2.3 圆及其方程 2.3.4 圆与圆的位置关系 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦圆与圆的位置关系，新授课场景下通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到动态问题解决的进阶，培养数学推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一位置关系判断（内含、外切等）|如第1题判断不可能的位置关系，直接应用概念| |能力提升|参数范围与综合计算（公共弦长、公切线条数）|如第8题相交圆半径范围填空，强化运算能力| |综合应用|动态问题与多知识点融合（轨迹、存在性）|如第15题动态弦与直线钝角问题，培养几何直观与推理意识|

2.3.4　圆与圆的位置关系 1.圆C:x2+y2-2x+4y=r2-5(r>0)与圆D:x2+y2=6的位置关系不可能为 (　 ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 2.已知点P,Q分别在圆x2+y2+2x-4y+3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0上,则P,Q间的最短距离是 (　 ) A. B.2 C.2 D.3 3.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为 (　 ) A. B.2 C.2 D.1 4.[2026·河南南阳高二月考] 已知圆C1:x2+y2-2x-2y=0,圆C2:x2+y2-4x=0,则两圆的公切线有 (　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知点O(0,0),若圆(x-a)2+(y-a+5)2=1上存在点P,使得|OP|=4,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[0,5] B.(-∞,0]∪[5,+∞) C.[0,4] D.[4,5] 6.[2025·辽宁大连高二期中] 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)[2025·贵州铜仁高二期末] 圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:x2+y2-2y=0,则圆C1与C2(　 ) A.相交 B.有3条公切线 C.公共弦所在直线方程为x-y=0 D.关于直线x+y+1=0对称 8.[2025·安徽芜湖高二期中] 已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)相交,则r的取值范围为　　　　.  ★9.已知圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0与x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的一般方程为　.  10.(13分)已知圆C:x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0(a≠2). (1)求证:圆C过一定点; (2)若圆C与圆O:x2+y2=4相切,求a的值. 11.[2025·山西晋中高二期中] 已知圆C:(x+6)2+(y-7)2=49和点A(0,-4),B(0,2),若点M在圆C上,且|AM|2+|BM|2=m2,则实数m的最小值是 (　 ) A.2 B.6 C.-6 D.-2 12.(多选题)[2026·沈阳高二期末] 已知点M在圆C1:x2+y2=9上,点N在圆C2:x2+y2-6x+8y+21=0上,则下列说法正确的是 (　 ) A.两个圆的公切线有3条 B.|MN|的取值范围为[0,10] C.圆C2上任意一点关于直线3x-4y=0的对称点仍在该圆上 D.两个圆的公共弦所在直线的方程为3x-4y-15=0 13.与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是　　　　　　　　.  14.(15分)[2025·河北承德高二期中] 已知k∈R,圆C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0. (1)若圆C与圆x2+y2=1外切,求实数k的值; (2)求圆心C的轨迹方程. 15.已知MN是圆O:x2+y2=4的一条弦,∠MON=60°,P是MN的中点.当弦MN在圆O上运动时,直线l:y=x-4上总存在两点A,B,使得∠APB为钝角,则|AB|的取值范围是 (　 ) A.(0,4-2) B.(4-2,+∞) C.(0,4+2) D.(4+2,+∞) 16.(15分)[2025·山东威海高二期中] 在平面直角坐标系中,已知A(0,5),B(1,-2),C(0,-3),D(-3,-4). (1)证明:A,B,C,D四点共圆. (2)过点P(2,-1)作(1)中圆的切线,求切线方程. (3)坐标原点O,点E(3,0),请问(1)中圆上是否存在点P,满足|PE|=2|PO|?若存在,求出P的坐标;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4　圆与圆的位置关系 1.D　[解析] 由题可得圆C:(x-1)2+(y+2)2=r2,则其圆心为(1,-2),半径为r;圆D:x2+y2=6的圆心为(0,0),半径为.则两圆圆心距为<,故两圆可能内含、内切、相交,不可能外切、外离.故选D. 2.A　[解析] x2+y2+2x-4y+3=0可化为(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心坐标为(-1,2),半径为.x2+y2-4x+2y+3=0可化为(x-2)2+(y+1)2=2,则圆心坐标为(2,-1),半径为,所以两圆的圆心距为3,所以两圆上的点的最短距离是.故选A. 3.B　[解析] 圆x2+y2=4的方程与圆x2+y2-2y-6=0的方程相减可得公共弦所在直线的方程为y=-1,由于圆x2+y2=4的圆心到直线y=-1的距离为1,且圆x2+y2=4的半径为2,因此公共弦的长为2×=2.故选B. 4.B　[解析] 将两圆的方程化为标准方程,则圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2,其圆心C1(1,1),半径r1=,圆C2:(x-2)2+y2=4,其圆心C2(2,0),半径r2=2.圆心距|C1C2|==,因为2-<<+2,即|r2-r1|<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,则圆C1与圆C2有2条公切线.故选B. 5.A　[解析] 设点P(x,y),由|OP|=4,得=4,即x2+y2=16,所以点P在以(0,0)为圆心,半径为4的圆上,又点P在圆(x-a)2+(y-a+5)2=1上,所以圆(x-a)2+(y-a+5)2=1与圆x2+y2=16有公共点,所以|4-1|≤≤4+1,即3≤≤5,解得0≤a≤5,所以实数a的取值范围为[0,5].故选A. 6.D　[解析] 如图,由题得圆O的半径为1.因为圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,所以∠APO=30°.在Rt△PAO中,|PO|=2,又圆M的半径等于1,圆心为M(a,a-4),所以|PO|min=|MO|-1,|PO|max=|MO|+1,又|MO|=,所以-1≤2≤+1,解得2-≤a≤2+,则实数a的取值范围为.故选D. 7.AC　[解析] 圆C1:(x-1)2+y2=1的圆心为C1(1,0),半径r1=1,圆C2:x2+y2-2y=0的圆心为C2(0,1),半径r2=1,故圆心距为|C1C2|==,由于r1-r2=0,r1+r2=2,因此r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交,故A正确;由A选项知,两圆相交,故两圆有2条公切线,故B错误;圆C1的方程(x-1)2+y2=1与圆C2的方程x2+y2-2y=0相减整理得x-y=0,故公共弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确;两圆的半径相等,故两圆关于公共弦所在直线x-y=0对称,又两圆关于直线C1C2对称,==-1,所以C1C2的方程为y=-x+1,即x+y-1=0,故D错误.故选AC. 8.3<r<7　[解析] 因为圆C1:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)的圆心为(3,4),半径为r,所以两圆的圆心距为5,又两圆相交,所以|r-2|<5<r+2,解得3<r<7. 9.x2+y2+6x-6y+8=0　[解析] 方法一:由可得两圆交点的坐标分别为(0,2),(-4,0).设所求圆的圆心坐标为(a,-a),半径为r,则==r,解得a=-3,r=,故所求圆的标准方程为(x+3)2+(y-3)2=10,一般方程为x2+y2+6x-6y+8=0. 方法二:同方法一,得两圆的交点坐标为(0,2),(-4,0),设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得故所求圆的一般方程为x2+y2+6x-6y+8=0. 方法三:设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0(λ≠-1),因为这个圆的圆心在直线x+y=0上,所以--=0,解得λ=-2,故所求圆的一般方程为x2+y2+6x-6y+8=0. [技巧点拨] 涉及求解过两个圆交点、直线与圆交点、相同圆心等圆的方程时,可以设圆系方程,通过解方程的方法求解. 10.解:(1)证明:圆C的方程可整理为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0(a≠2), 由解得所以圆C过定点(4,-2). (2)圆C的标准方程为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).由题得圆O的圆心为O(0,0),半径为2,圆C的圆心为C(2a,-a),半径为(a≠2),则|OC|=. ①当两圆外切时,=2+,可得a=1+; ②当两圆内切时,=|-2|,可得a=1-.综上所述,a=1±. 11.D　[解析] 设M(x,y),由|AM|2+|BM|2=m2,得x2+(y+4)2+x2+(y-2)2=m2,化简得x2+(y+1)2=.若m2<18,则不存在满足题意的M(x,y),舍去;若m2=18,则M的坐标为(0,-1),但点(0,-1)不在圆C:(x+6)2+(y-7)2=49上,故不满足题意,舍去;若m2>18,则点M在圆N:x2+(y+1)2=上,圆心为N(0,-1),半径r1=.圆C的圆心为C(-6,7),半径r2=7,又点M在圆C上,所以圆C与圆N有公共点,所以≤≤+7,解得-2≤m≤-6或6≤m≤2,故m的最小值为-2.故选D. 12.AB　[解析] 圆C1:x2+y2=9的圆心C1(0,0),半径r1=3,由圆C2:x2+y2-6x+8y+21=0,得(x-3)2+(y+4)2=4,所以圆C2的圆心C2(3,-4),半径r2=2.对于A,|C1C2|==5=3+2=r1+r2,所以两圆相外切,故这两个圆有3条公切线,故A正确;对于B,|C1C2|-2-3≤|MN|≤|C1C2|+2+3,即0≤|MN|≤10,所以|MN|的取值范围为[0,10],故B正确;对于C,3×3-4×(-4)≠0,所以直线3x-4y=0不过点C2(3,-4),所以圆C2上任意一点关于直线3x-4y=0的对称点不一定在该圆上,故C错误;对于D,由两圆相外切,故两圆不存在公共弦,故D错误.故选AB. 13.(x-2)2+(y-2)2=2[解析] 圆x2+y2-12x-12y+54=0的方程可化为(x-6)2+(y-6)2=18,其圆心C1(6,6)到直线x+y-2=0的距离d==5.过点C1且垂直于直线x+y-2=0的直线方程为y-6=x-6,即y=x,所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上,如图所示.圆心C2到直线x+y-2=0的距离为=,则圆C2的半径为.设圆心C2的坐标为(x0,y0),则=,y0=x0,解得x0=2或x0=0(舍去),所以圆心C2的坐标为(2,2),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 14.解:(1)圆C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0的标准方程为(x+k)2+(y+2k+5)2=42, 所以圆C的圆心为C(-k,-2k-5),半径r=4.圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1. 因为圆C与圆x2+y2=1外切,所以=4+1=5,解得k=0或k=-4. (2)由(1)得C(-k,-2k-5),即消去k得y=2x-5,所以圆心C的轨迹方程为y=2x-5. 15.D　[解析] 由题意可知圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径R=2.因为∠MON=60°,所以|OP|=Rcos 30°=,易知点P的轨迹是圆心为O(0,0),半径r=的圆,其方程为x2+y2=3.设线段AB的中点为E,因为∠APB为钝角,所以圆x2+y2=3在以AB为直径的圆E内,可得|OE|<|AB|-,则|AB|>2|OE|+2.因为点O(0,0)到直线l:x-y-4=0的距离d==2,所以|OE|≥d=2,所以|AB|>2|OE|+2≥4+2,所以|AB|>4+2,所以|AB|的取值范围是(4+2,+∞).故选D. 16.解:(1)证明:设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则解得 所以圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0(或(x+3)2+(y-1)2=25), 又点D(-3,-4)在圆x2+y2+6x-2y-15=0上, 所以A,B,C,D四点在圆x2+y2+6x-2y-15=0上. (2)当直线斜率不存在时,直线方程为x=2,该直线与圆相切; 当直线斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0,则=5,可得k=, 所以切线方程为21x-20y-62=0. 故所求切线方程为x=2或21x-20y-62=0. (3)不存在满足题意的点P.理由如下:设P的坐标为(x,y),依题意可得=2, 化简可得P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4, 因为两圆的圆心距d=<3=5-2, 所以两圆的位置关系为内含,所以不存在满足题意的点P. 学科网（北京）股份有限公司 $