2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 与直线相关的垂直与对称 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学“与直线相关的垂直与对称”同步练，以分层设计实现从单一知识到综合应用的进阶，强化运算能力与几何直观，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|垂直判定、对称性质|直接应用公式（如第1、3题判断位置关系），夯实概念理解| |中档|图形判断、参数讨论|结合图形分析（如第2题直角梯形判定），培养推理意识| |提升|综合应用、轨迹探究|融入探究性问题（如第16题动点轨迹），发展创新意识|

第2课时　与直线相关的垂直与对称 1.B　[解析] 当m=0时,直线l1:x=-4与直线l2:y=2相互垂直;当m≠0时,直线l1的方程可化为y=x+,直线l2的方程可化为y=-x+2,因为-·=-1,所以直线l1与直线l2相互垂直.故选B. 2.B　[解析] 由题可得kAB==,kCD==,kAD==-3,kCB==-,因为kAB=kCD,kAD≠kCB,所以AB∥CD,AD与BC不平行,因为kAD·kAB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.故选B. 3.A　[解析] 因为直线6x-8y+3=0的斜率为,所以所求直线的斜率为-,又所求直线经过点(2,2),所以所求直线方程为y-2=-(x-2),即4x+3y-14=0.故选A. 4.C　[解析] 由点B在y轴上,设B(0,t)(t为实数),因为直线l:x+y-n=0的斜率为-1,直线AB与直线l垂直,所以直线AB的斜率为1,即=1.因为线段AB的中点在直线l上,所以+-n=0,建立方程组化简可得所以n=1.故选C. 5.A　[解析] 由直线mx+(2m-1)y+3=0与直线3x+my=0垂直,得3m+m(2m-1)=0,即2m2+2m=0,解得m=-1或0.故选A. 6.A　[解析] 根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称,则点C与点D也关于直线l对称.因为kAB=-,所以直线l的斜率为2,又因为线段AB的中点坐标为(2,1),所以直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.因为CD的中点在直线l上,且kCD=kAB=-,所以解得所以m+n=.故选A. 7.AD　[解析] 由直线l的一个方向向量为u=(1,-),得直线l的斜率k=-,又直线l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即y=-x+-2.设直线l的倾斜角为α,则k=tan α=-,所以直线l的倾斜角为120°,故A正确;当y=0时,x=1-,故B错误;-×=-3≠-1,故C错误;-=-且-2≠2,故D正确.故选AD. 8.-1或3　[解析] 由题意得a(a-2)+1×(-3)=0,即a2-2a-3=0,解得a=-1或3. 9.x-y+1=0　[解析] 由题得kAB==-1,线段AB的中点的坐标为,因为点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,所以kl=1,所以直线l的方程为y-=x-,即x-y+1=0. [点拨] 本题已知对称关系求解对称轴,可以采用逆向思维,同样满足对称点所在直线与对称轴垂直,对称的两个点的中点在对称轴上. 10.解:若A为直角,则AC⊥AB,所以kAB·kAC=-1, 即×=-1,解得m=-7(舍去); 若B为直角,则BC⊥AB,所以kBC·kAB=-1, 即×=-1,解得m=3; 若C为直角,则AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1, 即×=-1,解得m=2或m=-2(舍去). 综上所述,存在正实数m=3或m=2,使△ABC为直角三角形. 11.C　[解析] 当三角形OAB为直角三角形时,OB⊥BA或OA⊥BA,此时直线l1的斜率k=-1或0.当l1从k=-1顺时针旋转到y轴之间时,三角形OAB为钝角三角形,此时k<-1;当l1从k=0逆时针旋转到与直线l2:y=x平行之间时,三角形OAB为钝角三角形,此时0<k<1.综上,k∈(-∞,-1)∪(0,1),故选C. 12.ACD　[解析] 对于A,l2:xcos θ-ysin θ=1,l3:xsin θ+ycos θ=1,∵cos θsin θ+(-sin θcos θ)=0,∴对任意的θ∈R,l2⊥l3恒成立,故A正确;对于B,l1:xcos θ+ysin θ=1,l4:xsin θ-ycos θ=1,∵cos θ(-cos θ)-sin θsin θ=-1≠0,∴对任意θ∈R,l1∥l4不成立,故B错误;对于C,l1:xcos θ+ysin θ=1,l3:xsin θ+ycos θ=1,当θ=时,cos θsin θ+sin θcos θ=0,则l1⊥l3,故C正确;对于D,l2:xcos θ-ysin θ=1,l4:xsin θ-ycos θ=1,当θ=时,cos θ(-cos θ)-sin θ(-sin θ)=sin2θ-cos2θ=0,且-1×(-sin θ)-(-cos θ)×(-1)=≠0,则l2∥l4,故D正确.故选ACD. 13.　 [解析] ∵直线BH所在直线方程为2x-y-8=0,∴kBH=2,∵AC⊥BH,∴kAC=-,∴直线AC的方程为y-4=-(x-1),即x+2y-9=0.由解得∴A(7,1).∵角A的平分线AD所在直线的方程为y-1=0,∴kAB=-kAC=,∴直线AB的方程为y-1=(x-7),即x-2y-5=0.由解得∴点B的坐标为. 14.解:(1)由解得所以P(1,3), 所以过点P且倾斜角为135°的直线的方程为y-3=-1×(x-1),即x+y-4=0. (2)由(1)知,P(1,3), 设点P关于直线l3的对称点为Q(m,0), 则消去m,得3k2+2k-3=0,解得k=,故k的值为. 15.B　[解析] 直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==k,由题得l1⊥l2,所以×k=-1,解得k=3. 16.解:由题可知点B的坐标是(a,a), 设点Q的坐标是(x,y),点P的坐标是(b,0)(0≤b≤a), ∵PQ⊥BP,∴×=-1,∴(x-b)2=①. ∵|PQ|=|BP|,∴=, ∴(x-b)2+y2=(a-b)2+a2②. 把①代入②得+y2=(a-b)2+a2,整理得y2=(a-b)2,∵y>0,b≤a,∴y=a-b, 又0≤b≤a,∴0≤y≤a,∴所求函数图象的形状是线段. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　与直线相关的垂直与对称 1.直线l1:2x-my+8=0和直线l2:mx+2y-4=0(m∈R)的位置关系是 (　 ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合 2.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所构成的图形是 (　 ) A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 3.经过点(2,2),且与直线6x-8y+3=0垂直的直线方程为 (　 ) A.4x+3y-14=0 B.4x-3y-2=0 C.3x+4y-14=0 D.3x-4y+2=0 4.[2026·辽宁抚顺高二期末] 已知点A(m,1)关于直线l:x+y-n=0对称的点B恰好在y轴上,则n的值是 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.无法确定 5.[2026·广州高二期末] 已知直线mx+(2m-1)y+3=0与直线3x+my=0垂直,则实数m=(　 ) A.-1或0 B.-1 C.0 D.1 6.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)也重合,则m+n的值为 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)已知直线l的一个方向向量为u=(1,-),且直线l经过点(1,-2),则下列结论正确的有 (　 ) A.直线l的倾斜角为120° B.直线l与x轴的交点坐标为 C.直线l与直线y=x+2垂直 D.直线l与直线y=-x+2平行 8.已知直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直,则a=　　　　.  ★9.如果平面直角坐标系中的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为　　　　　.  10.(13分)[2025·山西长治高二期末] 设点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),问:是否存在正实数m,使△ABC为直角三角形?若存在,求m的所有值;若不存在,请说明理由. 11.已知直线l1过点A(0,1),直线l1与直线l2:y=x的交点B在第一象限,点O为坐标原点.若三角形OAB为钝角三角形,则直线l1的斜率的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 12.(多选题)[2025·辽宁大连高二期中] 已知直线l1:xcos θ+ysin θ=1,直线l2:xcos θ-ysin θ=1,直线l3:xsin θ+ycos θ=1,直线l4:xsin θ-ycos θ=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.对任意的θ∈R,l2⊥l3恒成立 B.对任意的θ∈R,l1∥l4恒成立 C.存在θ∈R,使得l1⊥l3成立 D.存在θ∈R,使得l2∥l4成立 13.在△ABC中,C(1,4),角A的平分线AD所在直线的方程为y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为2x-y-8=0.则点B的坐标为　　　　.  14.(15分)已知直线l1:x-y+2=0与l2:2x-y+1=0的交点为P,直线l3:y=kx. (1)求过点P且倾斜角为135°的直线的方程; (2)若点P关于直线l3的对称点在x轴上,求k的值. 15.已知直线l1过点与点(7,0),直线l2过点(2,1)与点(3,k+1),若l1,l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则k的值为 (　 ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 16.(15分)[2026·杭州高二期中] 如图,已知正方形OABC的边长是a,顶点O是平面直角坐标系的原点,顶点A,C分别在y轴和x轴上,P为边OC上的一个动点,且BP⊥PQ,|BP|=|PQ|,当点P从点C运动到点O时,可知点Q始终在某函数的图象上运动,判断其函数图象的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $