2.2.4 点到直线的距离（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学平面解析几何中“点到直线的距离”核心知识点，系统梳理点到直线距离公式（P(x0,y0)到Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|/√(A²+B²)）及两条平行直线间距离公式的推导与应用。通过公式推导难点突破、特别提醒（如一般式转化）和随学随练构建学习支架，衔接对称、面积等综合应用。 资料以“数学思维”培养为特色，通过公式推导过程发展推理能力，分层练习（基础含高考真题、素养提升、迁移创新）兼顾不同需求。题型示例结合期中期末真题（如上海高考点到直线距离题），助力学生用“数学语言”解决问题。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化公式应用与转化思想。

第二章 平面解析几何 2.2.4　点到直线的距离 课标要点 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离． 学习重难点 重点： 点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离． 难点： 点到直线的距离公式的推导过程． 知识点一　 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 特别提醒 (1)直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)点到直线的距离公式对于直线的方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝；②B＝0时，d＝. 随学随练 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 2．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 知识点二　两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线之间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝． 特别提醒 [点拨]　(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线之间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 随学随练 3．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 4．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 题型点到直线的距离　 ▌例1（25-26高二上·广东惠州·期中）对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 ▌对点练1-1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 题型两条平行直线之间的距离 ▌例1（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． ▌对点练1-1（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 题型 距离公式的应用 ▌例1（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为___________． 基础通关 1．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 2．直线与直线间的距离为__________. 3．已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 4．（25-26高二上·广东惠州·期中）对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 5．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 6．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 7．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 8．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 9．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为______. 10．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 素养提升 11．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 13．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 14．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 迁移创新 15．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 16．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 20．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为___________． 21．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.2.4　点到直线的距离 课标要点 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离． 学习重难点 重点： 点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离． 难点： 点到直线的距离公式的推导过程． 知识点一　 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 特别提醒 (1)直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)点到直线的距离公式对于直线的方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝；②B＝0时，d＝. 随学随练 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 2．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 知识点二　两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线之间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝． 特别提醒 [点拨]　(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线之间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 随学随练 3．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 4．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 题型点到直线的距离　 ▌例1（25-26高二上·广东惠州·期中）对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角即可判断A，令，求出即可判断B，利用点到直线的距离公式即可判断C，由斜率得直线的一个方向向量即可判断D. 【详解】由有：，所以，设倾斜角为， 所以，所以，故A错误； 令，解得，所以在轴上的截距为，故B错误； 由原点到直线的距离为：，故C正确； 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D错误. 故选：C. ▌对点练1-1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 题型两条平行直线之间的距离 ▌例1（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. ▌对点练1-1（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得， 因此直线与直线两平行线间的距离为 故选：D. 题型 距离公式的应用 ▌例1（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. ▌对点练1-1（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为. 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 基础通关 1．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 2．直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 3．已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【分析】 先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 4．（25-26高二上·广东惠州·期中）对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角即可判断A，令，求出即可判断B，利用点到直线的距离公式即可判断C，由斜率得直线的一个方向向量即可判断D. 【详解】由有：，所以，设倾斜角为， 所以，所以，故A错误； 令，解得，所以在轴上的截距为，故B错误； 由原点到直线的距离为：，故C正确； 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D错误. 故选：C. 5．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 6．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 8．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为______. 【答案】 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 10．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 素养提升 11．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 12．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)， (2)5 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 13．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 14．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 迁移创新 15．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 16．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 17．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得， 因此直线与直线两平行线间的距离为 故选：D. 18．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 19．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 20．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为. 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 21．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【答案】(1)或 (2)，距离为 【分析】（1）由垂直得到，解出的值； （2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离. 【详解】（1）因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或. （2）因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，，符合题意， 此时平行直线和之间的距离. 试卷第2页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $