2.3.4 圆与圆的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、内含、相交、内切、外切五种位置关系，通过代数法（方程组解的个数）和几何法（圆心距与半径和差关系）实现判定。作为学习支架，承接圆的方程、直线与圆位置关系知识，为后续复杂曲线位置关系学习奠定基础。 该资料以奥运五环等生活实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过思考问题引导从公共点个数推理数量关系，发展数学思维中的推理能力。例题如参数a讨论两圆外切内切，跟踪训练求公共弦长，强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后练习题与方法总结辅助学生巩固，有效查漏补缺。

2．3.4　圆与圆的位置关系 新课导入 学习目标 圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象，如奥运五环、自行车轮、啮合的齿轮等，你知道这些圆有着怎样的位置关系吗？本节课我们一起来探讨吧！ 　　 1.了解圆与圆的位置关系． 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法． 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 思考1　两个半径不同的圆的公共点个数有几种情况？每种情况对应的圆的位置关系一样吗？ [提示]　公共点个数有0个、1个及2个的情况，其中当公共点个数为0时，两圆位置关系有外离和内含；当公共点个数为1时，两圆位置关系有外切和内切；当公共点个数为2时，两圆位置关系为相交． 思考2　通过哪些数量关系可以判断圆与圆的位置关系？ [提示]　可以用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断． [知识梳理] 1．代数法 通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断． 一元二次方程 2．几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半 径的关系 图示 两圆 外离 0 d>r1＋r2 两圆 内含 d<|r1－r2| 两圆 相交 2 |r1－r2|<d <r1＋r2 两圆 内切 1 d＝|r1－r2| 两圆 外切 d＝r1＋r2 [例1] (对接教材例1)已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)当a＝1时，两圆位置关系如何？ (2)当a为何值时，两圆外切、内切？ 【解】　(1)当a＝1时，圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆心C1(1，－2)，半径r1＝3，圆心C2(－1，1)，半径r2＝2， 所以圆心距d＝|C1C2|＝＝，r1＋r2＝5，r1－r2＝1， 因为1<<5，所以两圆相交． (2)将x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0转化为(x－a)2＋(y＋2)2＝9，即圆心为C1(a，－2)，半径r1＝3， 将x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0转化为(x＋1)2＋(y－a)2＝4， 即圆心为C2(－1，a)，半径r2＝2， 所以圆心距d＝， 若两圆外切， 则d＝＝r1＋r2＝5，即a2＋3a－10＝(a＋5)(a－2)＝0， 解得a＝－5或a＝2.若两圆内切， 则d＝＝|r1－r2|＝1，即a2＋3a＋2＝(a＋2)(a＋1)＝0， 解得a＝－2或a＝－1. 判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系． (2)代数法：把两圆位置关系的判断问题转化为方程组的解的个数问题． [跟踪训练1] (1)(2026·榆林期中)圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝9与圆C2：(x＋7)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 解析：选C.由圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝9的圆心C1(－3，2)，半径为R1＝3， 与圆C2：(x＋7)2＋(y＋1)2＝4的圆心C2(－7，－1)，半径为R2＝2， 得圆心距|C1C2|＝＝5＝3＋2＝R1＋R2，所以两圆的位置关系是外切． (2)圆(x－a)2＋(y－2a－3)2＝9上总存在两个点到(2，3)的距离为1，则a的取值范围是________． 解析：圆(x－a)2＋(y－2a－3)2＝9上总存在两个点到(2，3)的距离为1，则以(2，3)为圆心，1为半径的圆与已知圆相交， 可得3－1<<3＋1，即解得－<a<0或<a<2，即a的取值范围是(－，0)∪(，2). 答案：(－，0)∪(，2) [例2] 已知圆C1：x2＋(y＋1)2＝4和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0. (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长． 【解】　(1)证明：根据题意，圆C1：x2＋(y＋1)2＝4的圆心为C1(0，－1)，半径r1＝2， 圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C2(2，1)，半径r2＝2， 所以圆心距l＝＝2， 因为r1－r2<l<r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交． (2)将两圆方程相减，有x＋y－1＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－1＝0，圆心C1(0，－1)到x＋y－1＝0的距离d＝＝，故公共弦的长为2×＝2. 两圆公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 常用结论　若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. [跟踪训练2] 已知圆P：(x－2)2＋(y－3)2＝9，点Q(－2，－3)，以PQ为直径作圆M，与圆P相交于A，B两点． (1)证明：QA与圆P相切； (2)求直线AB的方程． 解：(1)证明：因为PQ为圆M的直径，所以∠PAQ为直径PQ所对的圆周角， 所以∠PAQ＝90°，所以PA⊥QA， 所以直线QA与圆P相切． (2)由题意可知，点P的坐标为(2，3)， 则|PQ|＝＝2，PQ的中点M坐标为(0，0)，所以圆M的半径r＝＝，所以圆M的方程为x2＋y2＝13，联立两式相减可得4x＋6y－17＝0，因为圆M与圆P相交于A，B两点，所以直线AB的方程为4x＋6y－17＝0. [例3] (1)(多选)若两圆x2＋y2＝4和(x＋2)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值可以为(　　) A.－ B．－1 C． D．3 (2)经过点(0，4)，且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程为_________________________________． 【解析】　(1)根据题意，圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径长为2，圆(x＋2)2＋(y－a)2＝25的圆心坐标为(－2，a)，半径长为5. 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有＝2＋5，解得a＝±3；当两圆内切时，有＝5－2，解得a＝±. 综上所述，实数a的值为±或±3. (2)由题意知圆C的标准方程为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，圆心为C(－5，－5)，半径r＝5，所求圆与圆C切于原点，则圆心在直线y＝x上，设圆心为(a，a)，又圆过点(0，4)及原点，所以圆心(a，a)在直线y＝2上，即a＝2，r＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8. 【答案】　(1)ACD　(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). [跟踪训练3] (1)(2026·来宾期中)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝1与圆D：(x＋1)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)内切，则r＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.因为圆C：(x＋1)2＋y2＝1的圆心C(－1，0)，半径为1； 圆D：(x＋1)2＋(y＋3)2＝r2的圆心D(－1，－3)，半径为r， 所以|CD|＝3，由题意|CD|＝3＝|r－1|，解得r＝4. (2)(2026·重庆期中)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，试写出一个半径为1，且与y轴和圆C都相切的圆的标准方程：____________． 解析：由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆C内切的圆O1(1，a)，故有＝2－1，解得a＝1， 故圆O1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1； 当圆心横坐标为－1且与圆C外切时， 设圆心为O2(－1，b)，故有＝2＋1，解得b＝1， 故圆O2的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1； 当圆心横坐标为1且与圆C外切时， 设圆心为(1，c)，则有＝1＋2，整理得c2－2c－7＝0，解得c＝1±2. 由对称性可知，c的两解即O3，O4的纵坐标． 因此，满足题意的圆共有四个： O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，O2：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，O3：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，O4：(x－1)2＋(y－1＋2)2＝1，选择其中一个即可． 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1(答案不唯一) 1．(教材P120练习AT2改编)圆C1：x2＋y2＝2与圆C2：x2＋y2－4x－4y＋6＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．外离 C．内切 D．外切 解析：选D.圆C1：x2＋y2＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝2， 所以两圆圆心分别为C1(0，0)，C2(2，2)， 所以|C1C2|＝＝2， 两圆半径分别为r1＝，r2＝， 所以|C1C2|＝r1＋r2， 所以两圆的位置关系为外切． 2．(多选)已知动点P在圆C1：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，下列说法正确的是(　　) A．两个圆心所在的直线斜率为－ B．两圆公切线有两条 C．|PQ|的最小值为0 D．|PQ|的最大值为10 解析：选ACD.圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1； 圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径为r2＝4； 两个圆心所在的直线的斜率k＝＝－，故A正确； 因为|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2相外切，所以两圆公切线有三条，故B错误； 因为圆C1与圆C2相外切，所以当点P与点Q为切点时，|PQ|最小且最小值为0；当点P与点Q为两圆心所在的直线与两圆(除切点外)的交点时，|PQ|最大且最大值为10, 故C，D正确． 3．已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有4条公切线，则a的取值范围为____________． 解析：由题可得，圆M：x2＋(y－a)2＝4，圆心为(0，a)，半径为2，圆N：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1.因为两圆有4条公切线，所以两圆外离，故圆心距|MN|＝>3，解得a∈(－∞，－)∪(，＋∞). 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 4．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：(1)易得两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，设圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和，当两圆外切时，满足＝＋，解得m＝25＋10. (2)当m＝45时，有＝4，则4－<<4＋，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为x2＋y2－2x－6y－1－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，圆心M(1，3)到直线4x＋3y－23＝0的距离为d＝＝2，所以公共弦长l＝2×＝2. 1．已学习：两圆的位置关系的判定、两圆的相切问题、两圆的公共弦问题． 2．须贯通：判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法，解决两圆相切与公共弦问题利用数形结合思想，可减少运算量． 3．应注意：解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切． 学科网（北京）股份有限公司 $