2.3.3 直线与圆的位置关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

圆心在直线x-10上，-号-号-10. 即D+E=-2.① 又半径长=VD+-2-V2, 2 D2+E=20.② D=2, D=-4, 由①②可得 或 E=-4E=2. D=2, 又：圆心在第二象限，)0，即D>0,则 2 =4, 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 例3解：(1)设线段AP的中点为M(x,y), 由中点公式得点P的坐标为(2x-2,2y). 点P在圆x2+y2=4上，∴.(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+2=1。 (2)设点E(x,y),P(xo,o). x=o+ 2 B(1,1),. 2t1 整理得x=2x-1,y0=2y-1, 2 点P在圆x2+y2=4上，.点P的坐标满足方程x2+ y2=4,.(2x-1)2+(2y-1)2=4,整理得点E的轨迹方程为 2-y20 变式训练3A【解析】以AB所在直线为x轴，AB的 中点为原点，建立平面直角坐标系（图略）， 设C(x,y),A(-c,0),B(c,0),c>0. AC=(x+e,y),BC=(x-c,y), 由AC.BC=1,得(x+c)(x-c)+y2=1,即x2+2=c2+1> 0,.点C的轨迹为圆，故选A. 数学文化 B【解析】设左、右焦点分别为F,F,以线段FF 的中点为坐标原点，F,F所在的直线为x轴建立平面 直角坐标系（图略），则F(-1,0),F(1,0). 设曲线上任意一点Px,y),则V+1+.V(x-1)+y2 =1,化简得该卡西尼卵形线的方程为(x2+y2)2=2(x2-y2) 将x替换为-x,y替换为-y,方程不变，显然其对称中 心为(0,0). 由(x2+y2)2=2(x2-y2)得(x2+y2)2-2(x2+y2)=-4y2≤0， .(x2+y2)2≤2(x2+y2),∴0≤x2+y2≤2， .0≤Vx+y2≤V2, .该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大 值为V2.故选B. 参考答案。 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 要点精析 例1解：方法一：将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程 化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, .△=4m(3m+4). ()当40时，即m>0或m<-号时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点」 (2)当40时，即m=0或m=-专时，直线与圆相 切，即直线与圆只有一个公共点。 (3)当4<0时，即-号m<0时，直线与圆相离，即 直线与圆没有公共点。 方法二：已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即 圆心为C(2,1),半径=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d= 2m-1-m-1l=m-2 V1+m2V1+m2 (1)当d<2时，即m0或m<-号时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点 (2)当d=2时，即m=0或m=-4时，直线与圆相 3 切，即直线与圆只有一个公共点 (3)当2时，即-号<m0时，直线与圆相离，即 直线与圆没有公共点， 变式训练1解：设直线AB关于y=a对称的直线为l, kw=2,k=-,显然点B0,o)在直线1上， 六直线1的方程为y=ta,即(a-3)x+3-2a-0 以与圆有公共点，∴圆心(-3，-2)到直线1的距 离d≤r. 即-3(a-3)+2x(-2)-2al≤1，即62-11a+3≤0， V/(a-3)2+4 ~行≤a≤子，实数a的取值范围为行，多引 例2解：(1)x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),k 之，切线的斜率=2， ∴.切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0. (2).P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外， 45 高中数学选择性必修第一册人教B版 .过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有 两条 当斜率存在时，设切线的斜率为k, 则切线方程为y-3=k(x-2), 即kx-y+3-2k=0,.k-2+3-2=L, Vk2+1 k=0 .切线方程为y=3: 当斜率不存在时，切线方程为x=2, .·切线方程为y=3或x=2 变式训练22Y【解折】设圆心为P,,半径 为r :圆与x轴、y轴都相切，xd=yd=r 又.圆过(2,1)点，.(2-r)2+(1-r)2=r2, 得r=1或r=5. 当r=1时，圆心P(1,1)到2x-y-3=0的距离d= 12-1-31-2V5 V22+(-1)2 5 当r=5时，圆心P(5,5)到2x-y-3=0的距离d= I10-5-31-2V5 V2+(-1 5 数学文化 C【解析】设点A关于直线x+y=5的对称点为 A'(a,b). 根据题意，A'O-V3为“将军饮马”的最短总路 程，先求出A'的坐标. AM"的中点为，生)，直线AM的斜率为1， 故直线AA'的方程为y-1=x-3,即y=x-2. 1a+3+b+1-5, 由2+2 ,a=4, 解得 b=2 b=a-2, .A'(4,2),则A'0=V4+22=2V/5, 故A'0-V3=2V5-V3, 则“将军饮马”的最短总路程为25-V3.故 选C 第2课时弦长问题 要点精析 例1解：(1)联立直线1与圆C的方程，得 3x+y-6=0, 解得L,2, x2+y2-2y-4=0, y=3,y2=0, .交点为A(1,3),B(2,0).故直线1：3x+y-6=0被 46 圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长4B1=V(1-2)2+(3-0)2= V/10. (2)将圆的方程配方得(x+1)2+(-2)2=25,由圆的性 质可得圆心到直线1的距离d√V25P-(氵=3. ①当直线1的斜率不存在时，x=-4满足题意： ②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x+4), 即kx-y+4k=0. 由点到直线的距离公式得3=Hk-2+4,解得k= V1+k2 ),六直线1的方程为5x+12y+20=0, 综上所述，直线1的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 变式训练12【解析】圆的方程为(x-3)2+y2=9, 设过点(1,2)的直线与圆交于A,B两点. 设圆心C(3,0),半径=3，P(1,2),ICP=2V2, 设圆心到直线AB的距离为d,则d≤ICPI, 故ABl≥2VP-d=2.故IA B=2. 例2解：=V√3-x2表示以原点为圆心，半径为V3的上 半圆，m=4号表示过点A(3,-1)和(x,y)的直线的斜 +3 率，如图1所示 图1 图2 例2答图 可知kB≤m≤kAC,B点坐标为(V3,O),k= 0-(-1)=3-V3 V3-(-3)6 由图1可知，直线AC斜率存在，设直线AC的方程 为y+1=kc(x+3),即kx-y+3kAc-1=0,:AC与半圆x2+ P-3(y≥0)相切，B张w-l=V3,kc=3+V2 V1+kic 6 :m的取值范围是3-5,3+V2I 16 6 由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截 距，如图2所示. 可知直线b=2x+y一定位于两直线1，与2之间.由直 线2与半圆相切，得b=V15,由直线过D(-V3, 0),得b=-2V3. 故b的取值范围是[-2V3,V15]. 变式训练2解：由直线l:mx+y+3m-V3=0,.直 线1过定义(-3，V3),圆心0到直线1的距离d= 13m-V31 Vm2+1 如图，由MB1=2V3,在半弦长、d和半径构成的 直角三角形中，有+V3P=12,即3m-V3+ Vm2+l (V3212,解得m=-Y3 3 yB一 变式训练2答图 又直线1的斜率为-m=Y写，：∠BCD= 6 在Rt△CDE中，CD=AB=2V3X2=4. V3 6 故CD的长度为4. 例3解：设圆的圆心P(a,b),半径为r,则点P到x 轴、y轴的距离分别为bl,lal. 由题知，圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°， 知圆P截x轴所得的弦长为V2r,故=2b?① 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以=㎡+1.② 由①、②，得2b2--1.③ 又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=la-2bl V5 :.5d-=la-2bP=a+4b2-4ab ≥a2+4b2-2(2+b2)=2b2-a2=1. 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5=1， 从而d取得最小值. 由此有6， 得”或， 2b2-a2=1, b=-1. 于是2=2b2知=V2 于是所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+ 1)2=2. 数学文化 A【解析】如图所示，设动点C(x,y),则 V(x+2)2+y7=2V(x-2)2+y, 化简可得x+y2-20x+4=0,化为标准方程可得圆P: 31 参考答案。 x9-g -9 D 例题答图 '∠DPE=2∠DFE=60°，IPEI=IPDI,则△DPE为等边 三角形，过圆心P作PG⊥DE于点G,则IPG=IPEIsin60° 43 y,mA66平， 4，c0s∠PAG= 3 V3 Vv3.nc 4 V1313 4 故选A 2.34圆与圆的位置关系 要点精析 例1解：圆C1,C,的方程经配方后可得C:(x-a)4(y- 1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, .圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,2=1, .lCCl=V/(a-2a)2+(1-1)2=a. (1)当1C,C曰r=5,即a=5时，两圆外切；当1C,C2= -r2=3,即a=3时，两圆内切. (2)当3<CCk5,即3<a<5时，两圆相交. (3)当1C,C>5,即a>5时，两圆外离. (4)当1C,Ck3,即a<3时，两圆内含. 变式训练1D【解析】对两个圆的方程配方得圆C: (-140+21及圈C:-2P4+12子，则圆心距 d=GG上V=V2,1-<V2<1+分，故两个圆 相交，则这两个圆的公切线有2条.故选D. 例2解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C: (x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,.圆C的圆 心坐标为(1，-5)，半径为=5V2,圆C2的圆心坐 标为(-1，-1)，半径为r2=V10. lC,C2l=2V5,r1+r2=5V2+V10,r1-r2l=l5V2- V101,r-<C,Cl+r2,.两圆相交. (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0. 47第二章平面解析几何。 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 (2)代数法：根据直线与圆的方程组 学习目标 成的方程组的解的个数来判断. 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相 (3)直线系法：若直线恒过定点，可 交、相切、相离. 通过判断定点与圆的位置关系来判断直线 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆 与圆的位置关系，但此方法有一定的局限 的三种位置关系。 性，必须是过圆内定点的直线系，直线与 3.掌握求圆的切线的方法 圆必相交 例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆 要点精析 的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆 川要点1直线与圆的位置关系 与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一 个公共点；(3)没有公共点. 直线1：Ax+By+C=0(A2+B≠0)，圆C: (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到 直线1的距离是d,d-Aa+Bb+C ,则有： VA+B 位置 代数特征 公共点 关系 几何特征 (方程联立) 个数 相离 d>r 无实数解(4<0) 0 相切 d-r 一组实数解（△=0） B变式训练① 相交 d< 两组实数解（△>0） 设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB 关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(+2)2=1有 公共点，求a的取值范围 (1) (2) (3) 反思感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法： (1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r的大小关系判断。 学(65 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2圆的切线方程 变式训练2 1.求过圆上一点(xo,yo)的圆的切线方 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相 程：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂 切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 直关系得切线的斜率为人，由点斜式可得 切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图 数学文化 形可直接得切线方程y=yo或x=o 例唐代诗人李颀的诗《古从军行》开 2.求过圆外一点(xo,y)的圆的切线 头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍 方程： 交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问 (1)几何法：设切线方程为y-yo=k(x- 题—一“将军饮马”问题，即将军在观望烽 o).由圆心到直线的距离等于半径，可求得 火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后 k,即可得切线方程 再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平 (2)代数法：设切线方程为y-y=h(x-xo), 面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y≤ 与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一 3,若将军从点A(3,1)处出发，河岸线 元二次方程，由△=0求出k,可得切线方程. 所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到 反思感悟 达军营所在区域即回到军营，则“将军饮 过圆外一点的切线有两条，切线的斜率 马”的最短总路程为() 不存在的情况，要做检验，不要漏解 A.V10-V3 B.V10 例2(1)求过圆C:x2+y2-2x-4y=0上 C.2V5-V3 D.2V5 一点P(3,3)的切线方程； 分析设点A关于直线x+y=5的对称 (2)求过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y 2)2=1相切的直线的方程。 点A'(a,b),则A'O-V3为最短距离，根 据垂直和中点坐标求出对称点A'(a,b)即 可得解 (66)学 第二章平面解析几何。 第2课时 弦长问题 2x-4y-20=0交于A,B两点，如果AB1=8, 学习目标 求直线l的方程。 1.已知直线与圆相交，能用代数法和几 何法两种方法求弦长 2.解直线与圆的综合问题要善于利用图形 要点精析 川要点1直线与圆相交 变式训练① 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：将直线方程与圆的方程联 已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直 立，求出交点A,B的坐标，根据两点间的 线被该圆所截得的弦的长度的最小值是 距离公式ABI=V(x1-x2)+(y-y2)2求解， (2)弦长公式：如图2-3-1(A),将 川要点2直线与圆位置关系的应用 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的 两交点分别是A(x1,y),B(x2,y2),则AB 例2已知实数x,y满足y=V3-x2, Vcr+0rn=V1+k-√1+是 求m=y+)及b=2x+y的取值范围。 X+3 y(直线l的斜率k存在且不为0) A(x) B(x2,y2 图2-3-1(A) 图2-3-1(B) (3)几何法：如图2-3-1(B),直线与 圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的 反思感悟 半径为，弦长为M,则有=， 与圆有关的最值问题，可借助几何特 即AB1=2V2-d 征及几何法先确定达到最值的位置，再进 通常采用几何法较为简便， 行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否 例1(1)求直线1：3x+y-6=0被圆 过圆心，有时需要考虑表达式中字母的几 C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长AB1; 何意义，如两点间距离公式、斜率公式、 (2)过点（-4,0)作直线1与圆x2+y2+在y轴上的截距等 学 67 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练2 数学文化 已知直线l:mx+y+3m-V3=0与圆x2+ 例阿波罗尼斯发现：平面内与两个定 y2=12交于A,B两点，过A,B分别作1的 点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨 迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆 垂线与x轴交于C,D两点，若AB=2V3, 已知定点A(-2,0),B(2,0),动点C满足 求CD的长. AC=2BC,则动点C的轨迹为一个阿波罗 尼斯圆，记此圆为圆P,已知点D在圆P上 (点D在第一象限)，AD交圆P于点E,连 接EB并延长交圆P于点F,连接DF,当 ∠DFE=30°时，直线AD的斜率为() A.V39 B.V26 13 13 D.V13 例3设圆满足：①截y轴所得弦长为 C.3 4 4 2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3： 1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心 到直线1：x-2y=0的距离最小的圆的方程， 分析本题可以用圆的标准方程求解， 其中有三个未知量，圆心(a,b),半径r, 解题的关键是求圆心到直线1距离的最小值. (68)学