泉·期末）（多选题）数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线的两定点为和，常数为（）.则给出下列四个结论正确的是（   ） A．曲线一定过原点 B．曲线一定关于坐标轴对称 C．当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点 D．曲线上存在点使得的面积大于 【答案】BC 【分析】利用轨迹方程的求法先求出曲线，利用对称性可判断AB；把问题转化为与曲线有无交点问题，进而计算可判断C；求出的面积并求其最大值，可判断D. 【详解】设曲线上任意一点，由， 可得， 对于A，将代入上式，可得：，即当时，曲线才过原点，故A错误； 对于B，将x换为，y不变，代入方程，可得方程不变，则图像关于y轴对称； 将y换为，x不变，可得方程不变，则图像关于x轴对称，故B正确； 对于C，到距离相等的点在直线上，将代入曲线方程， 解得，方程有解当且仅当，即，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC      19．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】根据向量关系写出点 的坐标，再依次求出点 、直线 及直线 的方程，从而得到点 的参数坐标，消去参数即可得到轨迹方程． 【详解】取 的一种情形 因为 ，且 ，所以 点 ， 在 轴上的投影分别为 又点 在直线 上的投影为 ，而直线 的方程为 ，所以 直线 经过 ，，故其方程为 直线 的方程为 因此直线 与 的交点为 设 ，则 消去参数 ，得 因为 ，所以 ． 反之，对于满足 的任意 ，取 ，均可得到相应的点 ． 故点 的轨迹方程为 20．（25-26高二上·山东·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为________. 【答案】/ 【分析】根据图形结合正切值的定义求出点满足的几何关系，再根据几何关系求出的轨迹长度. 【详解】易知平面，平面， 因为点到的距离是到距离的两倍，所以. 以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，设， 由，得，整理得，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形内部的圆弧.射线：交圆于点，，， ，则，即圆弧所对的圆心角为，弧长为. 故答案为：    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $